數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、學(xué)號(hào)：數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)年級(jí)班別：姓名：指導(dǎo)教師：2012年05月數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最主要最基本的研究對(duì)象，數(shù)與形是緊密相連的，在一些特定的條件下，數(shù)與形是可以相互轉(zhuǎn)化的，這就是“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要思想，在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要的地位。本文中主要介紹了數(shù)形結(jié)合研究背景及意義；在中學(xué)教學(xué)中的地位；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則和途徑以及數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)解題中的應(yīng)用等問(wèn)題。通過(guò)分析、比較和歸納充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的特點(diǎn)和優(yōu)越性，從而在實(shí)際教學(xué)中要將數(shù)形結(jié)合思想融匯到課堂中，培養(yǎng)學(xué)

2、生加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。關(guān)鍵詞數(shù)與形；數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)ThecombinationofshapesandnumberinthemiddleschoolAbstractThenumberandshapearethetwomostmajorandbasicresearchobjectsinmathematics,andtheyhavecloserelationship.Insomespecificconditions,theyareinterchangeable,whichisnamecthecombinationofshapesandnumber.Thecombinationofshapes

3、andnumberisanimportantthoughtinmathematicsstudying,whileitoccupiesanimportantpositioninmathematics,too.Thisarticlemainlyintroduces：theresearchbackgroundandsignificanceofthecombinationofshapesandnumber,it'spositioninthemiddleschoolteaching,theprinciplesandwaysofit'sapplication,andtheapplicati

4、onofthecombinationofshapesandnumberthoughtinthemiddleschoolproblemsolvingandsoon.Throughtheanalysis,comparisonandinduction,itshowsthecombinationofshapesandnumberthought'scharacteristicandadvantagesintheproblemsolving,whichinactualteaching,weshouldformtogetherwiththisthoughttotheclassroom,trainin

5、gstudentstostrengthentheconsciousnessofthecombinationofshapesandnumberthought.KeywordsNumberandshapeThecombinationofnumberandshapesThemathematicsofthemiddleschool目錄摘要1Abstract2刖H41數(shù)形結(jié)合思想方法概述41.1 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景41.2 數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用52數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位52.1 從新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合52.2 從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合52.3 從高考

6、題設(shè)計(jì)背景來(lái)看數(shù)形結(jié)合63數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則63.1 .數(shù)形結(jié)合的途徑63.2 .數(shù)形結(jié)合的原則74數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用74.1 “數(shù)”中思“形”74.1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題74.1.2 利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算84.1.3 數(shù)形結(jié)合思想在解決對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)用84.1.4 利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小94.1.5 數(shù)形結(jié)合思想在解方程問(wèn)題中的應(yīng)用94.1.6 數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題104.2 “形”中覓“數(shù)”105結(jié)束語(yǔ)11參考文獻(xiàn)11致謝12前言在數(shù)學(xué)思想中，有一類(lèi)思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。

7、中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的課程。一直以來(lái)數(shù)與形就是兩個(gè)不可分割的對(duì)象，他們?cè)谝欢ǔ潭壬峡梢韵嗷マD(zhuǎn)換，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”，即數(shù)形結(jié)合在一起好處很多，而獨(dú)立分開(kāi)卻會(huì)帶來(lái)很多麻煩，從這可以看出數(shù)與形的基本性質(zhì)，數(shù)與形是不可分割的，數(shù)形結(jié)合在實(shí)際

8、問(wèn)題中是緊密結(jié)合在一起的。而數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中若能“以數(shù)示形，以形思數(shù)，數(shù)形滲透”，則能加強(qiáng)知識(shí)的橫縱聯(lián)系（1）0對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題，在小題目中經(jīng)常考察數(shù)形結(jié)合思想，如果熟練掌握了數(shù)形結(jié)合思想并加以巧妙利用，那么我們將取得事半功倍的效果，能幫助我們?cè)诟呖贾心苋〉脮r(shí)間和效率的優(yōu)勢(shì)，最終讓你取得優(yōu)異成績(jī)。那么接下來(lái)我們將要研究數(shù)形結(jié)合思想在我們中學(xué)中到底有哪些用處，我們解什么樣問(wèn)題時(shí)需要用到數(shù)形結(jié)合思想？1數(shù)形結(jié)合思想方法概述1.1

9、數(shù)形結(jié)合思想的研究背景數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為研究的對(duì)象，而數(shù)和形是相互聯(lián)系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的。早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形式聯(lián)系起來(lái)了。我國(guó)宋元時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)畫(huà)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系?！皵?shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫(xiě)的談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的科普小冊(cè)子中。“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致又可以分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形過(guò)于簡(jiǎn)單，直觀觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng).

