交點(diǎn)坐標(biāo)he距離公式

1、第二節(jié) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 點(diǎn)到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式對(duì)直線點(diǎn)到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式對(duì)直線的方程有什么要求？的方程有什么要求？ 提示提示: :點(diǎn)到直線的距離公式中，直線的方程必須為一般式；點(diǎn)到直線的距離公式中，直線的方程必須為一般式；兩條平行線間的距離公式中，兩條直線方程必須為一次項(xiàng)系數(shù)兩條平行線間的距離公式中，兩條直線方程必須為一次項(xiàng)系數(shù)相同的一般形式相同的一般形式. .1.1.原點(diǎn)到直線原點(diǎn)到直線x+2y-5=0 x+2y-5=0的距離是的距離是( )( )(A)1 (B) (C)2 (D) (A)1 (B) (C)2 (D) 【解析】【解析】選選D

2、.D.因?yàn)橐驗(yàn)?52202 05d5.12 2.2.若點(diǎn)若點(diǎn)P P在直線在直線3x+y-5=03x+y-5=0上，且點(diǎn)上，且點(diǎn)P P到直線到直線x-y-1=0 x-y-1=0的距離的距離為為 則點(diǎn)則點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( )( )(A)(1,2) (B)(2,1)(A)(1,2) (B)(2,1)(C)(1,2)(C)(1,2)或或(2(2，-1) (D)(2-1) (D)(2，1)1)或或(-1(-1，2)2)2，【解析】【解析】選選C .C .設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x0 0,y,y0 0) )，則有，則有000000003xy50 x1x2.xy1y2y122 解得或3.

3、3.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(4A(4，a)a)和和B(5,b)B(5,b)的直線與直線的直線與直線y=x+my=x+m平行，則平行，則ABAB的值為的值為( )( )(A)6 (B)(A)6 (B)(C)2 (D)(C)2 (D)不能確定不能確定【解析】【解析】選選B.B.直線直線ABAB與直線與直線y=x+my=x+m平行，平行，222ba1,ba1.54AB54ba2.即4.4.點(diǎn)點(diǎn)(a,b)(a,b)關(guān)于直線關(guān)于直線x+y+1=0 x+y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 ( )( )(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(C)

4、(-a,-b) (D)(-b,-a)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)【解析】【解析】選選B.B.設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x(x0 0,y,y0 0),),000000axby10 xb 122,.ybya11xa 則有解得5.5.與直線與直線7x+24y-5=07x+24y-5=0平行，并且距離等于平行，并且距離等于3 3的直線方程是的直線方程是_._.【解析】【解析】設(shè)所求的直線方程為設(shè)所求的直線方程為7x+24y+b=07x+24y+b=0，由兩條平行線間的，由兩條平行線間的距離為距離為3,3,得得 則則b=-80b=-80或或b=70,b=70,故所求的直線方程為故所求的直線方程

5、為7x+24y-80=07x+24y-80=0或或7x+24y+70=0.7x+24y+70=0.答案：答案：7x+24y-80=07x+24y-80=0或或7x+24y+70=07x+24y+70=0b53,256.6.點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線2x+3y+1=02x+3y+1=0上，且上，且P P點(diǎn)到點(diǎn)到A(1,3)A(1,3)和和B(-1,-5)B(-1,-5)的距離的距離相等，則點(diǎn)相等，則點(diǎn)P P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_._.【解析】【解析】A,BA,B的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0(0，-1),k-1),kABAB=4,=4,線段線段ABAB的垂直平分線為的垂直平分線為解方程組解方程組故點(diǎn)故點(diǎn)P

6、 P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ).( ).答案：答案：( )( )1yx1,4 82x3y10 x5,.17yx1y45 得87,558755，1.1.特殊情況下的兩點(diǎn)間距離特殊情況下的兩點(diǎn)間距離(1)(1)若已知若已知P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),則當(dāng)則當(dāng)P P1 1P P2 2平行于平行于x x軸時(shí)，軸時(shí)，|P|P1 1P P2 2|=|x|=|x2 2-x-x1 1|,|,當(dāng)當(dāng)P P1 1P P2 2平行于平行于y y軸時(shí)，軸時(shí)，P P1 1P P2 2=|y=|y2 2-y-y1 1|.|.(2)(2)坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0

