《空間向量的數(shù)量積運(yùn)算》示范教案

1、3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算整體設(shè)計(jì)教材分析本節(jié)課在平面向量的夾角和向量長度的概念的基礎(chǔ)上，引入了空間向量的夾角和向量長度的概念和表示方法，介紹了空間兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、計(jì)算方法、性質(zhì)和運(yùn)算律，并舉例說明利用向量的數(shù)量積解決問題的基本方法通常，按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難用向量處理立體幾何問題，可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當(dāng)大的優(yōu)越性；而且，在豐富學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的同時(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力也得到了鍛煉和提高課時(shí)分配1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識與技能1掌握空間向量夾

2、角的概念及表示方法；2掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算律；3掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題過程與方法1運(yùn)用類比方法，經(jīng)歷向量的數(shù)量積運(yùn)算由平面向空間推廣的過程；2引導(dǎo)學(xué)生借助空間幾何體理解空間向量數(shù)量積運(yùn)算的意義情感、態(tài)度與價(jià)值觀1培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學(xué)應(yīng)用能力；2培養(yǎng)學(xué)生空間向量的應(yīng)用意識重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律、幾何意義；2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其變形在空間幾何體中的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應(yīng)用；2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其幾何應(yīng)用和理解教學(xué)過程引入新課提出問

3、題：已知在正方體ABCDAzBzCD'中，E為AA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，DzF=1FC/,如何確定BE,FD的夾角？D'FC'活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師設(shè)問：平面向量的夾角問題是如何求得的？是否可將平面內(nèi)求得兩向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式是否會有所變化？學(xué)生活動(dòng)：回顧平面向量數(shù)量積、向量夾角公式；類比猜想空間向量夾角公式的形式設(shè)計(jì)意圖：問題的給出，一時(shí)之間可能會使學(xué)生感到突然，但預(yù)計(jì)應(yīng)該會聯(lián)想到平面向量的夾角公式，由此作一番類比猜想，起到溫故知新的作用探究新知提出問題1：空間向量的夾角應(yīng)該怎樣定義，怎樣表示？夾角的取值范圍是什么，怎樣定義向量垂直？活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師指導(dǎo)學(xué)生

4、回憶平面向量夾角的定義、表示方法和取值范圍，并進(jìn)行類比；學(xué)生回憶平面向量夾角的定義、表示方法和取值范圍，并進(jìn)行類比得到結(jié)論活動(dòng)成果：1. 空間向量a,b的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間中任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則ZAOB叫做向量a,b的夾角，記作a,b.2. 空間向量a,b的夾角的取值范圍：0Wa,bWn，且a,b=b,a.當(dāng)a,b同向共線時(shí)a,b=0,當(dāng)a,b反向共線時(shí)a,b=n.n3兩個(gè)向量垂直的定義：若a,b=2，則稱a與b互相垂直，記作：alb.設(shè)計(jì)意圖：通過回憶平面向量夾角的定義和取值范圍類比得出空間向量夾角的定義和取值范圍提出問題2：類比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義,

5、思考并嘗試如何給空間向量定義數(shù)量積運(yùn)算,并指出數(shù)量積運(yùn)算滿足怎樣的運(yùn)算律活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自由發(fā)言；教師板書并請不同的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充活動(dòng)成果：1.已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記作ab,即ab=|a|b|cosa,b；2規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0；3兩個(gè)向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：(1) (Xa)b=Uab)；(2) ab=ba；(3) (a+b)c=ac+bc.設(shè)計(jì)意圖：由平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律引導(dǎo)學(xué)生類比得出空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律理解新知提出問題1：a,b,c為非零向量，有abc=a(bc)成立嗎？ab=bc能得到a=c嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先自

6、己思考,然后小組討論；教師巡視并和學(xué)生交流活動(dòng)成果：1. Tab是實(shí)數(shù)，.:abc是與c共線的向量；同樣a©c)是與a共線的向量；.abc=a(bc)不一定成立，即數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律.2. Tab=bc,.°.(ac)b=0.A(ac)丄b.不能得到a=c,即數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律.設(shè)計(jì)意圖：深化對向量數(shù)量積運(yùn)算的理解和對運(yùn)算律的熟悉提出問題2：數(shù)量積運(yùn)算能否判斷兩個(gè)向量的平行或垂直關(guān)系,能否用來求角？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先自己思考，然后小組討論；教師巡視并和學(xué)生交流.活動(dòng)成果：1. 若ab=|a|b|,則a,b同向；若ab=|a|b|,則a,b反向；特別的a2=|a|2,.

