基本不等式的變形及應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載基本不等式a2+b2之2ab的變式及應(yīng)用不等式a2+b2至2ab是課本中的一個(gè)定理，它是重要的基本不等式之一，對(duì)于它及它各種變式的掌握與熟練運(yùn)用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應(yīng)用1、十種變式2.2（圣）2、a_；22ab_2（a2b2）a2右b>0,則>2a-b;b若a,bR,(-1)2_abab上述不等式中等號(hào)成立的充要條件均為:不.11a,bwR，則一十之a(chǎn)b.11111c右ab=0，則-y+-2>-（-+-）ab22ab222若m,nwR+a,bwR,則a-+b-之（ab）（當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時(shí)等號(hào)成立）mnmn,、2

2、222、一（a+b+c）<3（a+b+c）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）2、應(yīng)用例1、若a,b,cWR：且a+b+c=2,求證：Ja+1+Jb+1+Vc+1<41a1a證法一：由變式得1F,a+1E即4a+1W+122同理：Vb7M<-+1,v'c+1<c+122因此.a1一/b1c1一旦TbTc1-4222由于三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，故.a1,b1.c-1<4a2b2評(píng)論：本解法應(yīng)用“ab<”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某一字母左邊是2一次式，而右邊是二次式，顯然，這個(gè)變式具有升哥與降哥功能，本解法應(yīng)用的是升哥功能。學(xué)習(xí)必備歡迎下載證法二

3、：由變式得.a1.b1m.2(a1-b1)同理：,c11.2(c-1-1)、a1.b1.c11三2(ab2),2(c2)<.2(abc4)=JT2<5故結(jié)論成立評(píng)論：本解法應(yīng)用“a+bw，2(a2+b2)”，這個(gè)變式的功能是將“根式合并”，將“離散型”要根式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一根式，顯然，對(duì)問題的求解起到了十分重要的作用。證法三：由變式得(.a1、b1.c1)2_3(a1b1c1)=15故OaH+Jb干十='61<4即得結(jié)論22222評(píng)論：由基本不等式a2+b2之2ab易產(chǎn)生2a2+2b2+2c2至2ab+2bc+2ca,兩邊同時(shí)加上a2+b2+c2即得3(a2+b2+c2)&

4、gt;(a+b+c)2,于是便有了變式，本變式的功能可以將平方進(jìn)行“分拆”與“合并”。本解法是將平方進(jìn)行分拆，即由整體平方轉(zhuǎn)化為個(gè)整平方，從而有效的去掉了根號(hào)。例2、設(shè)a,b,cwR;求證:證明：由變式得a=>2<a-v,b,與之2,bJc,。22&-&b.ca三式相加即得：Ja+Jb+Jc.b.c.aa2評(píng)論：本解法來至于“若b>0,則a豈2a-b”，這個(gè)變式將基本不等式轉(zhuǎn)化成更為b靈活的形式，當(dāng)分式的分子與分母出現(xiàn)平方與一次的關(guān)系時(shí)，立即可以使用，方便快捷。(a-4)2(b-3)2例3、實(shí)數(shù)a,b滿足(a4)+(b3)=2,求a+b的最大值與最小值學(xué)習(xí)必備

5、歡迎下載222(a-4)(b-3)(ab-7)解析：結(jié)合變式得2=-因此一514<a+b-7<v14即7-v,14<a+b<7+v;140為14a=3+當(dāng)且僅當(dāng)3(a-4)=4(b-3)、再結(jié)合條件得彳7b=4。時(shí)，分4.147別獲得最小值與最大值;評(píng)論：由a2m2+b2n2至2mnabnn(m+n)a2+m(m+n)b2至mn(a+b)2再結(jié)合m,nW它即得變式，這可是一個(gè)很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的一個(gè)特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。49例4、已知x,yw(-2

6、,2),且xy=-1,求u=2十2的最小值4-x9-y一，、一49解析：由變式u='亍一4-x9-y12x1一一4121.L9(1142x)(1一42-(一)2-149312上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)|x|yI、再結(jié)合xy=-1得6x二/時(shí),6取得最小值;評(píng)論：由a2+b2至2ab=b(a+b)+a(a+b)至4ab結(jié)合a,bR：兩邊同除以ab(a+b)即得變式，本題兩次使用基本不等式，第一次應(yīng)用變式，第二次應(yīng)用基本不等式。值得注意的是兩次等號(hào)成立的條件必須一致，否則，最值是取不到的。學(xué)習(xí)必備歡迎下載一-，一11例5、當(dāng)0<x<a時(shí)，不等式-2+之2恒成立，求a的最大值;x(a-x)解：由變式、得11111、222()x(a-x)2xa-x上述三個(gè)不等式中等號(hào)均在同一時(shí)刻8由鼻_2=0:二a<2a故a的最大值為2；141481t2=2x(a-x)"2(xa-x)2a2(2x=ax時(shí)成立由(a+b)2至4ab再結(jié)合a,bwR*即得變式；又由a2十b2至2ab得2(a2+b2)上(a+b)2=b2+a2>1(a+b)2結(jié)合ab#0,兩邊同除a2b2即得變式。本2題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來之實(shí)在不易。首先這兩個(gè)變式不一定大家都熟悉，其次,三次使用變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，