課題學(xué)習(xí)有關(guān)正多邊形的折紙

1、1 如何折成正多邊形【典例 1】 如圖 1， 在ABC 中， 已知BAC45，ADBC 于點(diǎn) D， BD2， DC3， 求 AD 的長小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱的知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問題：(1)分別以 AB，AC 為對(duì)稱軸，畫出ABD，ACD 的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，延長 EB，F(xiàn)C 交于點(diǎn) G，求證：四邊形 AEGF 是正方形；(2)設(shè) ADx，利用勾股定理，建立關(guān)于 x 的方程模型，求出 x 的值【點(diǎn)撥】先根據(jù)ABDABE，ACDACF，得出EAF90；再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到 AEAF，從而說明四邊形 AEGF 是正方形【

2、解析】(1)由題意，得ABDABE，ACDACF，DABEAB，DACFACBAC45，EAFEABBACFAC90ADBC，EADB90，F(xiàn)ADC90四邊形 AEGF 為矩形又AEAD，AFAD，AEAF，四邊形 AEGF 是正方形(2)ADx，AEEGGFxBD2，DC3，BE2，CF3，BC5BGx2，CGx3在 RtBGC 中，BG2CG2BC2，(x2)2(x3)252，化簡，得 x25x60解得 x16，x21(舍去)，ADx6【跟蹤練習(xí) 1】同學(xué)們?cè)谛W(xué)階段做過這樣的折紙游戲：把一個(gè)長方形紙片經(jīng)過折疊可以得到新的四邊形如圖 2，將長方形ABCD 沿 DE 折疊，使點(diǎn)A 與點(diǎn) F

3、重合，再沿 EF剪開，即得圖 2中的四邊形 DAEF求證：四邊形 DAEF 為正方形【解析】矩形 ABCD 沿 DE 折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) F 重合，DAEDFEDADF，DFEA四邊形 ABCD 是矩形，DFEAADF90四邊形 DAEF 為矩形又DADF，矩形 DAEF 為正方形【典例 2】折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形把一張正方形紙片按照?qǐng)D3的過程折疊后展開課題學(xué)習(xí)3(1)猜想四邊形 ABCD 是什么四邊形；(2)請(qǐng)證明你所得到的數(shù)學(xué)猜想【點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，再結(jié)合的折疊過程進(jìn)行合理猜想并論證2 折疊正多邊形

4、【解析】(1)四邊形 ABCD 是菱形(2)觀察折疊過程知，AMG 沿 AG 折疊，AM 落在 AC 上，MADDAC12MAC同理，可得CABNAB12CAN，DCAMCD12ACM，ACBNCB12ACN，MACNAC12MAN，MCANCA12MCN四邊形 AMCN 是正方形，MANMCN90，DACBACBCADCA，ADBC，ABDC，ADCD，四邊形 ABCD 為平行四邊形又ADCD，四邊形 ABCD 為菱形【跟蹤練習(xí) 2】將正方形 ABCD 折疊，使頂點(diǎn) A 與 CD 邊上的點(diǎn) M 重合，折痕交 AD 于點(diǎn) E， 交 BC 于點(diǎn) F， 邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G(如圖4)如果

5、M 為 CD 邊的中點(diǎn)，求證：DEDMEM345【解析】設(shè)正方形的邊長為 a，DEx，則 DMa2，EMEAax在DEM 中，D90，DE2DM2EM2，即 x2a22(ax)2，解得 x3a8EM5a8，DEDMEM345【典例 3】如圖 5，把矩形紙片 ABCD 沿對(duì)角線 BD 向上折疊，(1)在圖 5中用實(shí)線畫出折疊后得到的圖形(要求尺規(guī)作圖， 保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)折疊后重合部分是什么圖形？說明理由課題學(xué)習(xí)5【點(diǎn)撥】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可以作BDGBDC，再在 DG上截取 DEDC，即可畫出折疊后的圖形3 折疊與作圖(2)由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可得出重合部分圖形的形狀【

6、解析】(1)方法不唯一：作BDGBDC，在射線 DG 上截取 DEDC， 連結(jié) BE，如解圖，DEB 即為所求作的圖形(2)是等腰三角形證明：BDE 是BDC 沿 BD 折疊而成，F(xiàn)DBCDB四邊形 ABCD 是矩形， ABCD,ABDBDC，F(xiàn)DBABD，BDF 是等腰三角形【跟蹤練習(xí) 3】 如圖 6， 矩形紙片 ABCD 的邊長 AB4，AD2翻折矩形紙片，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，折痕分別交 AB，CD 于點(diǎn) E，F(xiàn)(1)在圖中用尺規(guī)作圖作出折痕EF所在的直線(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)求線段 AE 的長【解析】(1)連結(jié) AC，作 AC 的垂直平分線，交 AB 于點(diǎn) E，交 CD 于點(diǎn) F，如解圖【答案】(1)如解圖(2)52(2)如解圖，連結(jié) CE四邊形 ABCD 是矩形，B90，BCAD2由翻折，得 AECE設(shè) AEx，則 BE4x，CEx在 RtBCE 中，CE2BC2BE2，x222(4x)2，解得 x52AE52名師指津1 折疊后重合的兩個(gè)圖形全等，主要是利用重合的角相等，重合的邊相等2 折疊變換其實(shí)是軸對(duì)稱變換3 通過折痕來構(gòu)造圖形的基本原理是：疊合可以產(chǎn)生全等圖形，由此產(chǎn)生一些相等的角