7、)O(0,0)與任一點(diǎn)與任一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)的距離為的距離為22OPxy .2.2.中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 (1)(1)若點(diǎn)若點(diǎn)M(xM(x1 1,y,y1 1) )及及N(x,y)N(x,y)關(guān)于關(guān)于P(a,b)P(a,b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得式得 (2)(2)求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線方程，其主要方法是：在已知求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線方程，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)

8、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再根據(jù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩直線平行點(diǎn)，再根據(jù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩直線平行, ,由點(diǎn)斜式得到所求直由點(diǎn)斜式得到所求直線的方程線的方程. .11x2ax.y2by3.3.軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)若兩點(diǎn)若兩點(diǎn)P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )與與P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng)，則線對(duì)稱(chēng)，則線段段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸l上，而且連接上，而且連接P P1 1P P2 2的直線垂直于對(duì)稱(chēng)的直線垂直于對(duì)稱(chēng)軸軸l, ,由方程組由方程組可得到點(diǎn)可得到點(diǎn)P P

9、1 1關(guān)于關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P P2 2的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中A0,A0,x x1 1xx2 2).).12121212xxyyABC022yyBxxA(2)(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)若已知直線若已知直線l1 1與對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)軸l相交，則交點(diǎn)必在與相交，則交點(diǎn)必在與l1 1對(duì)稱(chēng)的直線對(duì)稱(chēng)的直線l2 2上，然后再求出上，然后再求出l1 1上任一個(gè)已知點(diǎn)上任一個(gè)已知點(diǎn)P P1 1關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P P2 2, ,那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)P P2 2的直線就是的直線就是l2 2；若已知直線若已知直線l1 1與對(duì)稱(chēng)軸與

10、對(duì)稱(chēng)軸l平行，則與平行，則與l1 1對(duì)稱(chēng)的直線和對(duì)稱(chēng)的直線和l1 1分別到直線分別到直線l的距離相等，由平的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1 1的對(duì)稱(chēng)直線的對(duì)稱(chēng)直線. . 兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題【例【例1 1】求經(jīng)過(guò)兩直線】求經(jīng)過(guò)兩直線l1 1:x-2y+4=0:x-2y+4=0和和l2 2:x+y-2=0:x+y-2=0的交點(diǎn)的交點(diǎn)P P，且，且與直線與直線l3 3:3x-4y+5=0:3x-4y+5=0垂直的直線垂直的直線l的方程的方程. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】一是抓住直線一是抓住直線l經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)l1 1和和l2 2

11、的交點(diǎn)，進(jìn)而求出交的交點(diǎn)，進(jìn)而求出交點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)出過(guò)兩直線點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)出過(guò)兩直線l1 1和和l2 2交點(diǎn)的直線系方程；二是抓住交點(diǎn)的直線系方程；二是抓住l與與l3 3垂直，進(jìn)而求出斜率或得到垂直，進(jìn)而求出斜率或得到l與與l3 3的斜率滿(mǎn)足的關(guān)系，從的斜率滿(mǎn)足的關(guān)系，從而求出方程而求出方程. .1 1【自主解答】【自主解答】方法一：由方程組方法一：由方程組即即P(0,2).P(0,2).ll3 3kkl= =直線直線l的方程為的方程為y-2= y-2= 即即4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.x2y40 x0 xy20y2得，4,34x,3方法二：方法二：直線直線l過(guò)直線過(guò)直線l1 1和和l2

12、2的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，可設(shè)直線可設(shè)直線l的方程為的方程為x-2y+4+(x+y-2)=0 x-2y+4+(x+y-2)=0，即即(1+)x+(-2)y+4-2=0,(1+)x+(-2)y+4-2=0,l與與l3 3垂直，垂直，3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直線直線l的方程為的方程為12x+9y-18=0,12x+9y-18=0,即即4x+3y-6=0.4x+3y-6=0.【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的二元一次方程組組成的二元一次方程組. .2.2.經(jīng)過(guò)兩條直線交

13、點(diǎn)的直線方程的設(shè)法經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的設(shè)法經(jīng)過(guò)兩相交直線經(jīng)過(guò)兩相交直線A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交點(diǎn)的直線系的交點(diǎn)的直線系方程為方程為A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2) )0(0(這個(gè)直線系方程中不這個(gè)直線系方程中不包括直線包括直線A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0)=0)或或m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n(A)+n(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0.)=0.【

