錯位相減法求和附答案

1、錯位相減法求和專項錯位相減法求和適用于an'bn型數(shù)列，其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，在應(yīng)用過程中要注意：項的對應(yīng)需正確；相減后應(yīng)用等比數(shù)列求和部分的項數(shù)為(n-1)項；若等比數(shù)列部分的公比為常數(shù)，要討論是否為11. 已知二次函數(shù)j二邛的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)訂m的圖象上.(I)求數(shù)列的通項公式；(H)設(shè)證：七、七，是數(shù)列的前項和，求，.解析考察專題：，；難度：一般答案(I)由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,則設(shè)m，加寧於，,又點h只卜均在函數(shù):s的圖象上，.-.當(dāng)】時，|心沁|川:廠血門|”】又=冷：，適合上式，-=+1（7分）I,（n）由（i

2、）知，.iii上面兩式相減得：-rri=32l+2+2S+*r）-（2岬+1卜2*1=2整理得幾二卩甘1卜2曲42（14分）2. 已知數(shù)列''的各項均為正數(shù)，是數(shù)列；的前n項和，且45=;/24加一3njtn（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知嘰"丫求匚二也"曲*A機(jī)的值.答案查看解析I2I3解析（1）當(dāng)n=1時，r解出ai=3,又4Sn=an+2an31當(dāng)-時4sn1=+2an-13+2（%-叫J,即疋-疋“-2（心+J）=°5”"e-),:數(shù)列如是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，6分二aK=3+2(«-1)=2+1(2)J&#

3、176;，_L*八1又:-："21I)J'!<,-/2T；一3/玄22,小(加4)2一玉冬尋一：-疋証/>“=F礦1+212分3. (2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分)設(shè)函數(shù)I，.''1,數(shù)列：前項和，匕二.二二I：,數(shù)列，滿足'-.(I)求數(shù)列：的通項公式；(n)設(shè)數(shù)列.的前.項和為i,數(shù)列：的前；項和為：,證明：叫4釣口-.答案(1)由翠如一甕，二隨，得一：一二，Jl"R是以.為公比的等比數(shù)列，故:.(n)由-'I.得r1.?比r.(注：此題用到了不等式：III-,-i進(jìn)行放大.)4. 已知等差數(shù)列

4、：中，;是與的等比中項.(I)求數(shù)列'''的通項公式：(n)若sI、.求數(shù)列的前,項和解析(I)因為數(shù)列是等差數(shù)列，是"與的等比中項.所以',又因為，設(shè)公差為，則''1,所以陸-卜恣：啥公制，解得，或：,當(dāng)/=2時口i=2叫=2十(斤1卜2二2円.當(dāng)'時.所以或.(6分)(n)因為.，所以，所以；,所以、二I*V二I丁工：二:所以.工二丁*二T-£二2(尹寸，十2口Ji一刃22匕2_/7才|兩式相減得',所以、'.(13分)5. 已知數(shù)列的前"項和=,，叫“一以工小包；,等差數(shù)列；中'

5、，且公差.：.(I)求數(shù)列、；的通項公式；(H)是否存在正整數(shù)'，使得'''''''若存在，求出：'：的最小值,若不存在，說明理由fr-nLt-t/、Ji1Ii-i|斗1T'丿X2,fj二QW.+1L|-tr-,z|-r解析(I)時，相減得：碣*1二Z2)衛(wèi)w細(xì)+1=3二込二3曲，乂,數(shù)列：是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，.=b.+=5/.h,=3b=2?+1z八、乂，(6分)(n)二-：心人吒=3買I+3囂3+7咒3、L*(加1)衣釘上斗(2卄1工3(37；=3x3+5xi-+7xi'+L+(2/;-l

6、)x3J'-'(2/jl)xy_得.31+2（3+3'+L十3"）i工口十I）菽薩:匚"薩,x3>60n，即3ff>60,當(dāng)?shù)ば?,苗c60，當(dāng)淪4。亍60.的最小正整數(shù)為4.（12分）6. 數(shù)列滿足H'"；二，等比數(shù)列；：滿足二=込.（I）求數(shù)列，：的通項公式；（n）設(shè)，求數(shù)列的前:項和.解析（I）由，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，所以W二g"=8由二",：；.二遲，所以，：，所以，即',h=¥所以（6分）（n）因為,所以則':-;'二所以.丨：二、:：；.2兩式相減的,

7、所以''.（12分）7.已知數(shù)列滿足皆.汕，其中為數(shù)列的前，項和.(I)求的通項公式；A="(n)若數(shù)列滿足：-(甘汕)，求的前項和公式.解析I)2'-各-m:丁，一得，又心|時，；!-巧咲晁宀GW寅(5分)-：T.-=1k23+ix：T+-+(rr-nM2*-bf/x兩式相減得，代斤M価一1口74:t”町bT(13分)8. 設(shè)d為非零實數(shù),an珂昭d+2(：d2+(n-1)唱dn-1+罔dn(nN*).(I)寫出ai,a2,a3并判斷an是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(n)設(shè)bn=ndan(nN*),求數(shù)列bn的前n項和S答案(I)由已知

