不確定度的表示方法

1、不確定度數(shù)據(jù)表示方法一.不確定度概述：在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、產(chǎn)品生產(chǎn)、商業(yè)貿(mào)易及日常生活的各個(gè)領(lǐng)域，我們都要進(jìn)行測(cè)量工作。測(cè)量的目的是確定被測(cè)量的值，測(cè)量不確定度表示測(cè)量結(jié)果的不確定或不肯定的程度，也就是不可信度。定義：不確定度是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的，用于合理表征被測(cè)量值分散性大小的參數(shù)。分類及表示：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差表示的不確定度，以卩表示。 擴(kuò)展不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的不確定度，以U表示。(擴(kuò)展不確定度表明了具有較大置信概率的區(qū)間的半寬) 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的合成，以卩C表示(測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值)1.1. 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度被測(cè)量y由N個(gè)其他量x的函數(shù)確定時(shí)，假設(shè)其

2、函數(shù)關(guān)系為y=f(x,x,i12x)Nu上式稱為不確定度傳播率。石i為靈敏系數(shù)，r(x，ix)為相關(guān)系數(shù)。ju(y)迓fu2(x)P2coxi2i=1ii=1j=11.1.1.當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為：y=Ax+Ax+Ax，且各輸入量之間不相關(guān)1122NN時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：Ofo3fu若用靈敏系數(shù)表示uc(y)=gOxOx'ij丿OxiOxiO勺c2u2(x)=2u2(y)iii.ii=1ki=1u(y)=更2u2(x)+2乞r(x,x)u(x)u(x)OxiOxOxijiji=1ii=1j=i+1ijy=xp-xpxPn1.1.2.當(dāng)被測(cè)量的函數(shù)形式為：12nu(y)用-合成標(biāo)準(zhǔn)不

3、確定度為：y=乙Piu(xixi2y'i=11.1.3若所有輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為=遲浮U(Xi)i=1iu(y):合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度cu(x):各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度iv:u(x)的自由度iiveff越大表明評(píng)定的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度匕(y)越可靠。自由度的含義：自由度是方差之不確定度的度量，由于測(cè)量不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差(方差的正平方根)表示，自由度也就是“測(cè)量不確定度的不確定度”。自由度大表示測(cè)量不確定度的不確定度小，即測(cè)量結(jié)果之不確定度的可信度高，反之亦然。用第一張ppt的例子來說明，當(dāng)自由度很大時(shí)，表示“被測(cè)量的值落在831。9°C839.1

4、76;C區(qū)間的置信水平約為95%”的可信度高，對(duì)于自由度v=12,3.6C的不可信度大約是21%。1.2擴(kuò)展不確定度分為兩種U和Up。1.2.1. U：就是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)，U=ku，即由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度直接c乘以包含因子k(k的典型值為23)1.2.2. U：對(duì)于給定的置信概率P,擴(kuò)展不確定度記為U=ku，此時(shí)包含因子kpppcp的選擇如下如果組成u的不確定度分量較多，且各分量對(duì)不確定度的影響不大時(shí)，據(jù)中心c極限定理，合成不確定度u的分布接近正態(tài)分布。c若有效自由度充分大，按正態(tài)分布計(jì)算若有效自由度較小，按t分布計(jì)算(按有效自由度查表)如果u的概率分布為非正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)根據(jù)相應(yīng)的分布確

5、定kcp。二.不確定度的評(píng)定測(cè)量不確定度的評(píng)定方法分為兩類，即A類和B類，兩者之間無主次之分，享有同等地位。2.1 A類不確定度評(píng)定A類不確定度是采用觀察列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度的，用標(biāo)準(zhǔn)誤差來表示。測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。文為XO0當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，其估算值會(huì)偏大，這是，從理論上可得A類不確定度的估算值為ua=t（n-l）°x式中，t（n-1）是一個(gè)大于1的修正值（被稱為t分布臨界值）。測(cè)量次數(shù)n不同，修正量t（n-1）不同。下表給出了不同測(cè)量次數(shù)n對(duì)應(yīng)的修正量。n234561020oot(n-1)1.841.321.201.141.111.051.031.002

