時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗

1、第九章第九章時間序列計量經(jīng)濟學模型的理論與方法時間序列計量經(jīng)濟學模型的理論與方法第一節(jié)第一節(jié) 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗第二節(jié)第二節(jié) 隨機時間序列模型的識別和估計隨機時間序列模型的識別和估計第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型9.1 9.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型模型二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗四、平穩(wěn)性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程五、單整、趨勢平穩(wěn)

2、與差分平穩(wěn)隨機過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型回歸模型常見的數(shù)據(jù)類型常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟模型常用到的數(shù)據(jù)有：到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時間序列數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)（time-series data)； 截面數(shù)據(jù)截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data) 平行平行/面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸

3、分析經(jīng)典回歸分析暗含暗含著一個重要著一個重要假設(shè)假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)“一致一致性性”要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機變是非隨機變量量 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機變量，則需進一步要求：是隨機變量，則需進一步要求： (1)X與隨機擾動項與隨機擾動項 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X, )=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： (2) 第（2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxx

4、uxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第（1）條是OLS估計的需要如果如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（則（2）不成立，回歸估計量不滿足）不成立，回歸估計量不滿足“一致性一致性”，基，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性有很高的相關(guān)性（有較高的R2)： 例如：例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何

5、有意義的關(guān)系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中： 情況往往是實際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的實際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。系模型進行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn)“虛假回歸虛假回歸”問題問題 時間序列分析時間序列分析模型方法模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟學方

6、法論展起來的全新的計量經(jīng)濟學方法論。 時間序列分析時間序列分析已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟學的重要內(nèi)容，并廣泛應用于經(jīng)濟分析與預測當中。二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時間序列分析中首先遇到的問題首先遇到的問題是關(guān)于時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性問題。 假定某個時間序列是由某一假定某個時間序列是由某一隨機過程隨機過程（stochastic process）生成的，即假定時間序列）生成的，即假定時間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是

7、與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時期間隔只與時期間隔k有關(guān)，有關(guān)，與時間與時間t 無關(guān)的常數(shù)；無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機時間序列是則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該，而該隨機過程是一隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程（stationary stochastic process）。）。 例例9.1.1一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列： Xt=t

8、 ， tN(0,2) 例例9.1.2另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機隨機游走（游走（random walk），該序列由如下隨機過程生成： Xt=Xt-1+t這里， t是一個白噪聲。該序列常被稱為是一個白噪聲白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+ +t 由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差與時間的方差與時間t t

9、有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。列。 容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 然而，對X取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列 Xt是平穩(wěn)的。 后面將會看到后面將會看到: :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實上，事實上，隨機游走過程隨機游走過程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1 1階自回階自回歸歸AR(1)AR(1)過程過程的特例的特例 X Xt t= = X Xt-1t-

10、1+ +t 不難驗證不難驗證:1)| |1|1時，該隨機過程生成的時間序列是時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)-1)，因此是非平穩(wěn)的；因此是非平穩(wěn)的； 第二節(jié)中將證明第二節(jié)中將證明:只有當只有當-1-1 10，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其中為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 也可檢驗對所有也可檢驗對所有k0k0，自相關(guān)系數(shù)都為，自相關(guān)系數(shù)都為0 0的聯(lián)合的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下假設(shè)，這可通過如下Q QLBLB統(tǒng)計量進行：統(tǒng)計量進行：

11、 該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。 因此:如果計算的如果計算的Q Q值大于顯著性水平值大于顯著性水平為為 的臨界值，則有的臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k0)(k0)同時為同時為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 例例9.1.3:9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通過是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有1919個樣個樣本的隨機時間序列。本的隨機時間序列。 mkkLBknrnnQ12)2(表表 9 9. .1 1. .1 1 一一個個純純隨隨機機序序列列與與隨隨機機游游走走序序列列的的

12、檢檢驗驗 序號 Random1 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.18

13、7 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.45

14、1 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0

15、.093 27.198 19 0.236 0.000 容易驗證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動，且樣本自相關(guān)附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近波動且逐漸收斂于附近波動且逐漸收斂于0 0。 由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關(guān)性，

16、因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信區(qū)間都將是 可以看出可以看出: :k0k0時，時，r rk k的值確實落在了該區(qū)間內(nèi)，的值確實落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受因此可以接受 k k( (k0)k0)為為0 0的假設(shè)的假設(shè)。 同樣地，從從Q QLBLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后統(tǒng)計量的計算值看，滯后1717期期的計算值為的計算值為26.3826.38，未超過，未超過5%5%顯著性水平的臨界值顯著性水平的臨界值27.5827.58，因此，因此, ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k k( (k0)

17、k0)都為都為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。 4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 序列Random2是由一隨機游走過程 Xt=Xt-1+t 生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0， t是由Random1表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0

