整理多元函數(shù)求極值拉格朗日乘數(shù)法

1、第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無(wú)條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實(shí)際問(wèn)題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)內(nèi)容：一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)z=f（X,y）在點(diǎn)（Xo,y0）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于（Xo,yo）的點(diǎn)，如果都適合不等式f（x,y）<f（xo,yo）則稱(chēng)函數(shù)f（X，y）在點(diǎn)（Xo，yo）有極大值f（Xo，yo）o如果都適合不等式f（X,y）>f（Xo,yo）則稱(chēng)函數(shù)f（X,y）在點(diǎn)（X0,yo）有極小值f

2、（Xo,yo）.極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。-2,2例1函數(shù)z=3X+4y在點(diǎn)（。，0）處有極小值。因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)（。，。）的任一鄰域內(nèi)異于（。，。）的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（。，。）處的函數(shù)值為零。從22幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)（。，。，。）是開(kāi)口朝上的橢圓拋物面z=3X+4y的頂點(diǎn)。22例2函數(shù)z=rx+y在點(diǎn)（0,0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0,0）處函數(shù)值為零，而對(duì)于點(diǎn)（0,0）的任一鄰域內(nèi)異于（0,0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0,0,0）是位于x°y平面下方的錐面z=rx2+y2的頂點(diǎn)。例3函數(shù)z=xy在點(diǎn)（0,0）處既不取得極大值也不取得極小值。

3、因?yàn)樵邳c(diǎn)（0,0）處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0,0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（x0，y0）處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx（x0,y0）=0,fy（x（）,y0）=0證不妨設(shè)z=f（x,y）在點(diǎn)（x0，y。）處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)（x0,y°）的某鄰域內(nèi)異于（x°,y°）的點(diǎn)都適合不等式f（x,y）:二f（x0,y0）特殊地，在該鄰域內(nèi)取y=y0,而x*x0的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式f（x,y°）：二f（x0,y0）這表明一元函數(shù)f（

4、x，y0）在X=X0處取得極大值，因此必有fx（x0,y0）=0類(lèi)似地可證fy(x0,y0)=0從幾何上看，這時(shí)如果曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo,z°)處有切平面，則切平面zzo=fx(xo,yo)(x-xo)fy(xo,yo)(yyo)成為平行于x°y坐標(biāo)面的平面z-zo=0。仿照一元函數(shù)，凡是能使fx(x，y)=o，fy(x，y)=o同時(shí)成立的點(diǎn)(xo,y。)稱(chēng)為函數(shù)z=f(x，y)的駐點(diǎn)，從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)(o,o)是函數(shù)z=xy的駐點(diǎn)，但是函數(shù)在該點(diǎn)并無(wú)極值。怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢

5、？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題。定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo，yo)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(xo,yo)=o,fy(xo,yo)二0,令fxx(xo,yo)-A,fxy(xo,yo)=B,fyy(x°,yo)=C則f(x，y)在(Xo,yo)處是否取得極值的條件如下：2(1) AC-BA0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<o時(shí)有極大值，當(dāng)Ao時(shí)有極小值;(2) AC-B<O時(shí)沒(méi)有極值；_2(3) AC-B=O時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法敘

6、述如下:第一步解方程組fx(x，y)=。,fy(x，y)=。求得一切實(shí)數(shù)解，即可以得到一切駐點(diǎn)。第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0，y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ),B和C。第三步定出AC-B2的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f(x0，y。)是否是極值、是極大值還是極小值。33八2-2八例1求函數(shù)f(x，y)=x-y+3x+3y-9x(極值。解先解方程組_2fx(x,y)=3x6x-9=0,fy(x,y)=-3y6y=0,求得駐點(diǎn)為(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。再求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x,y)=6x6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y6在點(diǎn)(1,0)處，AC-B2=126&g

7、t;0又A>0,所以函數(shù)在(1,0)處有極小值f(1,0)=-5;2在點(diǎn)(1,2)處，AC-B=12(-6)<0,所以f(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0)處，AC-B2=-126父0,所以f(-3,0)不是極值;2在點(diǎn)(-3,2)處，AC-B=-12.(-6)>°又a<0所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值f(-3,2)=31。例2某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為2m的有蓋長(zhǎng)方體水箱。問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省。2m解設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則其高應(yīng)為xy,此水箱所用材料的面積22A=2(xyyx)xyxy,22A=2(xy)即xy(xfy&g

8、t;0)可見(jiàn)材料面積A是x和y的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)(x，y)。Ax=2(y-馬)=0令x,Ay=2(x-馬)=0y解這方程組，得：x=啦,y=%2從這個(gè)例子還可看出，在體積一定的長(zhǎng)方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)z=f(x，y)在附加條件*(x，y)=0下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y)=f(x,y)(x,y)其中九為某一常數(shù)求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)聯(lián)立fx(x,y)+/x(x,y)=0,fy(x,y)'y(x,y)=0,(x，y)=0.(1)由這方程組解出x,

9、y及九，則其中x,y就是函數(shù)f(x，y)在附加條件下(x，y)=0的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。例如，要求函數(shù)u=f(x,y,z,t)在附加條件(x,y,z,t)=0甲(x,y,z,t)=0(2)下的極值，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)-J(x,y,z,t)其中兀，九2均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與(2)中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)求解，這樣得出的x、V、z、t就是函數(shù)“XiMZiD在附加條件(2)下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定

10、。,一-2例3求表面積為a而體積為取大的長(zhǎng)方體的體積。解設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為x，y,z,則問(wèn)題就是在條件中(x,y,z,t)=2xy+2yz+2xza2=0(:下，求函數(shù)V=xyz(x0,y0,z0)的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù)2、F(x,y,z);xyz'(2xy2yz2xz-a)求其對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到y(tǒng)z+2(y+z)=0xz2(xz)=0Ixy+2(y+z)=0(4)再與(10)聯(lián)立求解。因y、z都不等于零，所以由(11)可得Xxzyxyy=y+z,z=x+z.由以上兩式解得x=y=z將此代入式(10),使得6ax=y=z=6這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說(shuō)，表面積為a的長(zhǎng)方體中