6、.2 B類不確定度的評(píng)定實(shí)則基于對(duì)一個(gè)事件發(fā)生的信任程度。很多不確定度分量實(shí)際上還必須用別的非統(tǒng)計(jì)方法來評(píng)定。2.2.1 B類不確定度評(píng)定的信息來源主要有六項(xiàng)： ：以前的測(cè)量數(shù)據(jù)。 ：對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)資料和測(cè)量?jī)x表特性的了解和經(jīng)驗(yàn)。 ：生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件。 ：校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等別或級(jí)別，包括目前還在使用的極限誤差等。 ：手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度。 :規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r(nóng)或重復(fù)性限R。2.2.2 B類不確定度的評(píng)定方法采用不同于A類的其他方法估算。首先，根據(jù)儀器、儀表說明書，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，材料特性等來確定測(cè)量誤差限，

7、例如，已知儀表精度等級(jí)和量程可計(jì)算出誤差限。其次，確定測(cè)量誤差的分布，常見的有正態(tài)分布和均勻分布。最后，將測(cè)量誤差限（對(duì)應(yīng)的置信度1）換算成相似的標(biāo)準(zhǔn)誤差片（對(duì)應(yīng)一倍的標(biāo)準(zhǔn)誤差置信度）。對(duì)于均勻分布的誤差，其B類不確定度估算為u二仝J品對(duì)于服從正態(tài)分布的誤差，其B類不確定度估算為u.=J3三測(cè)量不確定度評(píng)定實(shí)例3.1用電壓表測(cè)量穩(wěn)壓電源的輸入電壓3.1.1測(cè)量方法及測(cè)量的數(shù)學(xué)模型用已經(jīng)校準(zhǔn)的電壓表測(cè)量一臺(tái)穩(wěn)壓電源的輸出電壓U。電壓表的分辨力為0.01V。電壓表校準(zhǔn)的不確定度和表的分辨力引起的不確定度可以忽略不計(jì)。因此，多次直接測(cè)量，數(shù)據(jù)的平均值即為輸出電壓的最佳估計(jì)值。故測(cè)量的數(shù)學(xué)模型可以表示

8、為：U=U(1.1)測(cè)3.1.2測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了10次測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)及相關(guān)計(jì)算列于表1.1表1.1輸出電壓測(cè)量數(shù)據(jù)及相關(guān)計(jì)算序號(hào)i輸出電壓U/Vi殘差u/Vi殘差平方U2/V2i1200.63+0.070.00492200.280.280.07843200.080.480.23044201.36+0.800.64005200.470.090.00816200.82+0.260.06767199.730.830.68898201.09+0.530.28099200.410.150.022510200.73+0.170.0289測(cè)量值平均：U=200.56VY+u=183,Y-u=-1832=2.0

9、506iii檢查平均值和殘差的計(jì)算是否有誤，可將正殘差與負(fù)殘差分別相加，若兩個(gè)和的絕對(duì)值不相等，且兩者之差大于末位的1/2，則可判定計(jì)算有誤。本例中|+u|=|-u|=183，再?gòu)?fù)核計(jì)算，表明計(jì)算正確。ii也可直接求殘差的代數(shù)和看是否為零，或小于末位的半個(gè)單位來進(jìn)行判斷。10次測(cè)量值的平均yUU=200.56V(1.2)測(cè)10即為輸出電壓U的最佳估計(jì)值。3.1.3根據(jù)貝塞爾公式計(jì)算測(cè)量列的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差單次測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差S(U)=：巳20506三0.477&)(1.3)in-19S(U)表征測(cè)量列中測(cè)量數(shù)據(jù)的分散性。假定測(cè)量值服從正態(tài)分布，就可以估計(jì)，大約有68.3%的測(cè)量值處在(20

10、0.56±0.48)V區(qū)間內(nèi)，95%的測(cè)量值處在(200.56±2X0.48)V區(qū)間內(nèi)，99.7%的測(cè)量值處在(200.56±3X0.48)V區(qū)間內(nèi)。殘差絕對(duì)值大于3X0.48V的測(cè)量值不應(yīng)該出現(xiàn)(小概率事件)。如果出現(xiàn)，可判定為粗大誤差。10次測(cè)量的每一個(gè)測(cè)量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差均為0.48V。這10個(gè)測(cè)量值僅是測(cè)量值總體的一個(gè)樣本。由此計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差僅是這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，而不是總體標(biāo)準(zhǔn)差?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差可表示為：1.4)這無法實(shí)際測(cè)得，只是理論上存在，又叫理論標(biāo)準(zhǔn)差。而樣本標(biāo)準(zhǔn)差僅是理論標(biāo)準(zhǔn)差的有偏估計(jì)值。樣本方差S2(U)才是總體理論方差。2(U)的無偏ii估計(jì)值，即最