18、.48，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。 該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。例例 9.1.9.1.4 4 檢驗中國支出法 GDP 時間序列的平穩(wěn)性。表表 9.1.2 9.1.2 1978200019782000 年中國支出法年中國支出法 GDPGDP（單位：億元）（單位：億元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.7197

19、94073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076.3199121280.4199982673.119847164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.6 圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可，可初步判斷初步判斷是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它，再次表明它的的

20、非平穩(wěn)非平穩(wěn)性。性。 圖圖 9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年中中國國 G GD DP P 時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP 拒絕：拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。 結(jié)論結(jié)論:19782000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后從滯后18期的期的QLB統(tǒng)計量看：統(tǒng)計量看： QLB

21、(18)=57.1828.86=20.05 例例9.1.59.1.5 檢驗2.10中關(guān)于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。 圖圖 9.1.6 19811996中中國國居居民民人人均均消消費費與與人人均均 GDP 時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原圖 樣本自相關(guān)圖 從圖形上看：從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPP

22、C）是非平穩(wěn)的是非平穩(wěn)的。 從滯后從滯后1414期的期的QLB統(tǒng)計量看：統(tǒng)計量看： CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。回歸方程是無實際意義的。 不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是間序列是協(xié)整協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是的，而這兩時間序列恰是協(xié)整協(xié)整的。的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗四、

23、平穩(wěn)性的單位根檢驗 對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗則是更為準確與重要的。 單位根檢驗（單位根檢驗（unit root test）是統(tǒng)計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。1 1、DFDF檢驗檢驗我們已知道，隨機游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。也就是說，我們對式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根單位根。 （*）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（*）

24、式判斷是否有 =0。 一般地一般地: : 檢驗一個時間序列檢驗一個時間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過檢驗的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型帶有截距項的一階自回歸模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗其等價變形式檢驗其等價變形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。 在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù) 11或或 =1=1時，時，時間序列是非平穩(wěn)的時間序列是非平穩(wěn)的; ; 對應于（*）式，則是 00或或 =

25、 =0。 因此，針對式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗可通過上述檢驗可通過OLS法下的法下的t檢驗完成。檢驗完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗無法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計量統(tǒng)計量），即DF分布分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過OLS法估計 X Xt t= = + + X X

26、t-1t-1+ + t t 并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -

27、1.28 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計算得到的如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕臨界值的絕對值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序列的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進一步的問題進一步的問題：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上實際上假定了時間序列是由假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的生成的。

28、 但在實際檢驗中但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導致DF檢驗無效。 另外另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機誤差項問題機誤差項問題。 為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller

29、 ）檢驗）檢驗。 2 2、ADFADF檢驗檢驗ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：檢驗是通過下面三個模型完成的： 模型模型3 中的中的t是時間變量是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。 檢驗的假設(shè)都是：針對檢驗的假設(shè)都是：針對H1: 500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.

30、612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743

31、.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則）當三

32、個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。認為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當?shù)男问侥Ｐ瓦m當?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個簡單的檢驗過程：一個簡單的檢驗過程： 例例9.1.6 檢驗19782000年間中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。21101. 150. 10093. 027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26） (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后： 通過拉格朗日乘數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrange m

33、ultiplier test）對隨機誤差項的自相關(guān)性進行檢驗： LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從從 的系數(shù)看，的系數(shù)看，t臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗模型需進一步檢驗模型2 。2）經(jīng)試驗，模型2中滯后項取2階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38

34、) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項的t統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒不能拒絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。需進一步檢驗模型1。3)經(jīng)試驗，模型1中滯后項取2階： LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國

35、支出法可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩(wěn)的。時間序列是非平穩(wěn)的。 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例例9.1.7 檢驗2.10中關(guān)于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。 1)對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過償試，三個模型的適當形式分別為模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.96) 43

36、403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型 3： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31) LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 三個模型中參數(shù)的估計值的t統(tǒng)計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 結(jié)論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)）是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 211975. 087

37、5. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 2）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當形式為 模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477) (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.

38、44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 三個模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間不能拒絕該時間序列存在單位根的假設(shè)序列存在單位根的假設(shè)， 因此,可判斷人均居民消費序列可判斷人均居民消費序列CPC是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.8

39、3 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程過程 隨機游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為 Xt=t 由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。單整單整 一般地，如果一個時間序列經(jīng)過一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活中現(xiàn)實經(jīng)濟生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)

40、濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常如一些價格指數(shù)常常是是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠降灿幸恍r間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為穩(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（非單整

41、的（non-integrated）。 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序列序列，記為，記為I(1)。例例9.1.8 中國支出法GDP的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法中國支出法GDP是是1階單整的階單整的，適當?shù)臋z驗模型為 1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9.1.9 中國人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單階單整的整的，適當?shù)臋z驗模型為 12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同樣地，CPC也是也是2階單整的階單整的，適當?shù)臋z驗模型為 12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)= 2.36 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)