泊松分布及其在實際中的應(yīng)用

1、 泊松分布是法國數(shù)學(xué)家泊松于1837年引入的，是概率論中的幾大重要分布之一。作為一種常見的離散型隨機變量的分布，其在實際中有著非常廣泛的應(yīng)用。張曉東、鄭茂元、劉文濤、1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識的定義及基本知識1.1定義：定義：（1）若隨機變量）若隨機變量X的分布列為的分布列為 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布，并用記號泊松分布，并用記號XP( )表示。表示。（2）泊松流：）泊松流：隨機質(zhì)點流：隨機現(xiàn)象中源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點構(gòu)隨機質(zhì)點流：隨機現(xiàn)象中源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點構(gòu)成的序列。成的序列。若質(zhì)點流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性若質(zhì)點流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性, 則

2、稱該質(zhì)則稱該質(zhì)點流為泊松事件流點流為泊松事件流(泊松流泊松流)。例如某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù)例如某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù); 到某機場降落到某機場降落的飛機數(shù)的飛機數(shù); 一個售貨員接待的顧客數(shù)等這些事件都可一個售貨員接待的顧客數(shù)等這些事件都可以看作泊松流。以看作泊松流。1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識的定義及基本知識1.2有關(guān)泊松分布的一些性質(zhì)有關(guān)泊松分布的一些性質(zhì)（1）滿足分布列的兩個性質(zhì)）滿足分布列的兩個性質(zhì)： P(X=k) 0(k=0,1,2,），），且且有有 .（2）若隨機變量）若隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，則的泊松分布，則X的的期望和方差分別為：期望和方

3、差分別為：E(X)= ;D(X)= .1!)(00eekekekXPkkkokk1.1.泊松分布泊松分布的定義及基本知識的定義及基本知識（3）以）以n,p為參數(shù)的二項分布，當(dāng)為參數(shù)的二項分布，當(dāng)n ,p 0時，使得時，使得np= 保持保持為正常數(shù)，為正常數(shù)，則則 對于對于k=0,1,2，一致成立。一致成立。由如上定理的條件由如上定理的條件 知知，當(dāng)，當(dāng)n很大時，很大時，p很小時，有下面的近似公式很小時，有下面的近似公式 ekppCkknkkn!)1 (npekppCkPkknkknn!)1 ()(2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 對于對于試驗成功概率很小而試驗次數(shù)試驗成功概率很小而試驗次數(shù)很多的

4、隨機過程很多的隨機過程, , 都可以很自然的應(yīng)用都可以很自然的應(yīng)用于泊松分布的理論。在泊松分布中的概于泊松分布的理論。在泊松分布中的概率表達式只含一個參數(shù)率表達式只含一個參數(shù) ，減少了對參數(shù)，減少了對參數(shù)的確定與修改工作量的確定與修改工作量, , 模型構(gòu)建比較簡模型構(gòu)建比較簡單單, , 具有很重要的實際意義。具有很重要的實際意義。2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用（1 1）泊松分布在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用：）泊松分布在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用： 泊松分布泊松分布是經(jīng)濟生活中的一種非常重要的分布形式，尤是經(jīng)濟生活中的一種非常重要的分布形式，尤其是經(jīng)常被運用在運籌學(xué)研究中的一個分布模型。如物料訂其是經(jīng)常被運用在運籌

5、學(xué)研究中的一個分布模型。如物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設(shè)計，生產(chǎn)計劃的安排，海港單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設(shè)計，生產(chǎn)計劃的安排，海港發(fā)貨船期的調(diào)度等等都需要用到泊松分布。發(fā)貨船期的調(diào)度等等都需要用到泊松分布。 例例1 1：下面討論一個泊松分布在商場現(xiàn)代化管理中的應(yīng)：下面討論一個泊松分布在商場現(xiàn)代化管理中的應(yīng)用。用。 某某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)、一天內(nèi)顧客購買的商品數(shù)等商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)、一天內(nèi)顧客購買的商品數(shù)等均服從或近似服從泊松分布均服從或近似服從泊松分布 實例實例：若商場一天內(nèi)來：若商場一天內(nèi)來k k 個顧客的概率服從參數(shù)為個顧客的概率服從參數(shù)為 的的泊松分布，而且每個到達商場的顧客購

