一函數(shù)與映射的基本概念

1、、函數(shù)與映射的基本概念、基本概念1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么就稱這樣的對應(yīng)“f：A-B”為從集合A到B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xA,其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合C=y|y=f(x),xCA叫做函數(shù)的值域(CB).函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，或簡記為f(x).這里的“f”即對應(yīng)法則，它確定了y與x的對應(yīng)關(guān)系.從函數(shù)概念看，“定義域、值域和對應(yīng)法則”是構(gòu)成函數(shù)的三個要素，其中，“定義域和對應(yīng)法則”是兩個關(guān)

2、鍵性要素，定義域和對應(yīng)法則一旦確定，函數(shù)的值域也隨之確定.2、對應(yīng)法則是指y與x的對應(yīng)關(guān)系，它含有兩層意思，一是對應(yīng)的過程(形式)，即由x求出y的運算過程，一般體現(xiàn)在函數(shù)的解析表達式中；二是運算的結(jié)果(本質(zhì))，即y的值，兩個對應(yīng)法則是否相同，要看對于同一個自變量的值所得到的函數(shù)值是否相同，有時形式上不同的對應(yīng)法則本質(zhì)上是相22同的。例如：yx1與ysinxcosxx的對應(yīng)法則是相同的。3、同一個函數(shù)同一個函數(shù)，而值域相同是兩函數(shù)兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則二者均相同時才表示為同一函數(shù)的必要非充分條件.4、變換字母在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則不變的條件下，用不同的字母表示自變量及對應(yīng)法則，這對于

3、函數(shù)本身并無影響，比如f(x)=x2+1,g(t)=t2+1,都表示同一函數(shù).5、區(qū)間及其表示方法.區(qū)間是數(shù)學(xué)中常用的表示數(shù)集的術(shù)語與符號.設(shè)a、bR,ab,規(guī)定閉區(qū)間：a,b=x|axb,開區(qū)間：(a,b)=x|axb,半開半閉區(qū)間：(a,b=x|axb,a,b)=x|axb.其中a、b分別為區(qū)間的左端點、右端點，b-a為區(qū)間長度.符號+8讀作正無窮大，-8讀作負(fù)無窮大，它們都不是一個具體的數(shù).用+8或-8作為區(qū)間的端點，表示無窮區(qū)間，并且只能用開區(qū)間的形式.如：(a,)x|xa,(,b)x|xb,(,)R6.映射的概念：映射是兩個集合間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，即若按照某種對應(yīng)法則f,對于集合

4、A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A、B和對應(yīng)法則f)就叫做集合A到集合B的映射，記作f:A-B.在映射f：AfB中，若A中元素a與B中元素b對應(yīng),則b叫做a的象，a叫做b的原象.因而，映射可以理解為“使A中任一元素在B中都有唯一象”的特殊對應(yīng)(即單值對應(yīng)).如果映射f:A-B滿足A中不同元素在B中有不同的象；B中任一元素均有原象，那么這個映射就是A到B上的一一映射.7、映射與函數(shù)的關(guān)系函數(shù)是映射，但映射不一定是函數(shù)。由映射的概念可知，函數(shù)本質(zhì)上是定義在兩個非空數(shù)集上的一類特殊的映射：當(dāng)A、B是兩個非空數(shù)集，那么A到B的映射f:A-B就叫做A到B的函數(shù)，

5、并記作y=f(x),其中xCA,yCB.原象的集合A叫做函數(shù)的定義域，象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然CB.8、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(1)、解析法用一個含有這兩個變量及數(shù)學(xué)運算符號的等式表示兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫21做解析法.例如，代數(shù)式，y=-2x-1,y=xx2,y=-,y=vx3等等都是函x數(shù)解析式.一般的可表示為yf(x)。解析法簡單明了，能準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的相依關(guān)系，即給出了由x求y的方法，但求對應(yīng)值時，往往要經(jīng)過比較復(fù)雜的計算，而且在實際問題中，有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析式表達出來.(2)、列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表