14、互動(dòng)探究】若將本例中的條件【互動(dòng)探究】若將本例中的條件“垂直垂直”改為改為“平行平行”，試，試求直線求直線l的方程的方程. .【解析】【解析】由方程組由方程組即即P(0,2).P(0,2).又又ll3 3，kkl= =故直線故直線l的方程為：的方程為：y-2= y-2= 得得3x-4y+8=0.3x-4y+8=0.x2y40 x0 xy20y2得3,43x,4【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】ABCABC的兩條高所在直線的方程分別為的兩條高所在直線的方程分別為2x-3y+1=02x-3y+1=0和和x+y=0 x+y=0，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，2)2)，求，求BCBC邊所在直邊所在直

15、線的方程線的方程. .【解析】【解析】由已知得點(diǎn)由已知得點(diǎn)A A不在所給的兩條高所在的直線上，則不在所給的兩條高所在的直線上，則可設(shè)可設(shè)ABAB，ACAC邊上的高所在直線的方程分別為邊上的高所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,2x-3y+1=0,x+y=0 x+y=0，則可求得，則可求得AB,ACAB,AC邊所在直線的方程分別為邊所在直線的方程分別為y-2= y-2= (x-1),y-2=x-1, (x-1),y-2=x-1,即即3x+2y-7=0,x-y+1=0.3x+2y-7=0,x-y+1=0.由由得得B(7,-7),B(7,-7),由由 得得C(-2C(-2，-1)-1)，所以，所

16、以BCBC邊所在直邊所在直線的方程為線的方程為2x+3y+7=0.2x+3y+7=0.323x2y70 xy0 xy102x3y10 距離的計(jì)算距離的計(jì)算【例【例2 2】已知三條直線】已知三條直線l1 1:2x-y+a=0(a:2x-y+a=0(a0),0),l2 2:-4x+2y+1=0:-4x+2y+1=0和和l3 3:x+y-1=0:x+y-1=0，且，且l1 1與與l2 2的距離是的距離是(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)能否找到一點(diǎn)能否找到一點(diǎn)P,P,使使P P同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：P P是第一象限的點(diǎn)；是第一象限的點(diǎn)；P P點(diǎn)到點(diǎn)到l1 1的距離是

17、的距離是P P點(diǎn)到點(diǎn)到l2 2的距離的的距離的P P點(diǎn)到點(diǎn)到l1 1的距離與的距離與P P點(diǎn)到點(diǎn)到l3 3的距離之比是的距離之比是 若能，求若能，求P P點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由. .2 275.101;225.【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】(1)(1)中抓住中抓住l1 1與與l2 2的距離是的距離是 從而構(gòu)造關(guān)于從而構(gòu)造關(guān)于a a的方程并求解；的方程并求解；(2)(2)中關(guān)鍵抓住中關(guān)鍵抓住P P點(diǎn)滿(mǎn)足條件點(diǎn)滿(mǎn)足條件、，構(gòu)造方程組求解，但應(yīng)，構(gòu)造方程組求解，但應(yīng)驗(yàn)證其滿(mǎn)足條件驗(yàn)證其滿(mǎn)足條件. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)l2 2為為2x-y- =0,2x-y- =0

18、,l1 1與與l2 2距離為距離為aa0,a=3.0,a=3.75,1012221|a7 52d.1021 （）|【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.要熟記點(diǎn)要熟記點(diǎn)P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直線到直線l:Ax+By+C=0(:Ax+By+C=0(其中其中A A、B B不同時(shí)為不同時(shí)為0)0)的距離公式的距離公式2.2.求兩條平行線間的距離有兩種思路求兩條平行線間的距離有兩種思路: :(1)(1)利用利用“化歸化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. .(2)(2)利用兩平行線間的距離公式

19、利用兩平行線間的距離公式. .0022AxByCd.AB【變式訓(xùn)練】已知【變式訓(xùn)練】已知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直線和直線l:4x+3y-2=0:4x+3y-2=0，在，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且點(diǎn)，且點(diǎn)P P到直線到直線l的距離的距離為為2.2.【解析】【解析】設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a,b).(a,b).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，線段線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3(3，-2)-2)，線段線段ABAB的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為y+2

