歐拉平衡微分方程

1、2021/3/91一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo)一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 如圖如圖2.5，在平衡液體中，在平衡液體中，取一微小六面體，為研取一微小六面體，為研究的方便，使其各邊分究的方便，使其各邊分別平行于坐標(biāo)軸，邊長別平行于坐標(biāo)軸，邊長分別為：分別為：dx, dy, dz,其形其形心點(diǎn)為心點(diǎn)為M(x, y, z)，點(diǎn)點(diǎn)M的壓強(qiáng)為的壓強(qiáng)為p(x, y, z)2021/3/92 由于六面體各面的形心到點(diǎn)由于六面體各面的形心到點(diǎn)M的距離很的距離很小小,壓強(qiáng)在壓強(qiáng)在M點(diǎn)附近的變化可點(diǎn)附近的變化可用泰勒級(jí)數(shù)用泰勒級(jí)數(shù)表示表示,且可忽略二階以上的微量且可忽略二階以上的微量,于是：于是：分析作用于六面體表面

2、的力：分析作用于六面體表面的力：（為簡(jiǎn)化，只討論（為簡(jiǎn)化，只討論X方向，方向，Y，Z方向同理可得）方向同理可得） 1.表面力：表面力：只有靜水壓力只有靜水壓力2021/3/93labdc面上的中心點(diǎn)面上的中心點(diǎn)M1（x-dx/2，y，z），其壓強(qiáng)為：），其壓強(qiáng)為：labdc面上的中心點(diǎn)面上的中心點(diǎn)M2（x+dx/2，y，z），），其壓強(qiáng)為：其壓強(qiáng)為：2dxxpp2dxxppM1M22021/3/94 單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為：X，Y，Z，六面體的質(zhì)量為：，六面體的質(zhì)量為：dxdydzvmdxdydzXFxdxdydzYFydxdydzZFz2.質(zhì)量力質(zhì)

3、量力F：2021/3/95根據(jù)平衡條件根據(jù)平衡條件Fx=0，則有：，則有： 0)2()2(dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp除以除以dxdydz，得：，得：0 xpX同理可得：同理可得：0ypY0zpZXxpYypZzp(2.2)(2.3)2021/3/96表明，在靜表明，在靜止液體中止液體中,靜水壓強(qiáng)沿某方向的變靜水壓強(qiáng)沿某方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。力相等。XxpYypZzp(2.3)2021/3/97二、歐拉平衡微分方程的綜合形式二、歐拉平衡微分方程的綜合形式 將歐拉平衡微分方程分別乘以將歐拉平衡微分方程分別乘以dx，dy，dz

4、，后相加得：后相加得：)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp)(ZdzYdyXdxdp （2.4）綜合形式綜合形式 （壓強(qiáng)差公式）（壓強(qiáng)差公式）2021/3/98 （2.4）式左邊是）式左邊是p(x, y, z)的全微分，右邊括號(hào)的全微分，右邊括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分，這個(gè)內(nèi)各項(xiàng)之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分，這個(gè)函數(shù)是函數(shù)是U (x, y, z) ，稱為稱為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù), 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱力勢(shì)函數(shù)。力勢(shì)函數(shù)。 有力勢(shì)函數(shù)存在的力場(chǎng)，叫勢(shì)場(chǎng)。有力勢(shì)函數(shù)存在的力場(chǎng)，叫勢(shì)場(chǎng)。)(ZdzYdyXdxdp三、質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)、有勢(shì)力、等壓面三、質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)、有勢(shì)力、等壓面202

5、1/3/99當(dāng)力勢(shì)函數(shù)存在時(shí)，有：當(dāng)力勢(shì)函數(shù)存在時(shí)，有：zUZyUYxUX,dzzUdyyUdxxUdUdUdp（2.5）)(ZdzYdyXdxdp2021/3/910dUdp（2.5）（2.5）表明壓強(qiáng)在空間的變化是由質(zhì)量力引起的表明壓強(qiáng)在空間的變化是由質(zhì)量力引起的.等壓面：等壓面：在同一種連續(xù)液體中，由壓強(qiáng)相等的各在同一種連續(xù)液體中，由壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面。點(diǎn)所組成的面。在等壓面上，壓強(qiáng)在等壓面上，壓強(qiáng)p=常數(shù)常數(shù)(const)，于是：于是：0dUdp0dUU=常數(shù)常數(shù)(const)，所以，所以等壓面也是等勢(shì)面等壓面也是等勢(shì)面2021/3/911等壓面的微分方程：等壓面的微分方程：0dp即：即：0ZdzYdyXdx（2.6）等壓面的微分方程等壓面的微分方程 dx，dy，dz是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐標(biāo)軸方向的投影。（標(biāo)軸方向的投影。（2.6）表明：）表明： 單位質(zhì)量力所做的微功等于零單位質(zhì)量力所做的微功等于零. 由于質(zhì)量力和位移都不為零，由于質(zhì)量力和位移都不為零，所以在靜止液所以在靜止液體中質(zhì)量力與等壓面正交。體中質(zhì)量力與等壓面正交。2021/3/912 因此，在質(zhì)量力只有重力時(shí)，等壓面為一水因此，在質(zhì)量力只有重力時(shí)，等壓面為一水平面。平面。 常見的等壓面：常