10、角度等等?！耙孕沃鷶?shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法。1.2 數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義。首先，“數(shù)形結(jié)合”能更好幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與記憶。例如：在研究函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)圖形來(lái)記憶有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，像函數(shù)的定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等。其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力。第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力?！皵?shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是:見(jiàn)到數(shù)

11、量就應(yīng)想到它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。在中學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。2數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位2.1 從新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)思維能力的要求看數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹(shù)立現(xiàn)代思維意識(shí)：第一通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。第二通過(guò)數(shù)形結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生從多角度、多層次出發(fā)地思考問(wèn)題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。第三通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動(dòng)

12、態(tài)思維方式，也就是以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題，更好地把握事情的本質(zhì)。由此可見(jiàn)，新課程把數(shù)形結(jié)合思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，要求教師能充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，挖掘它的教學(xué)功能和解題功能。2.2 從新課程教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)基本知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)不可分割的有機(jī)組成部份。數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想和手段，它是人們探索數(shù)學(xué)真理，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中逐步積累起來(lái)的，并蘊(yùn)含于各個(gè)數(shù)學(xué)分支的公理、定理、公式、法則和解決問(wèn)題的過(guò)程中，是人類(lèi)寶貴的精神財(cái)富。數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想和方法，兩者的聯(lián)系是辯證的統(tǒng)一。這就決定了在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，

13、數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不能代替數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，課堂教學(xué)的目的，應(yīng)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系，教師在課堂教學(xué)中，既要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，更要突出數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，通過(guò)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，使我們的學(xué)生畢業(yè)之后，“不論做什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)思想方法和著眼點(diǎn)，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受用?！比欢谡n堂教學(xué)中教師過(guò)于呆板地強(qiáng)調(diào)著邏輯思維能力。在教學(xué)中忽視對(duì)直觀圖形的利用，不能很好地利用具體形象來(lái)化解對(duì)書(shū)本中一些抽象的結(jié)論的理解。忽視學(xué)生形象思維的培養(yǎng)。學(xué)生對(duì)于現(xiàn)在這種過(guò)于陳舊的課堂教學(xué)模式不能產(chǎn)生“親和感”，感到枯燥，厭惡。事實(shí)上教材中體現(xiàn)數(shù)形

14、結(jié)合思想方法的內(nèi)容很多，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合給代數(shù)提供幾何模型，形象直觀地揭示問(wèn)題的本質(zhì)，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用數(shù)形結(jié)合有利于進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)渡銜接。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較具體，模仿性的練習(xí)較多，而高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容抽象性較強(qiáng)，強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解基礎(chǔ)上的運(yùn)用，對(duì)思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用要求較高。因此學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有一個(gè)適應(yīng)過(guò)程。教師更要幫助學(xué)生渡過(guò)這個(gè)關(guān)口。從高一數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)看，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，從具體到抽象恰好符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。2.3 從高考題設(shè)計(jì)背景來(lái)看數(shù)形結(jié)合隨著數(shù)學(xué)教育改革不斷深入，高考命題朝著多樣性和多變性發(fā)展，增加了應(yīng)用題，

15、開(kāi)放題，情景題，強(qiáng)調(diào)檢測(cè)學(xué)生的創(chuàng)造能力。重在考查對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在考查知識(shí)的綜合應(yīng)用，著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極導(dǎo)向，決定了我們?cè)诮虒W(xué)中必須以數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的運(yùn)用，整體把握各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。利用數(shù)形結(jié)合設(shè)題，一方面考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言的理解能力，語(yǔ)言的互補(bǔ)、互譯、互化能力，即在數(shù)學(xué)本質(zhì)上的有欲轉(zhuǎn)化能力，另一方面考查學(xué)生的構(gòu)圖能力，以及對(duì)圖形的想象能力，綜合應(yīng)用知識(shí)的能力；考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力最能展示學(xué)生能否進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思維”。因此數(shù)形結(jié)合在每年的高考中

16、都是一道亮麗的風(fēng)景線，如果能從圖形特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，又能從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，并準(zhǔn)確構(gòu)圖那么很快就能得出正確答案。3數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的途徑和原則3.1 .數(shù)形結(jié)合的途徑(1)通過(guò)坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問(wèn)題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過(guò)輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧。實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式一22(x2)(y1)4(2)

17、通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化(4)0例如，將a>0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b22a|bcos(60或120)與余弦定理溝通，將abc>0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。3.2.數(shù)形結(jié)合的原則(1)等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)

18、和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。(2)雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析，在許多時(shí)候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。(3)簡(jiǎn)單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來(lái)敘述解題過(guò)程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單。而不是去刻意追