6、示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法.如平方表、平方根表等.列表法一目了然，表格中已有自變量的每一個值，不需計算就可以直接查出與它對應(yīng)的函數(shù)值，使用起來很方便，但列表法有局限性，因為列出的對應(yīng)值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律.而且是近似值(3)、圖象法用平面直角坐標(biāo)系中的曲線表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法.圖象法形象直觀，通過函數(shù)的圖象，可以直接、形象地把函數(shù)關(guān)系表示出來，能夠直觀地研究函數(shù)的一些性質(zhì)，例如函數(shù)有沒有最大值(或最小值)?最大(小)值是多少？函數(shù)值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具.但是，由圖象觀察只能由x

7、的值量出y的近似值使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做函數(shù)的自變量的取值范圍.注意：(1)當(dāng)函數(shù)是由一個解析式表示時，欲求函數(shù)值，實質(zhì)就是求代數(shù)式的值.(2)當(dāng)已知函數(shù)解析式，又給出函數(shù)值，欲求相應(yīng)的自變量的值時，實質(zhì)就是解方程.(3)當(dāng)已知函數(shù)值的一個取值范圍，欲求相應(yīng)的自變量的取值范圍時，實質(zhì)就是解不等式.9、分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式例：求分段函數(shù)的函數(shù)值已知函數(shù)求fff(a)(a<0)的值。分析求此函數(shù)值關(guān)鍵是由內(nèi)到外逐一求值，即由a<0,f(a)=2a,又0<2a<1,所以，。注

8、：求分段函數(shù)值的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值代入相應(yīng)的函數(shù)段的表達式.二、典型例題解析例1在對應(yīng)法則“f”下，給出下列從集合A到集合B的對應(yīng)：1（1） A=N,B=R,f：x-y=;xx（2） A=N,B=Z,f：x-y=（1）；（3） A=xIx是平面內(nèi)的三角形,B=yIy是平面內(nèi)的圓,f：x-y是x的外接圓.其中能構(gòu)成映射的是（）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（3）D.（2）分析判斷一個對應(yīng)是不是映射，應(yīng)緊扣映射的定義，即在對應(yīng)法則f下，對于集合A中的任二元素在B中是否都有唯丁.的象.解：在（1）中，元素“0”在B中沒有象，不滿足“任意性”，故不能構(gòu)成映射.在（2）中，當(dāng)x為偶

9、數(shù)時，其象為1;當(dāng)x為奇數(shù)時，其象為-1,而1,-1CB,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在（3）中，因為任一三角形都有唯一的外接圓，所以（2）、（3）能構(gòu)成映射.答案選C.點評判斷一個對應(yīng)是否能構(gòu)成映射，應(yīng)緊扣映射定義.在課本中，已規(guī)定0是自然數(shù)，忽視了這一點，將誤認(rèn)為對應(yīng)（1）是映射.在映射f:A-B中，A、B的地位是不對等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一.一般地，若A中元素的象的集合為C,則CB.如（2）中除1,-1以外的任何元素均無原象，（3）中任一圓的內(nèi)接三角形都有無數(shù)個.映射中的集合元素的對象是任意的，可以是數(shù)集、點集或其他任意對象，如（3）中的集合對象是幾何圖

10、形.變題設(shè)集合A=xIx是平面內(nèi)的圓,B=yIy是平面內(nèi)的矩形,f：x-y是x的內(nèi)接矩形.試問它能否構(gòu)成映射？答案：不能。因為圓的內(nèi)接矩形有很多個，與映射要求的通過對應(yīng)關(guān)系只有唯一的元滿足關(guān)系不符例2已知映射f:A-B,其中集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意aCA,在B中和它們對應(yīng)的元素是|a|,則集合B中元素的個數(shù)是（）A.4B.5C.6D.7分析本題主要考查映射的概念及對對應(yīng)概念的理解.解本題應(yīng)抓?。簩?yīng)法則f是什么？集合B中的具體元素是什么？而的解決由來決定.解：依題意，由A-B的對應(yīng)法則為f：a一|a|.于是，將集合A中的7個不

