-一元二次方程的解法(全)PPT課件

1、 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是高次數(shù)是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二次方程一元二次方程。2、一元二次方程通?？蓪懗扇缦碌摹⒁辉畏匠掏ǔ？蓪懗扇缦碌囊话阈问揭话阈问剑篴x2+bx+c=0a03、判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，按順序要把、判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，按順序要把握三點(diǎn)：握三點(diǎn)：方程是整式方程；：方程是整式方程；：只含有一個(gè)未知數(shù)：只含有一個(gè)未知數(shù)：可化為：可化為ax2+bx+c=0（ a0 ）的形式）的形式1. 判斷下列方程是否一元二次方程？判斷下列方程是否一元二次方程？2m何值時(shí)，方程何值時(shí)，方程 是關(guān)于是關(guān)于的一元二

2、次方程的一元二次方程?42(1)2750mmxmx03-2xx) 1(40cx30yx212222）01x3xx22）mbax下列各數(shù)有平方根嗎下列各數(shù)有平方根嗎?若有若有,你能求出它你能求出它的平方根嗎的平方根嗎? 25 ; 0 ; ; 2 ; - 3 ;162543一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)x的平方的平方等于等于a，這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)x叫做叫做a的什的什么？么？即（a0）則x叫做a的平方根，表示為：ax 2ax例例1 解方程解方程042x先移項(xiàng)，得先移項(xiàng)，得42x所以所以 24xx以上解某些一元二次方程的方法叫以上解某些一元二次方程的方法叫做做直接開平方法直接開平方法。例題解析：例題解析：可見，上面的可見，

3、上面的 實(shí)際實(shí)際上就是求上就是求4的平的平方根。方根。42x2;221xx初試鋒芒初試鋒芒用直接開平方法解下列方程：用直接開平方法解下列方程：;02（4）212x（2）022 x（1）;0121 2y025162x(3)將方程化成(b0）的形式,再求解bx 2再顯身手再顯身手例例2 解方程解方程: (1) (2) 0412x09)2(122 x將方程化成(b0）的形式,再求解bax2)(解下列方程：解下列方程： 045 t2 2;2516 62x; 0365 52x; 532 42x ; 04916 32x ; 09 12x1、用直接開方法解方程：、用直接開方法解方程： 45221252322

4、xx2、用直接開方法解方程：、用直接開方法解方程： 035392m31253m; 0532mm取何值，無論此方程無解。你會(huì)變你會(huì)變嗎？嗎？0 02acax; 0 2acxa ;0 1 acacx時(shí)，方程的根是當(dāng) 時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根。當(dāng)0 2ac; 313 (2) ; 34 ) 1 (22xx提問：下列方程有解嗎？提問：下列方程有解嗎？方程 一定有解嗎?用直接開平方法可解下列類型用直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：的一元二次方程：根據(jù)平方根的定義，要特別注意：根據(jù)平方根的定義，要特別注意：由于負(fù)數(shù)沒有平方根，由于負(fù)數(shù)沒有平方根，所以，當(dāng)所以，當(dāng)b0時(shí)，原方程無解。時(shí)，原方程無解。歸納歸納

5、小結(jié)小結(jié).0 ax 0 22bbbbx或（第2課時(shí)）用直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：用直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：;0 ax 0 22bbbbx或根據(jù)平方根的定義，要特別注意：根據(jù)平方根的定義，要特別注意：由于負(fù)數(shù)沒有平方根，由于負(fù)數(shù)沒有平方根，所以當(dāng)所以當(dāng)b0時(shí)，原方程無解。時(shí)，原方程無解。知識(shí)回顧知識(shí)回顧大膽猜測(cè)：使下列式子成立的大膽猜測(cè)：使下列式子成立的x為多少？為多少？0)2() 1 (xx0) 3)(2)(2(xx2, 021xx3, 221xx0) 12)(23)(3(xx21,3221xxAB=0A=0或或知識(shí)回顧知識(shí)回顧解解:240 x 例 解方程。(直接

