2牛頓-萊布尼茲公式

1、2 牛頓牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式 用定義來(lái)計(jì)算定積分一般是很困難的，用定義來(lái)計(jì)算定積分一般是很困難的，下面將要介紹的牛頓下面將要介紹的牛頓萊布尼茨公式不萊布尼茨公式不僅為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效的方僅為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來(lái)。聯(lián)系了起來(lái)。( )f x , a b()F x( )f x , a b( )( )( )baf x dxF bF a ( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a 定理定理9.1 若函數(shù)若函數(shù)在在上連續(xù)，上連續(xù)，則，則在在上可積，且上可積，且這即為牛頓這即為牛頓

2、萊布尼茨公式，也常記為萊布尼茨公式，也常記為。 且存在原函數(shù)且存在原函數(shù)證：證： 由定積分定義，任給由定積分定義，任給0，要證存在，要證存在, 0當(dāng)當(dāng)| |T 時(shí)，有時(shí)，有1|( ) ( )( )|niiifxF bF a 事實(shí)上，對(duì)于事實(shí)上，對(duì)于的任一分割的任一分割 01, ,nTax axb 在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間1,iixx 上對(duì)上對(duì)( )F x使用拉格朗日中值使用拉格朗日中值定理，定理，1(,),1,2, ,iiixxin 使得：使得：11( )( ) ()()niiiF bF aF xF x , a b則分別存在則分別存在11()()(2)nniiiiiiFxfx 因?yàn)橐驗(yàn)樵谏线B續(xù)

3、，從而一致連續(xù)，所以對(duì)上述上連續(xù)，從而一致連續(xù)，所以對(duì)上述，存在，存在0 0, 當(dāng)當(dāng) , xxa b 、且且|xx 時(shí)，有：時(shí)，有：|()()|f xf xba 于是，當(dāng)于是，當(dāng)|ixT 時(shí)，任取時(shí)，任取1,iiixx 便有便有|ii ，這就證得，這就證得 , a bf1|( ) ( )( )|niiifxF bF a 1|()()|niiiiffx 1|()()|niiiiffx 1niixba 所以所以f上可積，且有公式成立上可積，且有公式成立在在b, a注注1 ：在應(yīng)用牛頓：在應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式時(shí)，萊布尼茨公式時(shí)，( )F x可由積分可由積分法求得。法求得。注注2： 定理?xiàng)l件尚可削減

4、，例如：定理?xiàng)l件尚可削減，例如：1）對(duì)F的要求可削減為：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且( )( ), , F xf x xa b 2）對(duì)f的要求可削減為：在上可積。這時(shí)（2）式仍成立，且由f上可積，在b, ab, ab, ab, a（2）式右邊當(dāng)|0T 時(shí)的極限就是( ),baf x dx 而左邊恒為一常數(shù)。例例1 1 利用利用牛頓牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分：萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分：1)bnax dx 22)(0)badxabx 2203)4xx dx （n為正整數(shù)）1|1nbaxn 111()1nnban 1|bax 11ab222144(4)2xx dxxx dx 231(4)3xC 232018(4) |33x 例例2 2 利用定積分求極限：111lim()122nJnnn 解： 把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分。為此作如下變形：111lim1nininJn 不難看出，其中的和式是函數(shù)1( )1f xx 在區(qū)間0,1上的一個(gè)積分和（這里所取的是等分分割），11, ,1,2,iiiiixinnnnn 所以：1100ln2ln(1)|1dxJxx 注：也可以