11、同元素分別取絕對值后依次得3,2,1,1,2,3,4.由集合元素的互異性可知，B=1,2,3,4,它有4個元素，答案選A.點評準(zhǔn)確理解題目本身所給的信息，捕捉對解題有用的成份，是解決問題的關(guān)鍵.不能忽視集合元素的三大特性在解題中的應(yīng)用.本題中如果忽視集合元素的互異性，將導(dǎo)致錯選D.例3設(shè)A=（x,y）IxR,yCR.如果由A到A的映射，使象集合中的元素（y-1,x+2）和原象集合中的元素（x,y）對應(yīng)，那么象（3,-4）的原象是（）A.（-5,5）B,（4,-6）C.（2,-2）D.（-6,4）分析由象與原象的概念可知，本題中的對應(yīng)法則是f：（x,y）一（y-1,x+2）,問題即：當(dāng)點（y-1

12、,x+2）是（3,-4）時，對應(yīng)的x,y的值分別是多少？于是由y13x6,即象（-3,4）的原象是（-6,4）,選D.x24y4點評已知原象要求象，只需根據(jù)對應(yīng)法則直接代入計算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通過解方程組來解決.在映射f:A-B中，A是原象集合，B是象的集合，對應(yīng)法則是f:原象一象，二者順序不能顛倒，否則將誤選A;點(x,y)是有序數(shù)對，x,y的順序不能搞錯，否則將誤選B.例4設(shè)A=xI0<x<2,B=yI1<y<2,圖1中表示A到B的函數(shù)是()分析可根據(jù)映射觀點下的函數(shù)定義直接求解.首先C圖中，A中同一個元素x(除x=2)與B中兩

13、個元素對應(yīng)，它不是映射，當(dāng)然更不是函數(shù)；其次，A、B兩圖中，A所對應(yīng)的“象”的集合均為yI0<y<2,而yI0<y<2B=yI1<y<2,故它們均不能構(gòu)成函數(shù).從而答案選D.點評函數(shù)首先必須是映射，是當(dāng)集合A與B均為非空數(shù)集時的映射.因此，判斷一個對應(yīng)是否能構(gòu)成函數(shù)，應(yīng)判斷：集合A與B是否為非空數(shù)集；f：A-B能否為一個映射.另外，函數(shù)f：A-B中，象的集合M叫函數(shù)的值域，且MB.變題已知函數(shù)y=f(x),集合A=(x,y)Iy=f(x),B=(x,y)Ix=a,yCR,其中a為常數(shù)，則集合APB的元素有(C)A.0個B.1個C.至多1個D.至少1個提示設(shè)函

14、數(shù)y=f(x)的定義域為D,則當(dāng)aCD時，AAB中恰有1個元素；當(dāng)a/D時，AAB中沒有元素.例5集合A=3,4,B=5,6,7,那么可建立從A到B的映射個數(shù)是,從B到A的映射個數(shù)是.剖析：從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應(yīng)方法(可對應(yīng)5或6或7),第二步A中的元素4也有這3種對應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)Ni=3X3=9.反之從B到A,道理相同，有N2=2X2X2=8種不同映射.答案：9,8例6、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示.(

15、1)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式pf(t);(2)寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Qg(t);由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t):(t150)2100,0t200,200t3000t300例7、若f:y=3x+1是從集合A=1,k的值及集合A、B.2,3,k到集合B=4,7,a4,a2+3a的一個映射，求自然數(shù)a、解：f(1)義知=3X1+1=4,f(2)=3X2+1=7,f(3)=3X3+1=10,f(k)=3k+1,由映射的定k=54a(1)2aaCN,10,3a3k方程組(或(2)1,2a4a3a10,3k1.1)無解.解方程組(2),得a=2或a=-5(舍

16、)，3k+1=16,3k=15,.A=1,2,3,5,B=4,7,10,16.三、基本概念練習(xí)題1 .對于映射f:AfB,下列說法正確的是()A.A中某一元素的象可以不止一個B.B中某一元素的原象可以不止一個C.A中兩個不同元素的象必不相同D.B中兩個不同元素的原象可能相同2 .設(shè)集合A=a,b,c,B=m,n,p,那么從集合A到B可以建立個一一映射.3 .已知A=B=R,xA,yCB,且f：x-y=ax+b,若5和20的原象分別是5和10,則7在f下的象為.4 .下列函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()x2-1A.f(x)=1,g(x)=x°B.f(x)=x+1,g(x)=-C.f(x)=

