冪級數(shù)在近似計算中的應模板

1、論文4事級數(shù)在近似計算中的應用謝文清江權霞(指導老師：陳引蘭)數(shù)學與統(tǒng)計學院1001班qQ摘要：形如Zan(xXo)n=a°+ai(xXo)+a2(xx0f+an僅X0F+的函數(shù)n=0項級數(shù)稱為幕級數(shù)，幕級數(shù)可以看成是一個“無限次多項式”，它無論在理論上還是實踐上都是一個有力的工具.本文主要運用幕級數(shù)的展開式，對無理數(shù)n,e,ln2等，利用計算機相關軟件，進行近似計算.關鍵詞：幕級數(shù)、近似計算1 .理論依據(jù)以某個幕級數(shù)展開式為基礎，然后把所需要求的量表達成級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項rn(x)估計.我們先給出一些基本初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式及它們對應的余

2、項x/x=1x2!3!n2xnx+十n!rn=-(n1)!(n2)!cdarctanxn4n12n_J(-1)xrnn2n用(-1)x2n12n-1n12n：；3(-1)x35n12nJxx(-1)x3!5!2n-1QOarcsinx=x+vn=12n3(2n-1)!2n1x2n1(2n1)!rn二(2n)!x2n1*3(2n3)!2n3x+(2n2)!2n3(2n4)!nJn2ln(1+x)=(-1)x=x-2n53x+.+n4n23nn1n1n2(-1)x(-1)xn1n2n1n(-1)x1-I»»n2 .n的近似計算本節(jié)利用兩個函數(shù)的幕級數(shù)展開式來近似計算n,在相同的

3、誤差條件下,取不同的x,若取級數(shù)的前n項和作為冗的近似值，對應的n值不一樣，這就為n-12n-1八xn12n-1幕級數(shù)在近似計算中的應用提供了很大的空間由函數(shù)y=arctanx的幕級數(shù)展開式知arctanx若取x=1時,二11一二1一(-1)n-2n-1(D2n1rn4<,2n+1為了保證誤差不超過10-,就要取級數(shù)（1）的前20000項進行計算，計算量之大可以想象.它的收斂速度很慢.對于arctanx展開式而言，當|x越小收斂越快，恰恰在端點x=1收斂最慢.以下取的求和的級數(shù)相應它的收斂速度要稍快現(xiàn)若取x=帶入展開式得311,1-一一(=6、,33.3)31/15n11/12n-(T(

4、-1)(T5、32n-1、311111/八n1(T)353732n-1若取級數(shù)的前n項和作為n的近似值，其誤差為rn111111,(、nJ1=2.3(1(-1)_33532733;2W一(2n+1)3n2n-13n卜面實現(xiàn)（2）式的計算，若要求誤差小于104（計算冗的程序見附錄1）當n=8時,23工=9:101939真二2,3(1-131111111II*+I+35327331537)=3.14167現(xiàn)取,顯見0口±,t己=三"，而4411tanP=tan(a)=所以P=arctan一433二11=arctan一arctan一1111113213=4(一r一二23252n-

5、1等式的右端是一個交錯級數(shù)且是收斂的，實際計算時，我們只能使用有限項。如果取級數(shù)前n項之和作為n的近似值11c即二4(1+(-1)35525mu"13313卜面實現(xiàn)（3）的計算，若要求誤差小于10”（計算冗的程序見附錄2）當n=7時,11111二=4(-t'5-2323525111111n111335.(-1)-13)=3.141561323333535133對于y=arctanx,誤差一樣（如要求誤差小于1Q-）,取不同的x,對應部分和的項數(shù)n與近似計算的n值如下表x1機312n2QQQQ873.141673.141561對于arcsinx的展開式而百，取x=-二1(2n-

6、1)!1二一十匚62n3(2n)!2n17!TZ798!92=1：二1。"622!3234!525!57=3.1411556!727卜面實現(xiàn)（4）的計算，若要求誤差小于1Q*（計算兀的程序見附錄3）綜上，知當誤差確定時，對相同的幕級數(shù)展開式，x的取值不同，所取部分和的項數(shù)不同，近似計算n的值也不同，對不同的幕級數(shù)展開式結(jié)果亦然.當然,當誤差改變時，我們同樣可以利用幕級數(shù)展開式估算出n的值，其精確度更高.3 .數(shù)e的近似計算以ex的幕級數(shù)展開式為基礎進行討論n23nex="=1xn=Qn!2!3!n!-r,11當x=1時，e=1+1+2!n!11rn=e-(1-1.)2!n!

