歐拉平衡微分方程

1、2021/3/91一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo)一、歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 如圖如圖2.5，在平衡液體中，在平衡液體中，取一微小六面體，為研取一微小六面體，為研究的方便，使其各邊分究的方便，使其各邊分別平行于坐標(biāo)軸，邊長別平行于坐標(biāo)軸，邊長分別為：分別為：dx, dy, dz,其形其形心點為心點為M(x, y, z)，點點M的壓強為的壓強為p(x, y, z)2021/3/92 由于六面體各面的形心到點由于六面體各面的形心到點M的距離很的距離很小小,壓強在壓強在M點附近的變化可點附近的變化可用泰勒級數(shù)用泰勒級數(shù)表示表示,且可忽略二階以上的微量且可忽略二階以上的微量,于是：于是：分析作用于六面體表面

2、的力：分析作用于六面體表面的力：（為簡化，只討論（為簡化，只討論X方向，方向，Y，Z方向同理可得）方向同理可得） 1.表面力：表面力：只有靜水壓力只有靜水壓力2021/3/93labdc面上的中心點面上的中心點M1（x-dx/2，y，z），其壓強為：），其壓強為：labdc面上的中心點面上的中心點M2（x+dx/2，y，z），），其壓強為：其壓強為：2dxxpp2dxxppM1M22021/3/94 單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為：單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為：X，Y，Z，六面體的質(zhì)量為：，六面體的質(zhì)量為：dxdydzvmdxdydzXFxdxdydzYFydxdydzZFz2.質(zhì)量力質(zhì)

3、量力F：2021/3/95根據(jù)平衡條件根據(jù)平衡條件Fx=0，則有：，則有： 0)2()2(dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp除以除以dxdydz，得：，得：0 xpX同理可得：同理可得：0ypY0zpZXxpYypZzp(2.2)(2.3)2021/3/96表明，在靜表明，在靜止液體中止液體中,靜水壓強沿某方向的變靜水壓強沿某方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等。力相等。XxpYypZzp(2.3)2021/3/97二、歐拉平衡微分方程的綜合形式二、歐拉平衡微分方程的綜合形式 將歐拉平衡微分方程分別乘以將歐拉平衡微分方程分別乘以dx，dy，dz

4、，后相加得：后相加得：)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp)(ZdzYdyXdxdp （2.4）綜合形式綜合形式 （壓強差公式）（壓強差公式）2021/3/98 （2.4）式左邊是）式左邊是p(x, y, z)的全微分，右邊括號的全微分，右邊括號內(nèi)各項之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分，這個內(nèi)各項之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分，這個函數(shù)是函數(shù)是U (x, y, z) ，稱為稱為質(zhì)量力的勢函數(shù)質(zhì)量力的勢函數(shù), 簡稱簡稱力勢函數(shù)。力勢函數(shù)。 有力勢函數(shù)存在的力場，叫勢場。有力勢函數(shù)存在的力場，叫勢場。)(ZdzYdyXdxdp三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面三、質(zhì)量力的勢函數(shù)、有勢力、等壓面202

5、1/3/99當(dāng)力勢函數(shù)存在時，有：當(dāng)力勢函數(shù)存在時，有：zUZyUYxUX,dzzUdyyUdxxUdUdUdp（2.5）)(ZdzYdyXdxdp2021/3/910dUdp（2.5）（2.5）表明壓強在空間的變化是由質(zhì)量力引起的表明壓強在空間的變化是由質(zhì)量力引起的.等壓面：等壓面：在同一種連續(xù)液體中，由壓強相等的各在同一種連續(xù)液體中，由壓強相等的各點所組成的面。點所組成的面。在等壓面上，壓強在等壓面上，壓強p=常數(shù)常數(shù)(const)，于是：于是：0dUdp0dUU=常數(shù)常數(shù)(const)，所以，所以等壓面也是等勢面等壓面也是等勢面2021/3/911等壓面的微分方程：等壓面的微分方程：0dp即：即：0ZdzYdyXdx（2.6）等壓面的微分方程等壓面的微分方程 dx，dy，dz是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐標(biāo)軸方向的投影。（標(biāo)軸方向的投影。（2.6）表明：）表明： 單位質(zhì)量力所做的微功等于零單位質(zhì)量力所做的微功等于零. 由于質(zhì)量力和位移都不為零，由于質(zhì)量力和位移都不為零，所以在靜止液所以在靜止液體中質(zhì)量力與等壓面正交。體中質(zhì)量力與等壓面正交。2021/3/912 因此，在質(zhì)量力只有重力時，等壓面為一水因此，在質(zhì)量力只有重力時，等壓面為一水平面。平面。 常見的等壓面：常