2020年高考理科數(shù)學(xué)《立體幾何》題型歸納與訓(xùn)練

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一線面平行的證明一 ,1 一 例1如圖，圖為1的等腰梯形 ABCD3,AM= CD= -AB= 1.現(xiàn)將 AM冊(cè) M所起，使平面 AMd平面MBCD3連接AR AC試判斷：在 AB邊上是否存在點(diǎn) P,使AD/平面MP"說(shuō)明理由1【答案】當(dāng) AP= qAB時(shí)，有AD/平面 MPC 3理由如下：連接BD交M。點(diǎn)N,連接NP，一 ，DN DC 1在梯形MBC四，DC/ MB 荷而5，NB IvlB 2AP 1在ADBf, 我 2，AD/ PN. AD?平面 MPC PN?平面 MPC .AD/平面 MPC【解析】線面平行，可以線線

2、平行或者面面平行推出。此類題的難點(diǎn)就是如何構(gòu)造輔助線。構(gòu)造完輔助線，證明過(guò)程只須注意規(guī)范的符號(hào)語(yǔ)言描述即可。本題用到的是線線平行推出面面平行?！疽族e(cuò)點(diǎn)】不能正確地分析 DN與BN的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤?！舅季S點(diǎn)撥】此類題有兩大類方法：1 .構(gòu)造線線平行，然后推出線面平行。此類方法的輔助線的構(gòu)造須要學(xué)生理解線面平行的判定定理與線面平行的性質(zhì)之間的矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系。在此，我們需要借助倒推法進(jìn)行分析。首先，此類型題目大部分為證明題，結(jié)論必定是正確的，我們以此為前提可以得到線面平行。再次由線面平行的性質(zhì)可知，過(guò)已知直線的平面與已知平面的交線必定平行于該直線，而交線就是我們要找的線，從而做出輔助線。從這個(gè)

3、角度上看我們可以看出線線平行推線面AD做了一個(gè)平面 ADB與平行的本質(zhì)就是過(guò)已知直線做一個(gè)平面與已知平面相交即可。如本題中即是過(guò)AD平面MPCf交于線PN最后我們只須嚴(yán)格使用正確的符號(hào)語(yǔ)言將證明過(guò)程反向?qū)懸槐榧纯伞＜聪茸C平行于PN最后得到結(jié)論。構(gòu)造交線的方法我們可總結(jié)為如下三個(gè)圖形。方法二方法三P方法2 .構(gòu)造面面平行，然后推出線面平行。此類方法輔助線的構(gòu)造通常比較簡(jiǎn)單，但證明過(guò)程較繁瑣，一般做為備選方案。輔助線的構(gòu)造理論同上。我們只須過(guò)已知直線上任意一點(diǎn)做一條與已知平面平行的直線即可?？煽偨Y(jié)為下圖方法例2如圖，在幾何體 ABCD計(jì)，四邊形 ABCD矩形，AB，平面 BEG B已EC, AB=

4、 BE= EC= 2, G, F分別是線段BE, DC的中點(diǎn).求證：GF/平面ADE【答案】解法一 ：（1）證明：如圖，取 AE的中點(diǎn)H,連接HG HD又G是BE的中點(diǎn),1所以 GH/ AB,且 G+ 2AB.又F是CD的中點(diǎn)， ,1所以 DF= CD.由四邊形ABC虛矩形得，AB/ CD AB= CD所以 GH/ DF,且 GH= DF,從而四邊形HGF虛平行四邊形，所以 GF/ DH.又DH?平面ADE GF?平面ADE所以GF/平面ADE.解法2: (1)證明：如下圖，取 AB中點(diǎn)M,連接MG MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GM/ AE.;又 AE?平面 ADE GM?平面 ADE所以GM

5、/平面ADE.卅/ "在矩形ABC邛，由M F分別是AB, CD的中點(diǎn)得 MF/ AD.-；又 AD?平面 ADE MF?平面 ADE/ ：所以MF/平面ADE.汴少少”又因?yàn)?GMT MF= M, GM?平面 GMF MF?平面 GMF了/所以平面GMF平面ADE./'夕二因?yàn)镚F?平面GMF所以 GF/平面 ADE.右任二二二一/SL【解析】解法一為構(gòu)造線線平行，解法二為構(gòu)造面面平行?！疽族e(cuò)點(diǎn)】線段比例關(guān)系【思維點(diǎn)撥】同例一題型二線線垂直、面面垂直的證明例1如圖，在三棱錐 P-ABC, PA± AB, PAL BC AEJ±BQ PL AB=BC2,