7、a1=a2.2. 若a,b為非零向量，則ab=0alb.3. cosa,小二辟，設(shè)計(jì)意圖：由用數(shù)量積判斷向量的關(guān)系引出空間向量數(shù)量積運(yùn)算的變形，更好地理解數(shù)量積運(yùn)算的定義.運(yùn)用新知用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理.已知：m,n是平面a內(nèi)的兩條相交直線，如果1丄m,1丄n.求證：Ida.思路分析：要證明1丄a,就要證明1垂直于a內(nèi)的任一條直線g(直線和平面垂直的定義).如果我們能在g和m,n之間建立某種聯(lián)系，并由1丄m,1丄n得到1丄g,就能解決此問題.證明：在a內(nèi)作不與m,n重合的任一直線g,在1,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.*.*m,n相交，向量m,n不平行.由共面定理可知

8、，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y),使g=xm+yn,.°.lg=xlm+yln.又°.°lm=0,ln=0,Vg=0.l丄g.1丄g.所以，直線1垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得11a.點(diǎn)評：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為用向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量運(yùn)算取計(jì)算結(jié)果或證明結(jié)論.鞏固練習(xí)已知空間四邊形ABCD中，AB丄CD,AC丄BD,求證：AD丄BC.證明:>>>>>>>>>>>>>>>ADBC=(AB+BD)(ACAB)=ABAC+BDACA

9、B2ABBD=AB(ACABBD)=ABDC=o.AD丄BC.變練演編如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,ZOAB=60°,求OA與BC的夾角的余弦值.OB解：VBC=AC-AB,6aBC=oaaC-6aAjb=IOAIIACIcosOA,AC一lOAiiABicos<oa,AB=8X4Xcos135°-8X6Xcos120°=24-1,'2.8X5cos<OA,盤=昶24一血3IOAIIBCI32/2所以，OA與BC的夾角的余弦值為一.提出問題：要求OA與BC的夾角的余弦值，還可以

10、給出哪幾組條件?提示：可以將ZOAC=45°換成ZABC的值，將AC的長換成邊OC的長，利用OC=OA+AB+BC平方即可.設(shè)計(jì)意圖：發(fā)散學(xué)生思維，提高學(xué)生整合知識的能力.達(dá)標(biāo)檢測1.已知向量a丄，向量c與a，b的夾角都是60°，且IaI=l,IbI=2,lcI=3,試求：(1)(a+b)2；(2)(a+2bc)2；(3)(3a2b)(b3c).2.已知線段AB，BD在平面a內(nèi)，BD丄AB,線段AC丄a，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D間的距離.r7答案：1.(1)511一2.解：VAC丄a,AB,BDa,.AC丄AB,AC丄BD.又VAB丄BD,AbAB=o,A

11、CBD=o,ABBD=o.ICDI2=CECD=（CA+AB+BD）2=c2+a2+b2.ICDI=a2+b2+c2.課堂小結(jié)1.知識收獲：空間向量的夾角的定義、表示方法、取值范圍；兩個(gè)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)算法則；利用空間向量的數(shù)量積證明共線和垂直以及求夾角和距離.2. 方法收獲：類比方法、數(shù)形結(jié)合方法、轉(zhuǎn)化變形方法.1.設(shè)a丄b,nna,c=3，b,c=6，且lal=1,lbl=2,lcl=3，求向量a+b+c的模.3思維收獲：類比思想、轉(zhuǎn)化思想布置作業(yè)課本習(xí)題3.1A組3、4,補(bǔ)充練習(xí).補(bǔ)充練習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)2.已知ai=2,血1=5,a,b=2nTp=3ab,q=Xa+17b，問實(shí)數(shù)九取何