20、=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.點(diǎn)點(diǎn)P(a,b)P(a,b)在上述直線上，在上述直線上，a-b-5=0.a-b-5=0.又點(diǎn)又點(diǎn)P(a,b)P(a,b)到直線到直線l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距離為的距離為2 2， 即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,聯(lián)立聯(lián)立可得可得所求點(diǎn)所求點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，-4)-4)或或( ).( ).4a3b22,527aa17.b48b7 或278,77 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【例【例3 3】(2011(2011武漢模擬武漢模擬) )已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4),(-4,4),直線直

21、線l的的方程為方程為3x+y-2=0,3x+y-2=0,求：求：(1)(1)點(diǎn)點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AA的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)直線直線l關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對(duì)稱(chēng)直線的對(duì)稱(chēng)直線l的方程的方程. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】(1)(1)中抓住點(diǎn)中抓住點(diǎn)AA與點(diǎn)與點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，構(gòu)建方對(duì)稱(chēng)，構(gòu)建方程組求解程組求解. .(2)(2)抓住直線抓住直線l 與與l關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A對(duì)稱(chēng)，利用點(diǎn)的轉(zhuǎn)移求解或點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)，利用點(diǎn)的轉(zhuǎn)移求解或點(diǎn)到直線的距離求解直線的距離求解. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)(x,y)，由題意可知，由

22、題意可知解得解得x=2x=2，y=6y=6，AA點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(2(2，6).6).y41x43,x4y432022(2)(2)方法一：在直線方法一：在直線l上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)，其關(guān)于點(diǎn)其關(guān)于點(diǎn)A(-4A(-4，4)4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-8-x,8-y) (-8-x,8-y) 必在直線必在直線l上，上，即即3(-8-x)+(8-y)-2=03(-8-x)+(8-y)-2=0，即，即3x+y+18=03x+y+18=0，所以所求直線的方程為所以所求直線的方程為3x+y+18=0.3x+y+18=0.方法二：由題意可知方法二：由題意可知ll, ,設(shè)設(shè)l的方程為的方

23、程為3x+y+c=0,3x+y+c=0,由題意可知由題意可知解得解得c=18c=18或或c=-2(c=-2(舍舍) )，所以所求直線的方程為所以所求直線的方程為3x+y+183x+y+180.0.124c12429 19 1【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的類(lèi)型及求解思路對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的類(lèi)型及求解思路一般地，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)，一般地，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)，直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)等情況，上述各種直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)等情況，上述各種對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題. .其中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)其

24、中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)是最基本的對(duì)稱(chēng)，解決這類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要抓住兩條：一是已知是最基本的對(duì)稱(chēng)，解決這類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要抓住兩條：一是已知點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直；點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直； 二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上. .提醒：提醒：常遇到的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有角平分線問(wèn)題、入射光線和反射常遇到的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有角平分線問(wèn)題、入射光線和反射光線問(wèn)題等光線問(wèn)題等. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】1.1.求直線求直線3x-y-4=03x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(2P(2，-1)-1)對(duì)稱(chēng)的直線對(duì)稱(chēng)的直線l的方程的方程. .2.2.求直線求直線x-2y-1=

25、0 x-2y-1=0關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-1=0 x+y-1=0對(duì)稱(chēng)的直線方程對(duì)稱(chēng)的直線方程. .【解析】【解析】1.1.方法一：設(shè)直線方法一：設(shè)直線l上任一點(diǎn)為上任一點(diǎn)為(x,y),(x,y),關(guān)于關(guān)于P(2P(2，-1)-1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(4-x,-2-y)(4-x,-2-y)在直線在直線3x-y-4=03x-y-4=0上，上，3(4-x)-(-2-y)-4=0,3(4-x)-(-2-y)-4=0,3x-y-10=0,3x-y-10=0,所求直線所求直線l的方程為的方程為3x-y-10=0.3x-y-10=0.方法二：由于直線方法二：由于直線l與與3x-y-4=03x-y-4=0平行

26、，平行，故設(shè)直線故設(shè)直線l的方程為的方程為3x-y+b=0.3x-y+b=0.由函數(shù)圖象易知，點(diǎn)由函數(shù)圖象易知，點(diǎn)P P到兩直線的距離相等，到兩直線的距離相等，得得解得解得:b=-10:b=-10或或-4(-4(舍去舍去).).所求直線所求直線l的方程為的方程為3x-y-10=0.3x-y-10=0.22226 146 1b,3131 2.2.方法一：方法一：點(diǎn)點(diǎn)A(1A(1，0)0)為兩已知直線的交點(diǎn)為兩已知直線的交點(diǎn). .在直線在直線x-2y-1=0 x-2y-1=0上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)B(0B(0， ) )，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-1=0 x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C