6、開平方法直接開平方法):,4x. 2, 221xx例例2：解方程：解方程x2- 4=0.另解：原方程可變形為另解：原方程可變形為(x+2)(x2)=0 x+2=0 或或 x2=0 x1=-2 ,x2=2我們觀察可以我們觀察可以發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)可以使用平方可以使用平方差公式差公式042x以上解某些一元二次方程的方法叫以上解某些一元二次方程的方法叫做做因式分解法因式分解法。x24=（x2）（）（x2）初試鋒芒初試鋒芒解下列方程：解下列方程：（2）0942x（1）025162x 例例3 解下列方程：解下列方程： (1)3 (2)5(2)x xx2(2)9610 xx )2(5)2(3) 1 (xxx)2(5

7、)2(3xxx解：移項(xiàng)，得)53(x350) 2( x0 x+2=0或或3x5=0 x1=-2 , x2= 2(2)9610 xx 解：解：原方程可變形為2310 x （）310.x 所以1.xx21所以=-3歸納：用因式分解法解一元二次方程的步驟歸納：用因式分解法解一元二次方程的步驟1 . 方程右邊不為零的化為方程右邊不為零的化為 。2 . 將方程左邊分解成兩個(gè)將方程左邊分解成兩個(gè) 的的乘積。乘積。3 . 至少至少 一次因式為零，得到一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。兩個(gè)一元一次方程。4 . 兩個(gè)兩個(gè) 就是原方就是原方程的解。程的解。 零零一次因式一次因式有一個(gè)有一個(gè)一元一次方程的解一元一

8、次方程的解例例 (x+3)(x1)=5解：原方程可變形為解：原方程可變形為(x2)(x+4)=0 x2=0或或x+4=0 x1=2 ,x2=-4解題步驟演示方程右邊化為零方程右邊化為零x2+2x8 =0左邊分解成兩個(gè)左邊分解成兩個(gè)一次因式一次因式 的乘的乘積積至少有一個(gè)一次因式為零得到兩個(gè)一元一次方程 兩個(gè)一元一次方程的解一元一次方程的解就是原方程的解 . 1. 1xxx原方程的解為，得以解：方程的兩邊同時(shí)除xx 2) 1 ( 、這樣解是否正確呢？這樣解是否正確呢？ 方程的兩邊同時(shí)除以同一個(gè)方程的兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不等于零的不等于零的數(shù)數(shù)，所得的方程與原方程，所得的方程與原方程 同解。同解。拓

9、展練習(xí)拓展練習(xí)1：辨析：辨析2、下面的解法正確嗎？如果不正確，錯(cuò)誤在、下面的解法正確嗎？如果不正確，錯(cuò)誤在哪？哪？. 48. 462; 83563)2)(5(18)2)(5(21xxxxxxxxxx或原方程的解為，得由，得由原方程化為解：解方程( )解下列方程：2y y2 2=3y=3y(2) (2a3)2=(a2)(3a4)(3)(1) (x1)(x+2)=2拓展練習(xí)拓展練習(xí)2：解方程：解方程3) 13(2)23(33)5(2xxxxx(4) (4x3)2=(x+3)2用因式分解法解一元二次方程的步驟用因式分解法解一元二次方程的步驟1. 方程右邊不為零的化為方程右邊不為零的化為 。2 .將方

10、程左邊分解成兩個(gè)將方程左邊分解成兩個(gè) 的的乘積。乘積。3 .至少至少 一次因式為零，得到一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。兩個(gè)一元一次方程。4 .兩個(gè)兩個(gè) 就是原方就是原方程的解。程的解。 零零一次因式一次因式有一個(gè)有一個(gè)一元一次方程的解一元一次方程的解小結(jié)小結(jié)（第3課時(shí)）1、選擇合理的方法解下列方程、選擇合理的方法解下列方程224x (1)(2)(3)216x2210 x 復(fù)習(xí)練習(xí)：復(fù)習(xí)練習(xí)：、請(qǐng)說出完全平方公式、請(qǐng)說出完全平方公式 2xa2xa_22 axx_22 axx2a2a、根據(jù)完全平方公式填空(格式如題(1)228_(_)xxx2210_(_)xxx(1)(2)(3)424525

