一階線性方程與常數(shù)變易法

1、2.2 一階線性方程與常數(shù)變易公式(First order linear differential equation and constant variation formula )教學(xué)內(nèi)容 1. 認(rèn)識(shí)一階線性齊次方程和一階線性非齊次方程; 2.介紹一階線性非齊次方程的常數(shù)變易公式; 3. 介紹電學(xué)知識(shí)和基爾霍夫定律; 4. 認(rèn)識(shí)Bernoulli方程及其通過(guò)變量替換化為一階線性方程的解法; 5. 介紹其他可化為一階線性方程的例子. 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是知道一階線性非齊次方程的解法，難點(diǎn)是如何根據(jù)方程的形式引入新的變量變換使得新方程為一階線性方程. 教學(xué)方法 自學(xué)1、4；講授2、3 課堂練習(xí) 考

2、核目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用常數(shù)變易公式; 2. 知道計(jì)算和一些三角函數(shù)恒等式; 3. 知道電學(xué)一些知識(shí)，如電容電流公式、電感電壓公式和基爾霍夫定律; 4. 知道溶液混合問(wèn)題建模; 5. 認(rèn)識(shí)Bernoulli方程并會(huì)經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為線性方程求解. 6. 知道交換自變量和因變量化非線性方程為一階線性方程. 1. 認(rèn)識(shí)一階線性齊次方程和一階線性非齊次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation）(1) 稱形如的方程為一階線性齊次方程，其中連續(xù)；稱形如的方程為一階線性非齊次齊次方程，其中連續(xù)且不恒為零. (2) 當(dāng)時(shí)，改寫(xiě)為，其

3、中表示P(x)的一個(gè)原函數(shù)(antiderivative). 因此，通解(general solution)為，此外y=0也是解. 綜上，的解為為任意常數(shù).(3) 常數(shù)變易法：如何求的解呢？假定上述線性非齊次方程有如下形式的解 ，則代入原方程來(lái)確定C(x)，即，此處C為任意常數(shù), 為函數(shù)一個(gè)原函數(shù). 綜上，一階線性非齊次方程的通解為.2. 一些實(shí)際應(yīng)用例子（Applications ）例28. 電容器的充電和放電模型RC電路：假定開(kāi)始電容C上沒(méi)有電荷，電容兩端電壓為0，合上開(kāi)關(guān)1后，電池E對(duì)電容C開(kāi)始充電，電池電壓為E，電阻阻值為R，電容C兩端電壓逐漸上升. 寫(xiě)出充電過(guò)程中，電容C兩端電壓隨時(shí)

4、間變化的規(guī)律. 解：設(shè)U(t)表示在時(shí)刻t時(shí)電容兩端電壓，則根據(jù)電學(xué)知識(shí)，電容兩端電量Q=U C，電流I = , 電阻兩端電壓為R I=. 由基爾霍夫定律知，閉合回路上壓降為零. 即有. 改寫(xiě)為 ，這是一個(gè)一階線性非齊次方程. 記, 由常數(shù)變易公式得到，再注意到初始條件U(0)=0，因此，. 例29. 考察如下RL電路圖，設(shè)電源E的電壓為為常數(shù)，求電感線圈上電流I隨時(shí)間的變化規(guī)律，設(shè)t=0時(shí)，I=0. 解：設(shè)I(t)表示時(shí)刻t時(shí)電感線圈上電流強(qiáng)度，則由電學(xué)知識(shí)有，電感線圈兩端電壓為. 由基爾霍夫定律知，閉合回路電壓降為零. 于是 . 改寫(xiě)為, 這是一個(gè)一階線性非齊次方程. 記, 由常數(shù)變易公式

5、得到，令，于是由知，于是.再注意到初始條件I(0)=0，因此，. 練習(xí)23. (1) 求； (2) 改寫(xiě)為，給出所滿足的條件. (3) 由 Euler 公式和推導(dǎo)出:和， . 作業(yè)24. （1） 如例28中RC電路圖，設(shè)E=10V, R=100, C=0.01 F, 開(kāi)始時(shí)刻電容C上電壓為零并在此刻合上開(kāi)關(guān)1，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間電容C兩端電壓為?（2）如下RL電路圖，設(shè)E, R, L均為正的常數(shù)，求開(kāi)關(guān)閉合后電路中電流強(qiáng)度I(t)，假定I(0)=0. 例30. 溶液混合問(wèn)題：設(shè)容積為V（單位）的密封容器裝著某種溶液如下圖，從A以速度r（單位）流入濃度為（常數(shù)）的相同溶液，經(jīng)充分混合后在B以相同速度

6、r流出容器, 假設(shè)時(shí)刻t=0時(shí)，容器溶液濃度為0，問(wèn)容器中濃度隨時(shí)間變化的規(guī)律. 解：設(shè)時(shí)刻t時(shí)容器溶液濃度為C(t)，且C(0)=0，則由溶質(zhì)出入平衡，也即流入等于流出，由微元法建立如下等式：，即. (以下略)作業(yè)25. 假設(shè)伊利湖的存水量為，從休倫湖流入和從安大略湖流出的速度都是每年，在t=0時(shí)刻，伊利湖的污染物濃度時(shí)休倫湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，問(wèn)使得伊利湖的污染物濃度減少到休倫湖2倍需要多少時(shí)間？（假定休倫湖污染物濃度為常數(shù)）3. Bernoulli方程及其解法稱形如為Bernoulli方程. 解法：當(dāng)時(shí)，改寫(xiě)原方程,令，這是一個(gè)一階線性非齊次方程. 例31 求解方程

7、.解：經(jīng)過(guò)觀察，原方程是一個(gè)Bernoulli方程, n=2. （1）當(dāng)時(shí)，改寫(xiě)原方程為，令，則. 由常數(shù)變易公式得到，.返回原變量得到. (2) 當(dāng)y=0時(shí)，容易驗(yàn)證也是原方程的解. 作業(yè)26. 求解方程（1）； （2）. 4. 交換自變量和因變量化非線性方程為一階線性方程例32. 求解（1）； （2）. 解：(1) 這是一個(gè)一階方程，非線性方程，不是Bernoulli方程. (a) 當(dāng)時(shí)，交換自變量和因變量而改寫(xiě)原方程為 . 這是一個(gè)一階線性方程. 由常數(shù)變易公式得到， ，即 為所求方程的通積分.(b) 當(dāng)y=0時(shí)，已驗(yàn)證y=0也是原方程的一個(gè)解. (2) 結(jié)合Bernoulli方程來(lái)完成，留作練習(xí). 作業(yè)27. 求解方程（1）； （2） . 5. 一些一階線性方程的理論（1）考慮方程，其中p(x), q(x)都是以w0為周期的連續(xù)函