6、買商品是獨立的，其泊松分布，而且每個到達商場的顧客購買商品是獨立的，其概率為概率為p p。 討論一天內(nèi)有顧客買東西的討論一天內(nèi)有顧客買東西的概率：概率：設(shè)設(shè) =“商場一天內(nèi)來商場一天內(nèi)來k 個顧客個顧客”（0,1，r，），），B=“商場一天內(nèi)有商場一天內(nèi)有r個顧客購買商品個顧客購買商品”，則則 （k=0,1,，r，）；）； P( (k=r,）則則 !)(keAPkkrkrrkkppCBA)1 ()|rkrrkkrkkkkppCkeABPAPBP)1 (!)|()()(00000!)1 (!)()!()1 ()()!()1 ()()1 ()!(iiriirririirrriirrriirlipr

7、epriPCeprieppCpPCrie!)(!)()1(reperepprpr討論一天內(nèi)買東西的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望：討論一天內(nèi)買東西的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)商場內(nèi)一天購買東西的顧客為設(shè)商場內(nèi)一天購買東西的顧客為X X，則，則 ，（，（r=0,1,r=0,1,），），即即X X ，所以所以 ，所以商場一天內(nèi)所以商場一天內(nèi)購買商品的平均顧客數(shù)為購買商品的平均顧客數(shù)為： 例例2 2：接下來討論泊松分布在事故發(fā)生預(yù)測的：接下來討論泊松分布在事故發(fā)生預(yù)測的應(yīng)用。應(yīng)用。通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為 =0.0001,=0.0001,假設(shè)在某路段時間內(nèi)有假設(shè)在某路段時

8、間內(nèi)有10001000輛汽車通輛汽車通過此路口，則求在此時間段內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)過此路口，則求在此時間段內(nèi)發(fā)生事故次數(shù) 的的概率分布。概率分布。!)()(reprXPpr)( pPpXE)(ppX通過路口的通過路口的1000輛汽車發(fā)生事故與否，可以輛汽車發(fā)生事故與否，可以看成看成 =1000次伯努利試驗，所以次伯努利試驗，所以 服從服從二項二項分布，由于分布，由于 =1000很大，且很大，且 =0.0001很很小，且小，且 =0.1，所以，所以X服從泊松分布服從泊松分布， 。 此此段時間內(nèi)發(fā)生段時間內(nèi)發(fā)生2次次以上事故以上事故的概率為：的概率為： nnXpnp), 1 , 0(!)1 ()(nme

9、mnpppCmXPnpmmnmnmn0045. 0! 11 . 0! 01 . 01)2(1 . 01 . 00eexP2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用（2）泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用：）泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用： 在在生物學(xué)研究中生物學(xué)研究中, 服從泊松分布的隨機變服從泊松分布的隨機變量是常見的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù)量是常見的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù), 計數(shù)計數(shù)器小方格中血球數(shù)器小方格中血球數(shù), 單位空間中某些野生動物單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布或昆蟲數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對生在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對生物學(xué)

10、中所涉及到的概率研究起到了重要的指物學(xué)中所涉及到的概率研究起到了重要的指導(dǎo)作用。導(dǎo)作用。例：泊松分布在估計一個基因文庫所需克隆數(shù)中的應(yīng)例：泊松分布在估計一個基因文庫所需克隆數(shù)中的應(yīng)用用 判斷基因克隆過程的分布情況：由于基因組判斷基因克隆過程的分布情況：由于基因組DNA是是從大量細胞中提取的從大量細胞中提取的, 每個細胞中均含有全部基因組每個細胞中均含有全部基因組DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可因此可以說各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中以說各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中,基因組基因組DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以