11、2x_x25(_)2（10）x52(61)x 2162xx 參照第（參照第（1）題，推想一下第（）題，推想一下第（2）題及第（題及第（3）題的解法）題的解法(1)(2)(3)225xx上面，我們把方程上面，我們把方程變形為變形為它的它的左邊左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的是一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式完全平方式，右邊右邊是一個(gè)是一個(gè)非負(fù)常數(shù)非負(fù)常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解開平方的方法求解.這種解一元二次方程的這種解一元二次方程的方法叫做方法叫做配方法配方法.225xx2(61)x 隨堂練習(xí)解下列方程：224102 550 xxxx （1） 4；（2）.121225xxx 例例

12、1 解下列方程：解下列方程： (1)0132 xx342 xx(2)2430 xx移項(xiàng)，得解：解：(1)2243 11.441.xxxx 配方，得即221.x所以（）2121.xx 所以或1231.xx所以或2223331.22xx （2）配方，得23535.2422xx 即所以1135.223535.22xxx所以即，(1)(2)04842 xx21302xx解下列方程：解下列方程： 拓展練習(xí) 想想怎樣解？12117xxx 2 2、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；3 3、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方， 使左邊成為完全平方；

13、使左邊成為完全平方；4 4、如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，用直接開平方、如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，用直接開平方法解之，如果右邊是個(gè)負(fù)數(shù)，則指出原方程無實(shí)根。法解之，如果右邊是個(gè)負(fù)數(shù)，則指出原方程無實(shí)根。1 1、若二次項(xiàng)系數(shù)不是、若二次項(xiàng)系數(shù)不是1 1，把二次項(xiàng)系數(shù)化為，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1(1(方程兩方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)) )；請(qǐng)歸納配方法解一元二次方程的步驟請(qǐng)歸納配方法解一元二次方程的步驟拓展練拓展練習(xí)習(xí)用配方法證明：代數(shù)式用配方法證明：代數(shù)式的值是正數(shù)的值是正數(shù)2082 xx小結(jié)：小結(jié)：配方法也是一元二次方程常見的解法配方法也是一元二次方程常見的解法)0(02acb

14、xax分兩類進(jìn)行討論、111aa2. 配方法的運(yùn)用配方法的運(yùn)用（第（第4 4課時(shí)）課時(shí)）第23章 一元二次方程配方法的步驟：配方法的步驟：1.化化 12.移項(xiàng)移項(xiàng)3.配方配方4.求解求解配方的關(guān)鍵是在配方的關(guān)鍵是在方程兩邊同時(shí)添加的方程兩邊同時(shí)添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。知識(shí)回顧知識(shí)回顧 用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程 2x2x2 2+4x+1=0+4x+1=0 用配方法解一元二次方程的步驟：用配方法解一元二次方程的步驟：1.1.把原方程化成把原方程化成 x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式。的形式。2.2.移項(xiàng)整理移項(xiàng)整理 得得

15、 x x2 2+px=-q +px=-q 3.3.在方程在方程 x x2 2+px= -q +px= -q 的兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)的兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù) p p的一半的平方。的一半的平方。 x x2 2+px+( )+px+( )2 2 = -q+( ) = -q+( )2 24. 4. 用直接開平方法解方程用直接開平方法解方程 (x+ )(x+ )2 2= -q= -q 知識(shí)回顧知識(shí)回顧用配方法解一般形式的一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0( (a0a0) )解解: :把方程兩邊都除以把方程兩邊都除以 a,a,得得x x2 2 + x+ = 0+ x+ = 0 解得解得x

16、= - x= - 當(dāng)當(dāng)b b2 2-4ac0-4ac0時(shí)時(shí), x + =, x + = 4a4a2 20 0即即 ( x + )( x + )2 2 = = 配方，得配方，得 x x2 2 + x+( )+ x+( )2 2 =- +( )=- +( )2 2即即x=x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。公式法。移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得x x2 2 + x=-+ x=-例例 用公式法解方程2x2+x-6=0。解：解：這里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4ac=12-42(-6) =49.1、把方程化成一般形式，并寫、把方程化成一般形式，并寫出出a，b，c

17、的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。用公式法的一般步驟：用公式法的一般步驟：求根公式求根公式: x=4、寫出方程的解：、寫出方程的解： x1=?, x2=?3、代入、代入求根公式求根公式 x= (a0, b2-4ac0)(a0, b2-4ac0)2421491 72 24bbacxa 所以即即 x1=-2，x2=32（口答）填空：用公式法解方程（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。 解：解：a=a= ，b=b= ，c =c = . . b b2 2-4ac=-4ac= = = . . x= x= = = = = . .即即 x x1 1= , x= , x2 2=