6、D為線段AC的中點(diǎn)，E為線 段PC上一點(diǎn).(1)求證：PAL BQ(2)求證：平面 BDEL平面PAC【答案】(1)證明：因?yàn)?PAL AB, PAL BC ABA BC= B,所以PL平面ABC又因?yàn)锽D?平面ABC所以PAL BD(2)證明：因?yàn)锳B= BC D為AC的中點(diǎn)，所以BDL AC由 知，PAL BD 又 ACT PA= A,所以BDL平面PAC因?yàn)锽D?平面BDE所以平面BD曰平面PAC【解析】(一)找突破口第(1)問(wèn)：欲證線線垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，再得線線垂直；第(2)問(wèn)：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到先證線線垂直，借助(1)的結(jié)論和已知條件可證；(二)尋關(guān)

7、鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：PAL AR PAL BC線面垂直的判定定理，可證PAL平面ABC(1)證明線面平行的條件：一 直線在平囿外，一直線在平囿 內(nèi)(2)證明線面垂直時(shí)的條件： 直線垂直于平面內(nèi)兩條相交 直線(3)求點(diǎn)到面的距離時(shí)要想到 借助錐體的“等體積性”信息：AB= BC D為AC的中占1八、等腰三角形中線與高線合一，可得BDL AC信息：PAL BD證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化到證明 一直線垂直于另一直線所在 平囿，冉由線面垂直的定義可得信息：平面BDEL平面PAC面面唯直的判定定理，線線垂 直？線卸垂直？囿回垂直信息：PA/平面BDE線囿平行的性質(zhì)定理，線囿平 行，則線線平行，可得

8、 PA/DE【易錯(cuò)點(diǎn)】規(guī)范的符號(hào)語(yǔ)言描述，正確的邏輯推理過(guò)程?！舅季S點(diǎn)撥】(1)正確并熟練掌握空間中平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，是進(jìn)行判斷和證明的基礎(chǔ)；在證明線面關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，尤其是一些線面平行與垂直關(guān)系，這些都可以作為條件直接應(yīng)用.(2)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(3)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決.(4

9、)證明的核心是轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，面面？線面？線線.題型三空間向量例1如圖，四面體 ABCDfr, ABC是正三角形， AC*直角三角形， ABD CBD , AB=BD(1)證明：平面ACIDLY面ABC(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEG巴四面體ABC盼成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【答案】(1)證明：由題設(shè)可得,4 ABm CBD 從而 AD= DC又ACD直角三角形，所以/ADC= 90取AC的中點(diǎn)O,連接DO BQ則DOL AC DO= AO又因?yàn)?ABB正三角形，所以BOL AC所以/ DOE二面角 DACB的平面角.在 Rt AO沖,BO+ AO=

10、 A百.又 AB= BD,所以 bO+ dO= bO+aO= ag=bD故/ DOB= 90所以平面ACD_平面ABC(2)由題設(shè)及(1)知，OA OB OD兩兩垂直.以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸正方向，| OA|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(1,0,0),R0,43,0),C(-1,0,0) ,D(0,0,1).一.一 1由題設(shè)知，四面體ABCE勺體積為四面體 ABCD勺體積的,從而E到平面ABC勺距離為D到平面ABC勺距離的 2,即 E為 DB的中點(diǎn)，得 E0,呼,2 .故KD =(-1, 0,1),血= (2,0,0) ,AE = 1,4,；.設(shè)n=(x

11、i, yi, zi)是平面DAE勺法向量,n AD=0, 則n AE = 0, Xi + Zi = 0,即3 i Xi +yi 2Zi = 0.可取n= i, U3 3設(shè)mi= (X2, y2, Z2)是平面AEC勺法向量,nr AC=0, 則nr AE = 0,一 2x2= 0,即3 i x2+-2y2+2Z2= 0,n m -當(dāng)+.甲=工-.I n| m . 2i 7XX 23由圖知二面角 DAEC為銳角，所以二面角 DAEC的余弦值為 平.【解析】(一)找突破口第(i)問(wèn)：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化去證線面垂直或證其二面角為直角，即找出二面角的平面角，并求其 大小為90° ；第(2)