11、佳估計(jì)值。所以在統(tǒng)計(jì)分析中，多用方差作為數(shù)據(jù)分散性的度量。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的正平方根，在實(shí)際工作中使用更為方便。3.1.4計(jì)算平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差1.5)可以這樣理解s(U)的含義：再進(jìn)行若干組測(cè)量，每組n個(gè)測(cè)量值均可測(cè)求得一個(gè)平均值和相應(yīng)的測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差。若測(cè)量條件不變，各組測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差相互很接近。各組測(cè)量值的平均值不會(huì)完全一樣，它們也構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。由這個(gè)數(shù)列也可用貝塞爾公式計(jì)算它的標(biāo)準(zhǔn)差。由統(tǒng)計(jì)理論可證明，平均值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差等于單個(gè)測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)差的1/n倍，即為(1.5)式。這表明，平均值數(shù)列的分散性比單一測(cè)量列的分散性小，即各平均值比測(cè)量列中的測(cè)量值相互之間更靠近。v=na叫做自由度，它是求和

12、的項(xiàng)數(shù)n，減去對(duì)和的限制數(shù)a。上例中，n=10,限制條件僅有殘差之和為零，即工u.=0，故a=l,因而v=101=9。自由度越大，計(jì)算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差就越接近總體標(biāo)準(zhǔn)差，所得結(jié)果的可信度就越高。3.1.5測(cè)量結(jié)果報(bào)告平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差就是它的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。本例中，這是唯一的不確定度來源。認(rèn)為近似服從正態(tài)分布，測(cè)量結(jié)果可以表示為：1.6)1.7)輸出電壓U=200.56V，u=S(U)=0.15V，測(cè)或者U=200.56V±2Xu=200.56V±0.30V，p=95%0.30V即為擴(kuò)展不確定度。說明：測(cè)量值的分散是輸出電壓的隨機(jī)變化和測(cè)量?jī)x表讀數(shù)隨機(jī)起伏的綜合反映。3.2用發(fā)光

13、強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)燈校準(zhǔn)光照度計(jì)的示值3.2.1校準(zhǔn)方法如圖(2.1)所示，將光強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)燈和照度計(jì)的光度探測(cè)器安置在測(cè)光導(dǎo)軌上，并調(diào)整好它們的狀態(tài)，設(shè)定兩者之間的距離為1。則標(biāo)準(zhǔn)燈在接收面上產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)照度值為E=I/12(2.1)S式中，I為標(biāo)準(zhǔn)燈的發(fā)光強(qiáng)度，1=268.8cd,1=1.600m,故有：E=268.8cd/(1.600m)2=105.0lxS(2.2)由照度計(jì)測(cè)得的照度示值為EtiI一mi»曲計(jì)圖2.1發(fā)光強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)燈校準(zhǔn)光照度計(jì)示意圖3.2.2數(shù)學(xué)模型如上所述，校準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型可以表示為AE二E-E二E-(2.3)tstl2式中，AE為照度計(jì)的示值誤差。3.2.3輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定

14、度評(píng)定1)由AE分別對(duì)E,I和1求偏導(dǎo)數(shù)，即得相應(yīng)的靈敏系數(shù)ta（AE）=16E2.4）a（AE）=i,di123（AE）=21di73由此可得：u1u=|c22u=cu3=|c|u(E)=u(E)2.5)|u(I)=*u(I)>(l)=21u(l)13J(2) E為照度計(jì)10次測(cè)量所得示值E的平均值，即E=E/10。故用A類ttitti方法評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。10次測(cè)量值及相關(guān)計(jì)算列于表示2.1表2.1測(cè)量數(shù)據(jù)一覽表序號(hào)測(cè)量值E/lxti殘差u/lxiU2/lx2i198.930.580.3364299.83+0.320.1024399.360.150.02254100.10+0.59

15、0.3481599.55+0.040.0016699.200.310.0961799.500.010.0001899.480.030.0009999.64+0.130.01691099.54+0.030.0009平均Et99.51工U2=0.9259i將lx=0.32lxs(E)=ti根據(jù)貝塞爾公式，計(jì)算得實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(叮為2.6)則平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(E)為t2.7)s(E)=t2=0.32lx=0.10lxtvn<10因此，A類方法評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為U=s(E)=0.10lx1t(2.8)其自由度為v=n1=9u反映了各種隨機(jī)因素，如標(biāo)準(zhǔn)燈供電的隨機(jī)起伏引起發(fā)光的隨機(jī)起伏，1燈絲