18、. = . 5 5-4-4-12-12(-4)(-4)2 2-4-45 5(-12)(-12)2562562 2求根公式求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)( 4)2562 5 4 161065解解:將方程化為一般式，得將方程化為一般式，得x x2 24 4x x2 20 0242144422 acb x x4242 26 原方程的解是 x1 ，x2=6262aacbb242用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：x24x2 用公式法解方程：用公式法解方程： x x2 2 x - =0 x - =0解：方程兩邊同乘以解：方程兩邊同乘以 3 得得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b=

19、-3，c= -2.b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25. x= x= 即即 x1=2, x2= - 用公式法解方程：用公式法解方程： x x2 2 +3 = 2 x+3 = 2 x 解：移項(xiàng)，得解：移項(xiàng)，得x2 2 -2 x+3 = 0 -2 x+3 = 0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 ) )2 2-4-41 13=03=0 x x1 1 = x= x2 2 = = = =x=x= = =3x求根公式求根公式 : x=(a0, b2-4ac0)求根公式求根公式 : x=由配方法解一般的一元由配方法解一般的一元二次方程二

20、次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0) 若若 b b2 2-4ac0-4ac0，得，得1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并寫出并寫出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式 :用公式法解一元二次方程的用公式法解一元二次方程的一般步驟：一般步驟：小結(jié)小結(jié)4、寫出方程的解：、寫出方程的解： x1=?, x2=?(a0, b2-4ac0)x=思考題思考題:1、用公式法解下列方程：、用公式法解下列方程： （m為已知常數(shù)）為已知常數(shù)）222mmxx2、m取什么值時(shí)，方程取什么值時(shí)，方程 x2+(2m+1)x+m

21、2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解？解？（第5課時(shí)）第23章 一元二次方程(1)(1)直接開平方法直接開平方法(2)(2)因式分解因式分解法法提公因式法提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式公式法：平方差公式，完全平方公式(3) (3) 配方配方法法(4)(4)公式法公式法當(dāng)當(dāng)b-4ac0時(shí)，時(shí)，x=aacbb242 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1 1的時(shí)候，方程兩邊的時(shí)候，方程兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方ax2=b(a0)一 直接開平方法依據(jù)：平方根的意義，即如果 x2=a , 那么x =.a這種方法稱為直接開平方法。 解題步驟：1，將一元二次方程常

22、數(shù)項(xiàng)移到方程的一邊。2，利用平方根的意義，兩邊同時(shí)開平方。3，得到形如： x =. a的一元一次方程。4，寫出方程的解 x1= ?, x2= ?例1（3x -2）-49=0 例2（3x -4）=（4x -3）解：移項(xiàng)，得：（3x-2）=49 兩邊開平方，得：3x -2=7解：兩邊開平方，得： 3x-4=（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1例題講解例題講解372所以x=35所以x1=3，x2= -二 因式分解法3 (2)5(2)x xx例3 )2(5)2(3xxx解：移項(xiàng)，得(32)6(32)0 xxx例4 1 1 提公因式法提公因式

23、法=0解：提公因式得：(32)(6)0 xx32060 xx或123x 26x提 公 因 式 得(35)(2)0 xx35020 xx或153x22x 2 平方差公式與完全平方公式220 xa()()0 xa xa形如運(yùn)用平方差公式得：00 xaxa或1xa 2xa2220 xaxa2()0 xa12xxa12xxa 形如的式子運(yùn)用完全平方公式得：或例題講解例題講解（1）29(2)16x解：解：原方程變形為2(1)0 x 324x 直接開平方，得例5 解下列方程:216(2)90 x(2)10 x x （2）2210 xx解：解：原方程變形為154x 2114x 所以 ， 。121xx 所以 。三 配方法w我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法w平方根的意義:w完全平方式:式子 a22ab+b2 叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.如果x2=a, 那么x=.a用配方法解一元二次方程的方法的助手:用配方法解一元二次方程 2x2-9x+8=0. 0429:2xx解.41749x. 4494929222xx.1617492x.41749x.4292xxw1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;w3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;w4.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同