11、及用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及隨后的過程均是隨機的生化反應(yīng)過程。一隨后的過程均是隨機的生化反應(yīng)過程。一, 對克隆來對克隆來說一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆說一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有這只有這兩種結(jié)果兩種結(jié)果;第二第二, 由于總體限制性片段是大量的由于總體限制性片段是大量的, 被克被克隆的對總體影響很小隆的對總體影響很小; 第三第三, 在克隆中一片段被克隆的在克隆中一片段被克隆的概率為概率為f( f較小較小) , 不被克隆的概率為不被克隆的概率為1- ,f 且克隆時這且克隆時這兩種概率都不變。綜上所述兩種概率都不變。綜上所述, 基因克隆過程符合泊松基因克隆過程符合泊

12、松分布。分布。設(shè)設(shè)p為基因被克隆的概率為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為為要求的克隆的概率為p時一個基因文庫所需含有重組時一個基因文庫所需含有重組DNA 的克隆數(shù)的克隆數(shù); f為限為限制性片段的平均長度與基因組制性片段的平均長度與基因組DNA 總長度之比總長度之比, 若若基因組基因組DNA 被限制性酶切割成被限制性酶切割成n個個DNA 片段片段,f即即 。則在克隆數(shù)為則在克隆數(shù)為N時時，任一段被克隆一次或一次以上，任一段被克隆一次或一次以上的概率為的概率為 ，可推出，可推出 ,一般一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為的期望值定為99%，那么那么 。

13、 在在分子生物學(xué)中，上述一個完整的基因文庫所分子生物學(xué)中，上述一個完整的基因文庫所需克隆數(shù)的估計對基因克隆實驗方案的設(shè)計具有重需克隆數(shù)的估計對基因克隆實驗方案的設(shè)計具有重要意義。要意義。n1Nfepp1)0(1fpN)1ln( nnpnN4605)99. 01ln()1ln(2泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用（3) 3)泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用：泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用： 泊松分布泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電子的放射，某些激光場的分布等等都服從泊松分子的放射，某些激光場的分布等等都服從泊松分布。布。例：例： 對某一放射性物質(zhì)而言對某一放射性物質(zhì)而言, ,

14、 各相鄰原子群體之間各相鄰原子群體之間, , 其中一個原子核的衰變其中一個原子核的衰變, , 對相鄰的原子核而言對相鄰的原子核而言, , 可可視為外界的變化視為外界的變化, , 而這種外界的變化而這種外界的變化, , 不會影響相不會影響相鄰原子核的衰變過程。即在某一放射性物質(zhì)中鄰原子核的衰變過程。即在某一放射性物質(zhì)中, , 各個原子核的衰變過程各個原子核的衰變過程, , 互不影響互不影響, , 相互獨立。因相互獨立。因此衰變過程滿足獨立性。此衰變過程滿足獨立性。放射性原子核的衰變過程是一個相互彼此無關(guān)的過放射性原子核的衰變過程是一個相互彼此無關(guān)的過程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計計數(shù)可以看成是程

15、，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計計數(shù)可以看成是一種伯努利試驗問題。若在一個原子核體系中，單一種伯努利試驗問題。若在一個原子核體系中，單位時間原子核發(fā)生衰變的概率位時間原子核發(fā)生衰變的概率為為 ，則沒則沒有發(fā)生衰變的概率為有發(fā)生衰變的概率為 。由二項分布得到，由二項分布得到，在在t t時間內(nèi)的核衰變數(shù)為時間內(nèi)的核衰變數(shù)為n n的概率為的概率為 。 （1 1） 由于在放射性衰變中，原子核由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目數(shù)目 很大，而很大，而p p相對很小，并且滿足相對很小，并且滿足 ，所以上式可以近似所以上式可以近似化為泊松分布，因為此時化為泊松分布，因為此時 ，對于對于 附近附近的的 值值可得到：可得到： tep1tepq1nNnNNppCnP00)1 ()(0N1t00NpNmmn0000)()1 () 1()2)(1(00000pNnNpnNnnNeepNnNNNNC帶入（帶入（1)式中得到：式中得到： 令令 ，得到得到: ,即為泊松分布。即為泊松分布。并并且且有有 。 綜上，泊松分布作為概率論中最重要的幾個分布綜上，泊松分布作為概率論中最重要的幾個分布之一，具有很多特殊的性質(zhì)和作用，在實際中有著之一