16、本身的分子熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的發(fā)光起伏，空氣繞動(dòng)使接收面上的照度發(fā)生隨機(jī)起伏，可能出現(xiàn)的微小震動(dòng)使接收面和燈絲面在平衡位置附近擺也使接收面上的的照度產(chǎn)生隨機(jī)起伏，以及若干沒有認(rèn)識(shí)到的隨機(jī)因素影響的綜合作用，使得接收面上的照度不是恒定的，因而照度測(cè)量值不重復(fù)。此外，照度計(jì)本身在各種隨機(jī)因素影響下，其響應(yīng)度也不是恒定不變的，也是測(cè)量值不重復(fù)性的原因。上面用統(tǒng)計(jì)方法求得的標(biāo)準(zhǔn)差或標(biāo)準(zhǔn)不確定度正是測(cè)量值不重復(fù)性的一個(gè)評(píng)定，它表征測(cè)量值的分散性。(3) I的不確定度有兩部分，均用B類方法評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度a)檢定證書上給出的光強(qiáng)值的擴(kuò)展不確定度為1.0%,并注明包含因子k=3(近似服從正態(tài)分布)。由此可得光強(qiáng)值

17、的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(/)=0.01=0.33%ri3故2.10)u(I)=268.8cdx0.0033三0.89cdi所求得的u(I)本身的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度估計(jì)為25%,它大致相應(yīng)于正態(tài)1分布9次觀測(cè)值的平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。在確定標(biāo)準(zhǔn)燈光強(qiáng)值時(shí),觀測(cè)次數(shù)一般不少于9次,在沒有更準(zhǔn)確的資料時(shí),就取0.252.11)2.12)=0.35lx2.13)Au(I)T(TTi故相應(yīng)的自由度為Au(I)-2iI的不確定度對(duì)AE的不確定度貢獻(xiàn)為1u(I)0.89cdu='-=2I1l2(1.600m)b)供給標(biāo)準(zhǔn)燈的電流在數(shù)值上與檢定時(shí)供給的電流完全一樣。由于電測(cè)系統(tǒng)的不確定度,在這兩種

18、情況下,供給燈的實(shí)際電流,一般說來不會(huì)完全相同。估計(jì)兩者的最大差異可達(dá)0.03%,即電測(cè)系統(tǒng)的擴(kuò)展不確定度為0.015%,置信水準(zhǔn)為1。兩者的差別從0到0.03%都以等概率出現(xiàn),認(rèn)為服從均勻分布,則電流值的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(i)=0.015%=0.0087%(2.14)r上3由經(jīng)驗(yàn)公式知道2.15)dIdi6Ii故，由于燈電流的不確定度引起光強(qiáng)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(I)6X0.0087%三0.052%r22.16)則u(I)268.8cdX0.00052三0.14cd2因而對(duì)AE的不確定度的貢獻(xiàn)為u2I20.14cd0.14cd(1.600m)2.56m220.055lx2.17)由于電

19、流的置信限是準(zhǔn)確知道的'可以認(rèn)為求得的u212是準(zhǔn)確的故v(I)2如果標(biāo)準(zhǔn)燈工作和檢定時(shí)使用同一電測(cè)系統(tǒng)'則這一項(xiàng)不確定度分量就不予考慮。(4) 測(cè)量距離l的標(biāo)準(zhǔn)不確定度也用B類方法評(píng)定根據(jù)對(duì)導(dǎo)軌長(zhǎng)度標(biāo)尺的校準(zhǔn)和接收面'燈絲平面的調(diào)整資料'可以判定l值可能變動(dòng)的范圍不會(huì)超過±lmm，而且出現(xiàn)在區(qū)間中心的概率比出現(xiàn)在兩端的概率要大得多'可以看作服從三角分布。因而測(cè)量l的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為2.18)2.19)()1mmu(l)0.41mm對(duì)照度計(jì)示值誤差標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)為：u2：268.8fdx0.41x10-3m0.054lx3(1.600m)3同樣，可以認(rèn)為u(l)是準(zhǔn)確的，故5)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度綜上所述'將各不確定度