2.1函數(shù)的極限--點(diǎn)極限(1)ppt課件

1、 0 xxfx當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限點(diǎn)極限就說當(dāng)就說當(dāng)x 趨向于正無窮大時(shí)，趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)函數(shù) 的極限是的極限是a ，記作，記作lim( )xf xa ；( )f x一般地，當(dāng)自變量一般地，當(dāng)自變量x 取正值并且無限增大時(shí)，如果函數(shù)取正值并且無限增大時(shí)，如果函數(shù))(xf無限趨近于一個(gè)常數(shù)無限趨近于一個(gè)常數(shù) a ，也可記作也可記作:當(dāng)當(dāng)axfx)(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)也可記作也可記作:axfx)(時(shí)，時(shí)，就說當(dāng)就說當(dāng)x 趨向于負(fù)無窮大時(shí)，趨向于負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)函數(shù) 的極限是的極限是a ，記作，記作lim( )xf xa ；當(dāng)自變量當(dāng)自變量x 取負(fù)值并且絕對值無限增大時(shí)，如果函數(shù)取負(fù)值并且絕對值無限增大時(shí)

2、，如果函數(shù))(xf無限趨近于一個(gè)常數(shù)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a ， ( )f x一、復(fù)習(xí)引入：一、復(fù)習(xí)引入：無窮極限的定義無窮極限的定義: :也可記作也可記作:當(dāng)當(dāng)axfx)(時(shí)，( ).limxfxa ( )limxfx ( )limxfx 假如假如 =a,且且 =a, 那么就說當(dāng)那么就說當(dāng) x 趨向于趨向于無窮大時(shí)無窮大時(shí), 的極限是的極限是a,記作記作 ( )f x可否用類似的思想和方法研究可否用類似的思想和方法研究xx0時(shí)的函數(shù)極限？時(shí)的函數(shù)極限？( )limxf xa( )limxf xa( )limxf xa且且xy111.52.524討論當(dāng)x無限趨近于2時(shí),函數(shù) 的變化趨勢.2xy 1

3、). x從2的左邊(x2)無限趨近于2:0.000040.00040.0040.040.412.25|y-4|4.000044.00044.0044.044.416.252.000012.00012.0012.012.12.5x2xy 從表和圖象都可以看出:當(dāng)自變量x從x軸上表示2的點(diǎn)的右邊無限趨近于2時(shí),函數(shù) 的值, 2xy 無限趨近于4.2.5從上面兩種情況來看,當(dāng)x無限趨近于2時(shí)函數(shù)2xy 的函數(shù)值無限趨近于4.因而,稱為當(dāng)x無限趨近于2時(shí),函數(shù) 的極限為4.2xy 記作:4lim22 xxo再討論當(dāng)x無限趨近于1(但不等于1)時(shí),函數(shù) 的變化趨勢.211xyx112 xxy函數(shù)112

4、xxy的定義域不包括1 x即112 xxy在1 x處無定義但x可以從x軸上點(diǎn)x=1的左,右兩邊無限趨近于1. 所以,當(dāng)x無限趨近于1(但不等于1)時(shí),y的值無限趨近于2.因而,當(dāng)x無限趨近于1(但不等于1)時(shí),函數(shù)112 xxy的極限是2.記作:211lim21 xxx21-101xy112 xxy即),1|( 1 xxxxy由于定義：當(dāng)自變量定義：當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù) (但不等于但不等于 )時(shí)時(shí),0 x0 x如果函數(shù))(xf無限趨近于一個(gè)常數(shù), a就說當(dāng)x趨近于0 x時(shí),函數(shù) 的極限是)(xf, a記作:,)(lim0axfxx 也可記作:.)(0axfxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(l

5、im0 xfxx也叫做函數(shù))(xf在點(diǎn)0 xx 處的極限.例1、當(dāng) 時(shí),寫出下列函數(shù)的極限:2 x;)1(2xy ; sin)2(xy ; )3(xy . 5)4( y解:.4lim)1(222 xx. 1sinlim)2(2 xx .2lim)3(2 xx. 55lim2 x(4)y=5是常數(shù)函數(shù),函數(shù)值始終等于常數(shù)5.有函數(shù)極限的 定義,容易得到一般地,設(shè)C為常數(shù),那么.lim0CCxx 例2、寫出下列極限的值：; lim)1(5xx; 2lim)2(0 xx; lim)3(21xx ; tanlim)4(4xx ; 2lim)5(2xx. 1)-2(lim)6(22xx 對于極限表達(dá)式

6、，中的0lim( )xxf xa0 xx ，應(yīng)怎樣理解?應(yīng)理解為x可以用任何方式無限趨近于0 x，其中包括:1從表示 的點(diǎn)的左邊無限趨近于 ；0 x0 x2從表示 的點(diǎn)的右邊無限趨近于 ；0 x0 x3從表示 的點(diǎn)的兩側(cè)交錯(cuò)地?zé)o限趨近于 ；0 x0 x總之，不管以哪種方式趨近， 只要0 xx ，就有.)(axf下面討論函數(shù)的“單側(cè)極限,即自變量x只能從表示 的點(diǎn)的一側(cè)0 x無限趨近于 是函數(shù) 的極限.0 x)(xf2.函數(shù)的左右極限函數(shù)的左右極限:x11-1yO當(dāng)x從原點(diǎn)O的左側(cè)無限趨近于0時(shí),函數(shù))(xf無限趨近于-1；當(dāng)x從原點(diǎn)O的右側(cè)無限趨近于0時(shí),函數(shù))(xf無限趨近于1.由于x從不同

7、方向無限趨近于0時(shí),)(xf所無限趨近的值不同,所以,)(xf在x=0處無極限.即0lim( ).xf x不存在考察函數(shù)考察函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng)x無限趨近于無限趨近于0時(shí)，時(shí)，1 (0)( )0(0)1 (0)xxf xxxx函數(shù)函數(shù) 的變化趨勢？的變化趨勢？)(xfx11-1yO考察函數(shù)考察函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng)x無限趨近于無限趨近于0時(shí)，時(shí)，1 (0)( )0(0)1 (0)xxf xxxx函數(shù)函數(shù) 的變化趨勢？的變化趨勢？)(xf考慮到函數(shù)1 ( 0),( ) 0 ( 0),1 ( 0).xxf xxxx當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0lim( )xf x不存在.但是,如果限制x只能從原點(diǎn)O的某一側(cè)無限趨近于0,函數(shù)就會無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù).當(dāng)x從原點(diǎn)O的左側(cè)無限趨近于0時(shí),函數(shù))(xf無限趨近于1.比如:由此,我們得到單側(cè)極限的定義.一般地,如果當(dāng)x從點(diǎn) 左側(cè)(即 )無限趨近于 時(shí),0 xx 0 x函數(shù))(xf無限趨近于常數(shù), a0 xx a就說 是函數(shù)0 x記作.)(lim0axfxx )(xf在點(diǎn)處的左極限,就說 是函數(shù)0 x記作.)(lim0axfxx a)(xf在點(diǎn)處的右極限,一般地,如果當(dāng)x從點(diǎn) 右側(cè)(即 )無限趨近于 時(shí),0 xx 函數(shù))(xf無限趨近于常數(shù), a0 xx 0 x由函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右極限定義可知,對于函數(shù) . )0 ( 1),0 ( 0 ),