8、可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)當(dāng)n2,k>1時，=,因此由此可見,當(dāng)dz-1時,an是以d為首項,d+1為公比的等比數(shù)列當(dāng)d=-1時,ai=-1,an=0(n>2),此時an不是等比數(shù)列.(7分)ni(n)由(I)可知，an=d(d+1)-,從而bn=nd2(d+1)n-1,S=d21+2(d+1)+3(d+1)2+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1.當(dāng)d=-1時，Sn=d2=1.當(dāng)dz-1時，式兩邊同乘d+1得(d+1)Sn=d2(d+1)+2(d+1)2+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n.，式相減可得22n-1n.-dSn=d1+(d

9、+1)+(d+1)+(d+1)-n(d+1)化簡即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.綜上，Sn=(d+1)n(nd-1)+1.(12分)9. 已知數(shù)列an滿足a1=0,a2=2,且對任意m,nN都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)(I) 求as,a5；(n)設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(nN),證明:bn是等差數(shù)列；(川)設(shè)Cn=(an+1-an)q-(qzo,nN),求數(shù)列cn的前n項和S.答案(I)由題意，令m=2,n=1可得a3=2a2-a計2=6.再令m=3,n=1可得a5=2a3-ai+8=20.(2分)（n）證明：當(dāng)nN時,由已知（以n+2代替m）可得a2

10、n+3+a2n-i=2a2n+i+8.于是a2（n+1）+1-a2（n+1）-1-（a2n+1-a2n-1）=8,即bn+1-bn=8.所以，數(shù)列bn是公差為8的等差數(shù)列.（5分）（川）由（I）、（n）的解答可知bn是首項b1=a3-a1=6,公差為8的等差數(shù)列則bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知（令m=1）可得，an-(n-1)那么,an+1-an211+1211-1Sil-2:T-2n+仁2-2n+仁2n.n-1是,cn=2nq.當(dāng)q=1時，Sn=2+4+6+2n=n(n+1).012n-1當(dāng)ql時，Sn=2q+4q+6q+2nq兩邊同乘q可得123qS=2q+4

11、q+6q+2(n-1)n-1n-q+2nq.上述兩式相減即得(1-q)Sn=2(1+q3q2+qn-1)-2nqVq1'l-n+l)qn-Hnqn，1bQ-2nqn=2n=2所以S=2n(n+l)(q-1)$綜上所述,s2®(12分)10. 已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項公式求數(shù)列an答案設(shè)數(shù)列an的公差為d(d豐0),2由條件可知：(2+3d)=(2+d)(2+7d),解得d=2.(4分)故數(shù)列an的通項公式為an=2n(nN*).(6分)由知an”=2nx3n,設(shè)數(shù)列an心'的前n項和為S,貝US=

12、2X32+4X34+6X36+2nX32n,32Sn=2x3+4x3+(2n-2)X32n+2nX32n故-8Sn=2(32+34+36+32n)-2nX32n+2,(8分)伽叫9所以數(shù)列an3'的前n項和Sn=畀.(12分)11. 已知等差數(shù)列林:J滿足A又?jǐn)?shù)列中,且(1)求數(shù)列：，：的通項公式(2) 若數(shù)列：，的前：項和分別是，且:.-亠丄_亠求數(shù)列：的前"項fl和i;若i：對一切正整數(shù)一恒成立，求實數(shù)答案(1)設(shè)等差數(shù)列：的公差為,則有-,、卩坷十4")-2(曲+a|=3.解得.數(shù)列：是以知二？為首項，公比為.1的等比數(shù)列.二九=3x3,“"3廠屮）

13、.4分由可得迄"一；w;（3-*_343）*ac二=iyil.fln+t；-i+，1-/-2m、“/w、.丨：mn=ix3"+2崑亍十3x3坨+（2）F硏判X1II.、得ft10分廠沆二X口-y-；：:比-;“二©n汀沐;-當(dāng)7時，取最小值，叫八,9>91°8-4當(dāng)廠I時,當(dāng)I'時,4即實數(shù)附的取值范圍是*切也弋一或刪I14分12. 設(shè)二為數(shù)列；':的前川項和，對任意的Xi,都有-：3'為常數(shù),且從(1)求證：數(shù)列Ii是等比數(shù)列；(2) 設(shè)數(shù)列；*；的公比/-,"ji,數(shù)列"滿足；s-爲(wèi)"m池，

14、求數(shù)列；的通項公式；11(3) 在滿足(2)的條件下，求數(shù)列的前項和5.答案188.(1)當(dāng)；丨時，|、3w,解得'1.當(dāng)n>2時，比二叫,即；IX.數(shù)列m是首項為1,公比為】I小的等比數(shù)列.?0m（2）由（1）得，I門川I心，人二匚.'-,ITWPJ-I01m+'可一匚7（q2）?.円丄是首項為二，公差為1的等差數(shù)列."加1（肚“）.9分n2”1孫-丄亍一鞏2-1）（3）由（2）知，貝U'7；2'1+23+25+-+21k（2m-3）+2flk（2zj-1）2ax1t2x342"x5+-42J（2丹一得7B=2fl,lx（2/i-l）-2-22M2'14x13. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,且S4=4S2,a滬2吊+1.(I)求數(shù)列an的通項公式；%+u*求數(shù)列Cn(n)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,且Tn+：=入(入為常數(shù)),令Cn=b2n(nN),的前n項和R1.答案(I)設(shè)等差數(shù)列an的首項為ai,公差為d