27、(xC(x0 0,y,y0 0),),則則x2y 10 x1,xy 10y0 由得12-0000001y0 x210,3x22,21y()y1211x0 解得CC點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( ),( ),直線直線ACAC的方程為的方程為 即即2x-y-2=0.2x-y-2=0.直線直線x-2y-1=0 x-2y-1=0關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-1=0 x+y-1=0對(duì)稱(chēng)的直線方程為對(duì)稱(chēng)的直線方程為2x-y-2=0.2x-y-2=0.3,12y0 x1,31 012方法二：設(shè)方法二：設(shè)P(x,y)P(x,y)是所求直線上的任一點(diǎn)，點(diǎn)是所求直線上的任一點(diǎn)，點(diǎn)P P關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-1=0 x+y-1

28、=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )，則則P P0 0在直線在直線x-2y-1=0 x-2y-1=0上，上，xx0 0-2y-2y0 0-1=0,-1=0,線段線段PPPP0 0的中點(diǎn)是的中點(diǎn)是M( ).M( ).點(diǎn)點(diǎn)P P與點(diǎn)與點(diǎn)P P0 0關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-1=0 x+y-1=0對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，00PP0yyk.xx00 xxyy,22代入代入x x0 0-2y-2y0 0-1=0-1=0得得1-y-2(1-x)-1=0,1-y-2(1-x)-1=0,即即2x-y-2=02x-y-2=0為所求為所求. .000000yy11x1yxx,y1xxxyy10

29、22 解析法解析法( (坐標(biāo)法坐標(biāo)法) )的應(yīng)用的應(yīng)用【例】如圖【例】如圖, ,分別以分別以RtRtABCABC的兩條直角的兩條直角邊邊ABAB，BCBC為一邊向三角形外作正方形為一邊向三角形外作正方形ABDEABDE和正方形和正方形BCFG,BCFG,連接連接ECEC、AFAF，且，且ECEC、AFAF交于點(diǎn)交于點(diǎn)M M，連接，連接BM.BM.求證求證:BMAC.:BMAC.【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】抓住抓住ABBCABBC，建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而寫(xiě)出相關(guān)，建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出k kBMBM,k,kACAC, ,證明證明k kBMBMk kACAC=-1=-1

30、是否成立是否成立. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】如圖，以?xún)蓷l直角邊所在直線為坐標(biāo)軸如圖，以?xún)蓷l直角邊所在直線為坐標(biāo)軸, ,建立直建立直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系. .設(shè)正方形設(shè)正方形ABDEABDE和正方形和正方形BCFGBCFG的的邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為a,ba,b，則則A(0,a),B(0,0),C(b,0),A(0,a),B(0,0),C(b,0),E(-a,a),F(b,-b).E(-a,a),F(b,-b).直線直線AF: AF: 即即(a+b)x+by-ab=0;(a+b)x+by-ab=0;直線直線EC: EC: 即即ax+(a+b)y-ab=0.ax+(a+b)y-ab=0.解方程組解方程組

31、ybxbab0b，y0 xba0ab ，222222a bxab xbyab0aabb,axab yab0abyaabb得，即即M M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( ),( ),故故k kBMBM= =又又k kACAC= =kkBMBMk kACAC=-1,BMAC.=-1,BMAC.222222a bab,aabbaabbb.a0aa,b0b 【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】解析法解析法( (坐標(biāo)法坐標(biāo)法) )即通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，即通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題, ,用處理代數(shù)問(wèn)題的方法解決用處理代數(shù)問(wèn)題的方法解決. .【變式備選】如圖，已知【變式備選】如圖

32、，已知P P是等腰三是等腰三角形角形ABCABC底邊底邊BCBC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，PMABPMAB于于M M，PNACPNAC于于N N，試用解析法證明，試用解析法證明|PM|PM|+|PN|+|PN|為定值為定值. .【證明】【證明】過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作作AOBCAOBC于于O O，以，以O(shè) O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系( (如圖如圖) )，設(shè)設(shè)B(-a,0),C(a,0)(a0),B(-a,0),C(a,0)(a0),A(0,b)(b0),P(xA(0,b)(b0),P(x1 1,0),0),其中其中a,ba,b為定值，為定值，x x1 1為參數(shù)，為參數(shù)，-ax-ax1 1