19、求一種流性的模式一一代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法，幾何問(wèn)題尋找代數(shù)方法。4數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)解題中的應(yīng)用4.1 “數(shù)”中思“形”4.1.1 利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題一般情況我們用圓來(lái)表示集合，兩個(gè)圓相交則表示兩個(gè)集合有公共的元素，兩個(gè)圓相離就表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共的元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題。例1某校先后舉行數(shù)理化三科競(jìng)賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)807人，物理739人，化學(xué)437人；至少參加兩科的：數(shù)理593人，數(shù)化371人，理化267人；三科都參加的213人，試計(jì)算參加競(jìng)賽總?cè)藬?shù)。解我們用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化競(jìng)賽的人數(shù)，那么三個(gè)圓的公共部分正好表

20、示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用n表示集合的元素，則有：n(A)n(B)n(C)n®(B)h(Aj(B)(騎BCn(ABC)807739437593371267213965即：參加競(jìng)賽總?cè)藬?shù)為9青人C(化)J4.1.2 利用數(shù)軸解決集合的派3例2設(shè)Ax|x2160,Bx|x24x30,|R.求AB,AB,AB,AB.分析分別先確定集合A,B的元素，Ax|4x4,Bx|xMx1,然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來(lái)，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫(xiě)出答案:(公共部分)°0id1-c-4201234整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋)ABx|4x1或3x4ABI(ABx|x(除去重合部分剩下的區(qū)域)(除

21、去覆蓋部分剩下的區(qū)域)4.1.3 數(shù)形結(jié)合思想在解決對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)用例3如圖，已知A(4,0)、B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反向后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(A. 210B. 6C. 33D.25解題思路利用對(duì)稱知識(shí)，將折線PMN的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為折線CNMD的長(zhǎng)度解析設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(2,0),則光線所經(jīng)過(guò)的路程PMN的長(zhǎng)PMMNNPDMMNNCCD2聞本例是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的典范，關(guān)鍵是靈活利用平面幾何知識(shí)與對(duì)稱的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一般地，在已知直線上求一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值，需

22、利用對(duì)稱將兩條折線由同側(cè)化為異側(cè)，在已知直線上求一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的最大值，需利用對(duì)稱，將兩條折線由異側(cè)化為同側(cè)，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。4.1.4 利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行x比較。如：產(chǎn)例4試判斷0.32,log20.3,20.3三個(gè)數(shù)間的大小順序分析這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù)y1x2,y210g2x,y32、在x0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)x0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)Pi，P2，P3的位置，從而可得出結(jié)論：20.30.324.1.5 數(shù)形結(jié)合思想在解方程

23、問(wèn)題中的應(yīng)用例5解方程3x2x分析由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù)y3、與丫2x,作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x0.4.4.1.6 數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問(wèn)題，特別是一些三角函數(shù)的題目和我們通常見(jiàn)到的線性規(guī)劃問(wèn)題例6已知函數(shù)ycos四,求函數(shù)的最小值.sin1解由cos一也的結(jié)構(gòu)形式，我們可以聯(lián)想到幾sin1何當(dāng)中直線的斜率公式，即cos強(qiáng)可以看成過(guò)點(diǎn)人門(mén),cos）與點(diǎn)sin1B（1,點(diǎn)）的直線的斜率.A是動(dòng)點(diǎn)且在圓X2y21上，B為定點(diǎn)，作出圖象，由圖可知：BO2,AODO1,則D

24、BOOBA300,所以圓O的切線BC的傾斜角為150°,故ymintan1504.2 “形”中覓“數(shù)”例7設(shè)方程x21k1,試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.分析我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)yx21與當(dāng)k1時(shí)，1與y2沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解y2k1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y2k1表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：當(dāng)k1時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解當(dāng)1k0時(shí)，y,與y2有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè);當(dāng)k0時(shí)，必與y2有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè);當(dāng)k0時(shí)，yi與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè).例8已知直線y=

25、削M+3版雙曲線1-4/=W且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的不同取值個(gè)數(shù)。分析作出雙曲線1-4/=4的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（的直線系，雙曲線的漸近線方程為尸=土，了。所以過(guò)（-四力）點(diǎn)且彳和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取正文"x兩個(gè)不同值，止匕外，過(guò)（）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與夕”雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故k有四個(gè)不同取值。在做很多題目時(shí)把圖形畫(huà)出來(lái)，問(wèn)題自然就解決了，利用“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決幾何問(wèn)題，它具有直觀性、靈活性等特點(diǎn)。數(shù)形完美的結(jié)合，就能達(dá)到事半功倍的效果。5結(jié)束語(yǔ)數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微?？傊?，數(shù)形結(jié)合思想方法是一種非常有用的數(shù)學(xué)方法，它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化（10）0另外，它對(duì)于我們進(jìn)行數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究是非常有幫助的。因此，我們應(yīng)該在平時(shí)的學(xué)習(xí)和研究中注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，真正做到胸中有圖，圖中有數(shù)，不斷拓展我們的思維。在教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，要充分挖掘教材內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想滲透于