7、111=+,，(n1)!(n2)!(n3)!(n2)(n3),)11)一(1(n1)!(n2)1011、1:(1-2')"(n1)!n1(n1)n!n一一.一111所以取11作為近似值，則誤差為.2!n!n!n111例如：精確到、，則需要rn<<1=n=10(見附錄4)10n!n10111.e=112.7182818.2!3!10!擴廣：利用幕級數(shù)推導e是無理數(shù).1xn11xnI0：e-(11-)<-0：二n!ne-(11-)：12!n!n!n2!n!令k=n!ne-(11-一2!.0：k：11n!ne-(11-112!e=11-=2!n!n!n1k+n!n

8、!n反證法：假設e是有理數(shù)，則p,q£N,(p,q)=1,p>qe=-=11pn-!-n=n!n(111二11-2!)kq2!n!n!nq2!n!等式左邊是一個整數(shù)，右端第一項是整數(shù)，而k是小數(shù)；即右端不是整數(shù)，矛盾.故e是無理數(shù).4 .對數(shù)的計算利用對數(shù)的幕級數(shù)展開式，作對數(shù)的近似計算。根據(jù)對數(shù)的特征，只要計算出正整數(shù)的特征，那么由對數(shù)的運算，其它有理數(shù)的對數(shù)也就知道了以ln(1+x)的麥克勞林級數(shù)作為出發(fā)點qQln(1+x)="n1n1n(-1)x3n_1nx(-1)x3n.1111當x=1時，ln2=1+,.+(1)-+234n當取前n項作為其近似值，其誤差Rn

9、=ln2-(1-1.11.(-1)n'xn1):.234nn1如要精確到10”就要截取一萬項來計算，另外上面的展開式的收斂域為-1<x<1,這就不能直接用它來計算其它整數(shù)的對數(shù)卜面用一個收斂較快的幕級數(shù)來計算ln21，x一.一.利用ln二的幕級數(shù)展開式1-x23xxln(1-x)=-x-231x.ln=ln(1x)一ln(1一x)=2(x1-x2n-1_1xI_1.令=2,即x=-市入(5),有1-x3111ln2=2(3733335351.)(2n-1)32n，估計余項如下11±=2(+)，(2n+1)32n+1(2n+3)32n+3一21,11</c八c

10、2n+1(1+c2+c2+)=”小八fn-1(2n+1)3234(2n+1)3如要精確到10;即使rn<10=只要n=4(見附錄5)1111、1n2：2(-Z-Z35Z-T7)3335373=2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007)=0.6931一.1x11.1ln(1)=2(N拓展:令1.x=1+N=X=2N+1,有-3-5')=ln(1N)=lnN2(2N13(2N1)5(2N1)(2n-1)(2N1)-3-5-212N13(2N1)5(2N1)(2n-1)(2N1)這是一個遞推公式,所以據(jù)此可求任何正整數(shù)的對數(shù)，相應的也可求有理數(shù)，,-1一1如:

11、當N=2時，即x=,5)=1.098611ln3-ln22(3-s5353555(Z2的結(jié)果見附錄6)k=1(2k-1)5(2k-1),一,一一1，當N=4時，即x二，有9111ln5=2ln22(35)=1.60949395921E“一(第西的結(jié)果見附錄7)k=1(2k-1)9如此進行下去，可得ln6,ln7,的值一lnx利用上述計算方法，通過換底公式，我們可以計算得到了1gx二府的一些近似計算結(jié)果并與數(shù)學用表中l(wèi)gx值進行比較（見表）表lgx的幕級數(shù)近似計算結(jié)果與數(shù)學用表中數(shù)值的比較12345678910幕級00.301030.477060.602060.69870.778090.8450

12、40.900900.954121數(shù)算數(shù)學用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通過此表，知幕級數(shù)作為近似計算的工具，結(jié)果與真實值很相近參考文獻1董延闿.級數(shù)M.上海：上?？茖W技術出版社,1982.2華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析.M.北京：高等教育出版社,19993周曉陽.數(shù)學實驗與Matlab.武漢：華中科技大學出版社,2002附錄1.s=0;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)>1e-4s=(-1)A(n-1)*2*3A(1/2)/(2*n-1)*3A(n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得結(jié)果為s=

13、3.14167431n=8即為使計算結(jié)果精確到小數(shù)后第四位，只需求對應級數(shù)前7項的和利用Matlab軟件算得7(-1)nT2、32-n=1加一13n一1symsksymsum(-1)A(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans=x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15,1一，當x=一產(chǎn)時J3symskf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)結(jié)果為ans=3.141674312. s=0;n=1;ps=pi;whil

14、eabs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)A(n-1)/(2*n-1)*1/2A(2*n-1)+1/3A(2*n-1)+s;n=n+1;ends,n計算結(jié)果為s=3.14156158n=73. s=3;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)>1e-4s=(2*n-1)!/(2*n)!*(2*n+1)*2A(2*n+1)+s;n=n+1;ends,n計算結(jié)果為s=3.14115n=44. ff=sym('n*n!=10A7');solve(ff,'n')ans=10101先算、1k=1k!symsknsymsum(1/sym('k!),k,1,10)ans=1.7182818101則e=1+x=2.7182818k=1k!5.ff=sym('4*(2