33、a,a,lABAB:bx-ay+ab=0,:bx-ay+ab=0,lACAC:bx+ay-ab=0,:bx+ay-ab=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得由點(diǎn)到直線的距離公式得a0,b0,ab0,-ab0,b0,ab0,-ab0,bx+ab0,bx1 1-ab0,-ab0)(r0)關(guān)于直線關(guān)于直線x+y+3=0 x+y+3=0對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng). .(1)(1)求圓求圓C C的方程；的方程；(2)(2)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作兩條直線分別與圓作兩條直線分別與圓C C相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A A、B B，且直線，且直線PAPA和和直線直線PBPB的傾斜角互補(bǔ)，的傾斜角互補(bǔ)，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線OPOP

34、與與ABAB是否是否平行，并請(qǐng)說(shuō)明理由平行，并請(qǐng)說(shuō)明理由. .【解析】【解析】(1)(1)依題意，可設(shè)圓依題意，可設(shè)圓C C的方程為的方程為(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,且且a a、b b滿(mǎn)足方程組滿(mǎn)足方程組由此解得由此解得a=b=0.a=b=0.又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)P(1,1)在圓在圓C C上，所以上，所以r r2 2=(1-a)=(1-a)2 2+(1-b)+(1-b)2 2=2.=2.故圓故圓C C的方程為的方程為x x2 2+y+y2 2=2.=2.a3b33 022.b311a3 (2)(2)由題意可知，直線由題意可知，直線PAP

35、A和直線和直線PBPB的斜率存在且互為相反數(shù)，的斜率存在且互為相反數(shù)，故可設(shè)故可設(shè)PAPA所在的直線方程為所在的直線方程為y-1=k(x-1),PBy-1=k(x-1),PB所在的直線方程為所在的直線方程為y-1=-k(x-1).y-1=-k(x-1).由由 消去消去y,y,并整理得：并整理得：(k(k2 2+1)x+1)x2 2+2k(1-k)x+(1-k)+2k(1-k)x+(1-k)2 2-2=0. -2=0. 22y 1k(x1)xy2 ，設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1) )，又已知，又已知P(1P(1，1)1)，則，則x x1 1、1 1為方程為方程的兩相異實(shí)數(shù)的兩相異實(shí)數(shù)根，

36、由根與系數(shù)的關(guān)系得根，由根與系數(shù)的關(guān)系得同理，若設(shè)點(diǎn)同理，若設(shè)點(diǎn)B(xB(x2 2,y,y2 2),),則可得則可得于是，于是，而直線而直線OPOP的斜率也是的斜率也是1 1，且兩直線不重合，因此，直線，且兩直線不重合，因此，直線OPOP與與ABAB平行平行. .212k2k1x.k1222k2k1x.k11212AB1212k x1k x1yykxxxx1212k xx2k1.xx1.(20111.(2011威海模擬威海模擬) )已知直線已知直線l1 1:y=2x+3,:y=2x+3,直線直線l2 2與與l1 1關(guān)于直線關(guān)于直線y=-xy=-x對(duì)稱(chēng)，則直線對(duì)稱(chēng)，則直線l2 2的斜率為的斜率為

37、( )( )(A) (B)(A) (B)(C)2 (D)-2(C)2 (D)-2【解析】【解析】選選A.A.l2 2、l1 1關(guān)于關(guān)于y=-xy=-x對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，l2 2的方程為的方程為-x-x-2y+3,-2y+3,即即l2 2的斜率為的斜率為 故選故選A.A.121213yx,2212，2.(20112.(2011西安模擬西安模擬) )若點(diǎn)若點(diǎn)P(a,3)P(a,3)到直線到直線4x-3y+1=04x-3y+1=0的距離為的距離為4 4，且點(diǎn)且點(diǎn)P P在不等式在不等式2x+y-32x+y-30 0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a a的值的值為為( )( )(A)7 (B)

