復(fù)變函數(shù)-第一章-復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)

1、1主要內(nèi)容主要內(nèi)容1 1、復(fù)數(shù)及其幾何表示、復(fù)數(shù)及其幾何表示2 2、復(fù)數(shù)運算、復(fù)數(shù)運算5 5、復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的概念6 6、復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性4 4、區(qū)域與曲線、區(qū)域與曲線2注注: :(1)(1)兩個復(fù)數(shù)相等，是指二者實部、虛部分別相同；兩個復(fù)數(shù)相等，是指二者實部、虛部分別相同； (2)(2)兩個復(fù)數(shù)之間無法比較大小，除非都是實數(shù)；兩個復(fù)數(shù)之間無法比較大小，除非都是實數(shù)； (3)(3)實部為實部為0 0，虛部不為，虛部不為0 0，為純虛數(shù)。，為純虛數(shù)。1 復(fù)數(shù)及其幾何表示,.zxiyx y形如的表達式，稱為復(fù)數(shù)，其中為實數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念其中其中

2、.12 i);Re( zx 實部實部);Im( zy 虛部虛部. ziyxiyx的的共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，記記為為為為 共軛共軛3有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(x,y)平面上一點平面上一點P實軸、實軸、 虛軸、復(fù)平面虛軸、復(fù)平面Z Z 平面平面1.1.復(fù)平面復(fù)平面二、復(fù)數(shù)的幾種常見表示法二、復(fù)數(shù)的幾種常見表示法xyOzxiy復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) zxiy代數(shù)表代數(shù)表示示點表示點表示4OxyXYqPrz=x+iyzxiy()P xy點，OP 2.2.復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的向量表示模模 ： 輻角輻角：rq幾何表示幾何表示 5:.A rg022| z |= | O P |= r =x+ y,z(z)記記 作作模模 : :輻輻

3、 角角q q0tan(Arg )，時時yzz =.x顯然顯然為任意整數(shù)為任意整數(shù). 0Argz = =+ 2k, kq q63、 復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示cossinxryrqq根據(jù)根據(jù)上式稱為復(fù)數(shù)的上式稱為復(fù)數(shù)的三角表示三角表示.xiyxzyqrOxy可以得到可以得到).sin(cosqqirz 4、 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示復(fù)數(shù)的指數(shù)表示由歐拉公式由歐拉公式qqqsincosiei 可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式:.qirez 7 加、減加、減：);()(212121yyixxzz 乘乘 法法：);()(1221212121yxyxiyyxxzz 注注:.)(22yxiyxiy

4、xzz 則則設(shè)設(shè),222111iyxziyxz 除法：除法：).0(2222221122222212121 zyxyxyxiyxyyxxzzz三、復(fù)數(shù)的運算三、復(fù)數(shù)的運算8 容易證明容易證明:復(fù)數(shù)的運算滿足分配律、交換復(fù)數(shù)的運算滿足分配律、交換律、結(jié)合律律、結(jié)合律. 另外，還經(jīng)常用到以下性質(zhì)：另外，還經(jīng)常用到以下性質(zhì)：;)1(2121zzzz ;)2(2121zzzz );0()()3(22121 zzzzzRe( )Im( )z+ z = 2z , z-z = 2iz .(4)(4)zz )5(2|)6(zz z 9四、四、 復(fù)數(shù)的乘冪與方根運算復(fù)數(shù)的乘冪與方根運算1、乘積與商、乘積與商,)

5、sin(cos,)sin(cos212222211111qqqqqqiierirzerirz 設(shè)設(shè);),sin()cos()sin)(cossin(cos)(212121212211212121qqqqqqqqqq ierrirriirrzz則則因此因此1 21 21 212Arg()Arg()Arg()| z z |= rr ,z z=z+z注意多值性注意多值性10)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz幾何解釋幾何解釋11除法運算除法運算10z2211=zzzz2211=zzzz2211Arg = Arg + Arg zzzz2211=,zzzz2211Arg

6、= Arg -Arg zzzz21(-)2211=i zrezr或者或者集合等式集合等式122 2、冪與根冪與根(2.1)定義定義z的的n次冪：次冪：則有則有- 棣莫弗公式棣莫弗公式.(2.2) 定義定義z的的n次根：次根： 若有若有 w n=z,則稱則稱w為為z的的n次根，記為次根，記為 .nz.1nnzz 定義定義).sin(cosqqninrznn .sincos)sin(cosqqqqninin . 個個nnzzzz 若若r=1,則：則：13如何求如何求z的的n次根呢？次根呢？,inwewz 設(shè)設(shè)由由,qiinnree 有有).(2,為為整整數(shù)數(shù)則則kknrnq 2nn=，+ kinw

7、zre即即)2sin2(cosnkinkrn q q q q k( ( 為為整整數(shù)數(shù)).).14當當k0，1，2，n1時，得到時，得到n個相異的根個相異的根：10(cossin)nwrinnqqqq1122(cossin)nwrinnqqqq112121()()(cossin)nnnnwrinnq q q q 1244(cossin)nwrinnqqqq15w48122442 cossin44 (= 0,1,2,3)k=+ i+ k+ k=(+ i)k（見見圖圖）)2sin2(cosnkinkrwnkqqxyo0w1w2w3w822i 124rq例例1.1.16).3 , 2 , 1 , 0(

8、,42sin42cos14kkiksincos1:i解4-1例例2.2. 求求共共4個值個值, 具體結(jié)果參看教材具體結(jié)果參看教材.17 習題1.2 1.3182 2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一、區(qū)域與曲線一、區(qū)域與曲線1 1、幾個基本概念、幾個基本概念0()0U z , = z| z - z .0z 00(, ) =|00Uzz| z - z | 滿足以上條件的所有點滿足以上條件的所有點z所組成的集合所組成的集合稱為稱為z0的一個鄰域的一個鄰域.190z (2) 設(shè)設(shè)G為一平面點集為一平面點集, z0為為G中一點中一點,若存在若存在z0的一個鄰域的一個鄰域,該鄰域內(nèi)該鄰域內(nèi)的所有點都屬于的所有點都屬于

9、G, 則稱則稱 z0為為G的的內(nèi)點內(nèi)點.20D-區(qū)域區(qū)域0z 內(nèi)點內(nèi)點外點外點(4) 邊界邊界 D的所有邊界點組成的所有邊界點組成 D的邊界的邊界. .1z2zP(5) 開集開集 若若D內(nèi)的每一點都是內(nèi)的每一點都是 內(nèi)點，則稱內(nèi)點，則稱D是開集是開集.以下設(shè)以下設(shè)D為一平面點集為一平面點集21D-區(qū)域區(qū)域0z 內(nèi)點內(nèi)點外點外點1z2zPD中任意兩點可用一條全在中任意兩點可用一條全在D中的曲線連接起來。中的曲線連接起來。(6) 連通連通(7) 區(qū)域區(qū)域連通的開集連通的開集.區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域, 或或閉域閉域.D22(8) 有界區(qū)域有界區(qū)域如果存在正數(shù)如果存

10、在正數(shù)M，使得對于一切，使得對于一切D中的點中的點z，有有zM,則稱則稱 D為有界區(qū)域為有界區(qū)域,否則稱為無界區(qū)域。否則稱為無界區(qū)域。例如例如102| -|Rz zRRzz|0有界有界無界無界23(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習課堂練習判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo24 習題1.5253. 3. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì)(Jordan定理定理) 任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界定義定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域D ，如果如果D內(nèi)的任何簡單閉曲