12、問(wèn)：欲求二面角的余弦值，應(yīng)轉(zhuǎn)化去求兩平面所對(duì)應(yīng)法向量的夾角的余弦值，即通過(guò)建系，求所 對(duì)應(yīng)法向量來(lái)解決問(wèn)題.(二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息： ABC為正三角形， AC皿直角三角形特殊三角形中的特殊的邊角： ABC中三邊相等， ACD中的直角(i)建系時(shí)要證明哪三條線兩 兩垂直，進(jìn)而可作為坐標(biāo)軸 (2)兩平面法向量的夾角不一 定是所求的一面角，也有可能 是兩法向量夾角的補(bǔ)角，因此必須說(shuō)明角的范圍信息：/ ABD= / CB口 AB=BD邊角相等關(guān)系可證兩二角形全等，進(jìn)而可證 AD= DQ /ADC= 90°信息：證明面ABC平囿 ACDL平囿間垂直的證明方法：幾何法或定義法信

13、息:體積相等由體積的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到面的距離的大小關(guān)系，進(jìn)而知點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)【易錯(cuò)點(diǎn)】正確建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的計(jì)算?！舅季S點(diǎn)撥】1.利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.2.求空間角應(yīng)注意的 3個(gè)問(wèn)題(1)兩條異面直線所成的角a不一定是直線的方向向量的夾角3 ,即 COS a = |COS 3 |.(2)直線與平面所成的角的正弦值等于平面的法向量與直線的方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，注意函數(shù)名稱的變化.(3)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面

14、角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角.【鞏固訓(xùn)練】題型一線面平行的證明S是BD的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC DC SC的中點(diǎn)，求證:1.如圖，在正方體 ABCD-A1BCD中,直線EG/平面BDDB;平面EFG/平面BDEB.【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，連接SRE、G分別是BG SC的中點(diǎn)，EG/ SB.又 SB?平面 BDDB, EG?平面 BDDB1, 直線 EG/平面 BDDB1.(2)連接SR F、G分別是DG SC的中點(diǎn)，F(xiàn)G/ SD.又 SD?平面 BDDB, FG?平面 BDDBi,FG/平面 BDDBi,又 EG?平面 EFG FG?平面 EFG EGA FG= G, ,平面

15、 EFG/平面 BDDBi.2.如圖，四棱錐 P ABCD勺底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱 PA1底面ABCD且PA= 2, E是側(cè)棱PA上的中點(diǎn).求證：PC/平面BDE【答案】詳見(jiàn)解析【解析】證明：連接 AC交BD于點(diǎn)O,連接OE,如圖：四邊形ABC比正方形，.O是AC的中點(diǎn).又E是PA的中點(diǎn)，PC/ OE. PC?平面 BDE OE?平面 BDE.PC/平面 BDE.3.如圖，在四棱柱 ABCP ABGD中，底面 ABCM等腰梯形,DAB= 60 , AB= 2CD= 2, M是線段 AB 的中占I 八、求證：CM/平面AADD;【答案】詳見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD1等腰梯形，

16、且AB= 2CD所以AB/ DC又由M是AB的中點(diǎn)，因此 CD/ MA且CD= MA連接AD,在四棱柱 ABCDABiCiD中，因?yàn)?CD CD, CD= CD,可得 CiD/ MA OD = MA所以四邊形 AM©為平行四邊形.因此 CiM/ DA,又 CM?平面 AADD, DA?平面 A ADD,所以CiM/平面AiADD題型二線線垂直、面面垂直的證明1.如圖，在四棱錐 P ABCDh, PAa底面 ABCDABL AQ ACL CQ / ABC= 60° , PAAB= BQ E是PC的中點(diǎn).(1)證明：CDL AE;(2)證明：PDL平面ABE【答案】詳見(jiàn)解析【解

17、析】(1)在四錐 P ABCD43,因?yàn)?PAL 底面 ABCD CD?平面 ABCD 故 PAL CD ACL CD PAH AC =A, . CDL平面PAC而AE?平面PAC. CDL AE(2)由 PA= AB= BC, Z ABC= 60 ,可得 AC= PA .E是 PC的中點(diǎn)，AE±PC由(1)知，AE1 CD且PCT CD= C,所以AE1平面PCD而PC?平面PCD AE1 PD.PAL底面ABCD PD在底面ABCDJ的射影是ADABI AD AB± PQ又. ABH AE= A綜上可得PDL平面ABE2.如圖，在三棱錐 P ABC, PA= PB= P