38、-7(A)7 (B)-7(C)3 (D)-3(C)3 (D)-3【解析】【解析】選選D.D.由由 得得a=7a=7或或a=-3,a=-3,又又2a+3-32a+3-30 0，得，得a a0,a=-3.0,a=-3.故選故選D.D.4a9 14,53.(20113.(2011泉州模擬泉州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)y=ay=a1-x1-x(a(a0,a1)0,a1)的圖象恒過(guò)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)定點(diǎn)A A，若點(diǎn)，若點(diǎn)A A在直線在直線 (m(m0,n0,n0)0)上，則上，則m+nm+n的最的最小值為小值為_(kāi)._.xy1mn【解析】【解析】函數(shù)函數(shù)y=ay=a1-x1-x(a(a0,a1)0,a1)的圖

39、象恒過(guò)定點(diǎn)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A A，AA點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(1(1，1).1).又又點(diǎn)點(diǎn)A A在直線在直線 上，上， (m (m0,n0,n0)0)，m+n=(m+n)( )=m+n=(m+n)( )=2+2+m+nm+n的最小值為的最小值為4.4.答案：答案：4 4xy1mn111mn11mnnm2mnn m24m n ，一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011煙臺(tái)模擬煙臺(tái)模擬) )點(diǎn)點(diǎn)P(-3,4)P(-3,4)關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-2=0 x+y-2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q Q的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是( )( )(A)(-2,1)(A)(-

40、2,1)(B)(-2,5)(B)(-2,5)(C)(2,-5)(C)(2,-5)(D)(4,-3)(D)(4,-3)【解析】【解析】選選B.B.驗(yàn)證法，線段驗(yàn)證法，線段PQPQ的中點(diǎn)在直線的中點(diǎn)在直線x+y-2=0 x+y-2=0上，上，只有只有B B答案滿(mǎn)足答案滿(mǎn)足. .2.2.點(diǎn)點(diǎn)P(m-n,-m)P(m-n,-m)到直線到直線 的距離等于的距離等于( )( )(A) (A) (B)(B)(C) (C) (D)(D)【解析】【解析】選選A.A.因?yàn)橹本€可化為因?yàn)橹本€可化為nx+my-mn=0,nx+my-mn=0,則由點(diǎn)到直線的距離公式得則由點(diǎn)到直線的距離公式得22mn22mn22mn22

41、mnxy1mn2222mn nm mmndnmmn . xy1mn3.3.設(shè)設(shè)ABCABC的一個(gè)頂點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),B,CA(3,-1),B,C的平分線方程分的平分線方程分別為別為x=0,y=x,x=0,y=x,則直線則直線BCBC的方程是的方程是( )( )(A)y=2x+5(A)y=2x+5(B)y=2x+3(B)y=2x+3(C)y=3x+5(C)y=3x+5(D) (D) 【解題提示解題提示】利用角平分線的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)利用角平分線的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于B,CB,C的平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式得的平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式得BCBC方程方程. .【解析】【

42、解析】選選A.A.點(diǎn)點(diǎn)A(3,-1)A(3,-1)關(guān)于直線關(guān)于直線x=0 x=0，y=xy=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為為A(-3,-1),A(-1,3),A(-3,-1),A(-1,3),且都在直線且都在直線BCBC上，故得直線上，故得直線BCBC的方程為的方程為y=2x+5.y=2x+5.15yx22 4.4.若直線若直線l1 1:y=kx+k+2:y=kx+k+2與與l2 2:y=-2x+4:y=-2x+4的交點(diǎn)在第一象限，則的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)k(A)k (B)k(B)k2 2(C) (C) k k2 (D)k2 (D)k 或或k

43、 k2 2【解析】【解析】選選C. C. 又交點(diǎn)在第一象限，所以有又交點(diǎn)在第一象限，所以有2323232kxykxk2k2y2x46k4yk2 由得2k02k2k2.6k430k2得 5.(20115.(2011天津模擬天津模擬) )若圓若圓x x2 2+y+y2 2-4x-4y-10=0-4x-4y-10=0上至多有三個(gè)上至多有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0:ax+by=0的距離為的距離為 則直線則直線l的斜率的的斜率的取值范圍是取值范圍是( )( )(A)(-,2- (A)(-,2- (B)(B)2+ ,+)2+ ,+)(C)(-,2- (C)(-,2- 2+ ,+)