17、/x,g(x)=|x|D,f(x)=x,g(x)=(/)25 .函數(shù)y=x-1,xez且xe-1,5,則函數(shù)的值域為.6 .給出三個命題：映射f:A-B是函數(shù)，則A叫做函數(shù)的定義域，B叫做函數(shù)的值域；f(x)vx4V3x是函數(shù)；函數(shù)y=3x(xCZ)的圖象是一條直線.其中正確的有A.0個B.1個C.2個D.3個7、集合M=a,b,c,N=1,0,1,映射f:MfN滿足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么映射f:M-N的個數(shù)是多少？參考答案1 .B2 .63 .114 .C5 .-2,-1,0,1,2,3,46 .A(定義域?qū)Γ涤虿灰欢▽?，值域是B的真子，第二個定義域空，第三是點)7 、解：

18、f(a)N,f(b)N,f(c)CN,且f(a)+f(b)+f(c)=0,.有0+0+0=0+1+(1)=0.當(dāng)f(a)=f(b)=f(c)=0時，只有一個映射；當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個為0,而另兩個分別為1,1時，共有3*2=6個映射.因此所求的映射的個數(shù)為1+6=7.評述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想四、小結(jié)1 .理解映射的概念，應(yīng)緊緊抓住映射的兩個特性：任意性；唯一性.2 .判斷一個對應(yīng)是不是映射或一一映射，應(yīng)“回到定義去”；說明一個對應(yīng)不是映射或一一映射，只須找出一個反例.五、檢測題：選擇題：1.在映射f:AfB()A.充分非必要條件C.充分必要條件3 .深化對

19、函數(shù)概念的理解，能從函數(shù)三要素(定義域、值域與對應(yīng)法則)的整體上去把握函數(shù)概念.在函數(shù)三要素中，定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩大要素，對應(yīng)法則是核心。B.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件中，“B中每一元素在A中都有原象”是“該映射為映射”的2 .下列各圖形中，是函數(shù)的圖象的是ABCD3 .下列對應(yīng)能構(gòu)成映射的是()A. A=N,B=N+,f:xIxIB. A=N,B=N+,f：xIx-3IC. A=xIx>2,xCN,B=yIy>0,yCZ,f：x-y=x2-2x+2D.A=xIx>0,xCR,B=R,f：x-y=±出4 .設(shè)f、g都是由A到A的映射(其中A=1,

20、2,3),其對應(yīng)法則(從上到下)如下表:映射f的對應(yīng)法則映射g的對應(yīng)法則原象123原象123象231象213設(shè)a=gf(3),b=gg(2),c=fgf,則a、b、c的關(guān)系正確的為()A.a=bwcB.a=b=cC.b=cwaD.c=awb5、已知集合M=a,b,c,N=-1,0,1,若f是M-N的映射，且f(a)=f(b)+f(c),則這樣的映射共有A.4個B.6個C.7個D.27個6、Mx0x2,Ny0y2給出的四個圖形，其中能表示集合M至UN的函數(shù)關(guān)系的有yjiyjiA、0個B、1個C、2個D、3個填空題：7 .已知集合A=xI0wxw4,B=yI0<y<2,下列從A到B的對

21、應(yīng)f：11212f：x-y=-xf：x-y=-xf：x-y=xf：x-y=-x2338(1)其中不是映射的是;(2)其中是映射的是.8 .映射f:A-B,其中A=三角形,B=R,f是使三角形對應(yīng)到它的外接圓半徑.則邊長為J3的正三角形的象是.9 .已知f:A-B是映射，其中A=1,2,3,4,5,B=0,7,26,63,124,則對應(yīng)法則f：x-y=.11、，一一10 .給定映射f：(x,y)(2xy,xy),點(，)的原象是.6611.設(shè)函數(shù)f(x)x3,(x10)f(f(x5),(x10)解答題：12 .已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a3,a2+3a,且aCZ,kCZ.映射f：x-y=3x+1,xA,yCB,求實數(shù)a、k的值.13 .已知映射f:A-B中，A=B=(x,y)IxR,yCR,f：(x,y)一(x+2y+2,4x+y).(1)求A中元素(5,5)的象；(2)求B中元素(5,5)的原象；(3)是否存在這樣的元素(a,b),使它的象仍是自己？若有，求出這個元素.2,(x0)3f(x-1)+f