18、C= AC= 4, AB= BC= 2小.求證：平面ABC1平面APC【答案】詳見(jiàn)解析【解析】 證明：如圖所示，取 AC中點(diǎn)0,連接OP OB. PA= PC= AC= 4,OPL AC 且 P0= 4sin60 = 2，3.BA= BC= 2y2， .BA+BC2=16 = AC,且 BOL AC. B0= A百A0=2.PB= 4,0P+ 0B= 12 + 4= 16= P氏. OPL 0B. AS 0B= 0, . OPL平面 ABC. OP?平面 PAC平面ABCL平面APC3.如圖所示，四棱錐BD= ：3, PDL底面 ABCDP-ABC用，底面 ABC四平行四邊形， AB= 2AD

19、= 2,證明：平面PBCL平面PBD 【答案】詳見(jiàn)解析 【解析】(1)證明：QCB 1,CD 2,BD .3 .cD= bC+bD, BCL BD 又.PDL底面 ABCD PDL BC 又 PDH BD= D, Bd平面 PBD而BC?平面PBC平面PBCL平面PBDG(0,0,4)題型三空間向量1.已知直三棱柱 ABC- A1B1C 中，Z ACB= 90 , AC= BC= 2, AA=4, D 是 棱AA的中點(diǎn).如圖所示.(1)求證：DC，平面 BCD(2)求二面角A- BD- C的大小.【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明：按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得點(diǎn)C(0,0,0),

20、A(2,0,0),R0,2,0),D(2,0,2),A1(2,0,4),uLurumruur于是，DC1=( 2,0,2) , DC =( 2,0, 2), DB =(-2, 2, -2). umr umruiuir uur可算得 DC1 DC = 0, DC1 DB = 0.因此，DG± DC DG± DB又D6 DB= D,所以DC,平面BDC(2)設(shè)n=(x, y, z)是平面ABD的法向量，uuuuuur又 AB =(2,2,0) , AD = (0,0,2),x= 1,-2x+2y=0,所以取y=1,可得y=1,2z = 0.z=0,即平面ABD勺一個(gè)法向量是 n

21、= (1,1,0).uuur由(1)知，DC1是平面DBC勺一個(gè)法向量，uur記n與DC1的夾角為0 ,則 cos 8 =-4 0 =T 23結(jié)合三棱柱可知，二面角 A BD- C是銳角, 一 一一一 . , TT故所求二面角A- BD- C的大小是萬(wàn).2.如圖 1,在 Rt ABC43, / ACB= 30 , / ABC= 90 , D 為 AC中點(diǎn),AE! BD點(diǎn) E,延長(zhǎng) AE交 BC 于點(diǎn)F,將 ABDgBD折起，使平面 ABDL平面BCD如圖2所示.由圖1條件計(jì)算得 AE=BC= 23,(1)求證：AE1平面BCD(2)求二面角A- DC- B的余弦值；(3)在線段AF上是否存在點(diǎn)

22、 M使得EM/平面ADC若存在，t#指明點(diǎn) M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫?ABDL平面BCD交線為BD, 又在 ABD中,AE，BD于點(diǎn)E, AE?平面ABQ 所以A已平面BCD.(2)由(1)中AE1平面BCM彳尋AE! EF由題意可知 EF± BD又AEL BD如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF, EQ EA所在直線為x 軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz,不妨設(shè)AB= BD = DC= AD- 2,則 BE= ED- 1.2.3BF=,則 E(0,0,0), D(0,1,0), B(0 , - 1, 0) , A(0,0 ,

23、3® F 興 0, 0 , 6(也,2,0) urn maDCB勺法向量為 EA , EA = (0,0 , 設(shè)平面ADC勺法向量為n= (xy3x+ y= 0,- J3z= o.1,則 y = V3, x =因?yàn)槠矫鍰CB勺法向量為uuu所以 cosn, EA > =T,uurEA,吏5 .所以二面角uurDC=(g<3), y, z),所以n=(11,0)uuurAD =(0,1 , -yj3).由AE1平面 BCD可知平面，一 、一，15A- DC> B的余弦值為?uuur 設(shè)AMuur由于AF =uuur=入AF ,其中入e 0,1.興0,-亞，uuuu uuur.'3所以AM