44、(D)2+ ,+) (D)2- ,2+ 2- ,2+ 【解題提示】【解題提示】求解此題，可根據(jù)條件畫(huà)出圖形，由圖形判求解此題，可根據(jù)條件畫(huà)出圖形，由圖形判斷出圓心到直線的距離不小于斷出圓心到直線的距離不小于 ，進(jìn)而得到關(guān)于，進(jìn)而得到關(guān)于 的不等的不等式，從而求解式，從而求解. .2 2，3333332ab【解析】【解析】選選C. C. 圓圓x x2 2+y+y2 2-4x-4y-10=0-4x-4y-10=0整理為整理為(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=( )=( )2 2,圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為(2(2，2)2)，半徑為，半徑為 要求圓上至要求圓上至多有三個(gè)不同的點(diǎn)到直

45、線多有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0:ax+by=0的距離為的距離為 則圓心則圓心到直線的距離應(yīng)大于等于到直線的距離應(yīng)大于等于3 23 2，2 2，2，2222a2baa2,( )4( )10,bbabaaa2323,k,bbbk23k23,C. 或又 的斜率 或選l二、填空題二、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共1212分分) )6.6.直線直線2x+3y-6=02x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(1M(1，1)1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是對(duì)稱(chēng)的直線方程是_._.【解析】【解析】依題意，所求直線與直線依題意，所求直線與直線2x+3y-6=02x+3y-6=0平行，且點(diǎn)平行，且點(diǎn)M(1M(

46、1，1)1)到兩直線的距離相等，故可設(shè)其方程為到兩直線的距離相等，故可設(shè)其方程為2x+3y+m2x+3y+m=0=0，則，則 解得解得m=8(m=-6m=8(m=-6舍去舍去) )，故所求，故所求直線方程為直線方程為2x+3y+8=0.2x+3y+8=0.答案：答案：2x+3y+8=02x+3y+8=023m236,1313 7.7.已知已知 (a(a0,b0,b0),0),則點(diǎn)則點(diǎn)(0(0，b)b)到直線到直線3x-4y-a3x-4y-a=0=0的距離的最小值是的距離的最小值是_._.【解題提示】【解題提示】先利用點(diǎn)到直線的距離公式將距離表示為先利用點(diǎn)到直線的距離公式將距離表示為a,ba,b

47、的函數(shù)，再用基本不等式求最值的函數(shù)，再用基本不等式求最值. .【解析】【解析】點(diǎn)點(diǎn)(0,b)(0,b)到直線到直線3x-4y-a=03x-4y-a=0的距離為的距離為答案：答案： 223 04baa4ba4b 11d()55ab3414ba19(5)54.5ab55 95111ab8.8.已知已知A(4,0),B(0,4),A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)從點(diǎn)P(2P(2，0)0)射出的光線被直線射出的光線被直線ABAB反射后，再射到直線反射后，再射到直線OBOB上，最后經(jīng)上，最后經(jīng)OBOB反射后回到反射后回到P P點(diǎn)，則點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是光線所經(jīng)過(guò)的路程是_._.【解題提示】【解題提示

48、】轉(zhuǎn)化為點(diǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P P關(guān)于關(guān)于ABAB、y y軸兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間距離的求軸兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間距離的求解解. .【解析】【解析】如圖所示，如圖所示，P P關(guān)于直線關(guān)于直線ABAB：x+y=4x+y=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P P1 1(4,2),P(4,2),P關(guān)于關(guān)于y y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P P2 2(-2(-2，0).0).則光線所經(jīng)過(guò)的路程即為則光線所經(jīng)過(guò)的路程即為答案：答案： 2212PP622 10.2 10三、解答題三、解答題( (每小題每小題9 9分，共分，共1818分分) )9.9.已知點(diǎn)已知點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )在直線在直線ax+by=0(a,bax+by=0(a,b為常數(shù)為常數(shù)) )上，求上，求 的最小值的最小值. .【解析】【解析】 可看作點(diǎn)可看作點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )與點(diǎn)與點(diǎn)(a,b)(a,b)的距離，而點(diǎn)的距離，而點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )在直線在直線ax+by=0ax+by=0上，所以上，所以 的最小值為點(diǎn)的最小值為點(diǎn)(a,b)(a,b)到直線到直線ax+by=0ax+by=0的的距離距離2200 xayb2200 xayb2200 xayb2222a ab bab .ab 【方法技巧】【方法技巧】與直線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值的解法與直線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值的解法. .與直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的式子的最值問(wèn)