12、值時(shí)p與q垂直？3. 若a+b+c=O,且ai=3,lbl=2,lcl=1,求ab+bc+ca的值.答案：1.17+6-佔(zhàn)2.403.-7拓展練習(xí)4. 在棱長為1的正方體ABCDA'BCD'中，E,F分別是DD,DB的中點(diǎn),G在棱CD上,CG=fcD,H為C'G的中點(diǎn)，(1)求證：EF丄B'C；求EF與C'G所成角的余弦值;求FH的長.D'C'解：設(shè)AB=a,AD=b,AA'=c,貝Uab=bc=ca=0,lab=a2=1,ibl2=b2=1,lcl2=c2=1.(1) TEF=ED+DF=*c+2(ab)=2(abc),B

13、9;C=BCBB'=bc,：EF.B'C=2(abc).(bc)=f(c2b2)=*(11)=0.EFdB'C.(2) TEF=ED+DF=2c+*(ab)=2(abc),C'G=C'C+CG=c4a,.°.EFC'G=2(a_b_c).(_c_4a)=2(_4a2+c2)=8，113lEFl2=4(0b_c)2=4(a2+b2+c2)=4，IC'G|2=（_C_4a）2=（2+品=1716.：.EF=2t，I°'6=屮,cos<EF,C'G>=E£=£7所以EF,CG所

14、成角的余弦值為EFC'G1717（3）*.*FH=FB+BC+CC+CH'=2（ab）+b+c+qC'G=2（ab）+b+c+2（c&a）=8a+2b+2C，雨2=(|°+如+吉)2=64。2+2+£2=44，.FH的長為設(shè)計(jì)說明本節(jié)課介紹了空間向量的夾角、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義及其應(yīng)用空間向量的夾角和空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義由平面向量的相關(guān)定義類比得到空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)和運(yùn)算律由學(xué)生發(fā)現(xiàn)，并在理解新知中經(jīng)學(xué)生證明本節(jié)課的重點(diǎn)是空間向量數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用及其變形公式在立體幾何中的應(yīng)用，在變練演編中發(fā)散學(xué)生思維，幫助學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)

15、行整合，對方法進(jìn)行歸納本節(jié)課突出教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，在教師所提問題的引導(dǎo)下，學(xué)生自主完成探究新知和理解新知的過程，在運(yùn)用新知時(shí)進(jìn)行變練演編，加深學(xué)生對知識的理解和問題轉(zhuǎn)化的能力備課資料備選例題1已知平行六面體ABCDA'BCD中，AB=4,AD=3,AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA'=60。，求AC'的長.巧C/IXfl思路分析：要求AC'的長，只需將AC'用AB,AD,AA'表示出來即可.解：IAC'2=(AB+AD+aa')2=AB2+AD2+iaa'2+2ABA

16、D+2AB.aa'+2ADaa'=42+32+52+2X4X3Xcos90°+2X4X5Xcos60°+2X3X5Xcos60°=16+9+25+0+20+15=85，所以IAC'=V85.2已知S是邊長為1的正三角形所在平面外一點(diǎn)，且SA=SB=SC=1,M,N分別是AB,SC的中點(diǎn)，求異面直線SM與BN所成角的余弦值.思路分析：要求異面直線SM與BN所成角的余弦值，只要求SM與BN所成角的余弦值,因此就要求SMBN以及ISMIIBNI，然后再用向量夾角公式求解.解：設(shè)SA=a,SB=b，SC=c,a.b=b.c=a.c=2.vSMBN=

17、2（sA+SB）（SN-SB）=|（a+ft）（1c-）11一，1”.1111.111.h、SMBN=2（2。cab+2bcb2）=2（2x22+2X2-1）=2，cosSM,BN=_iSmiiBni22所以，異面直線SM與BN所成角的余弦值為3.點(diǎn)評：設(shè)出空間的一個(gè)基底后，求數(shù)量積SMBN的時(shí)候目標(biāo)就更加明確了，只要將SM與BN都化為用基向量表示就可以了.本題中SM與BN的夾角是異面直線sm與bn所成角的補(bǔ)角.3如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4,E為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與B1C的交點(diǎn)，又AF丄BE,求長方體的高BB思路分析：本題的關(guān)鍵是如何利用af丄be這個(gè)條件,在這里可利用AF丄BEAFBE=0將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題.CB辺一解法一：tAF丄BE,>>>>>>AFBE=（AB+BF）（BB1+B1E）11=ab+2（bc+bb1）bb1+2（bc