第12講3力學(xué)量確定與不確定性原理5-6

1、主講：林潔麗主講：林潔麗電子與信息工程學(xué)院光信息工程系電子與信息工程學(xué)院光信息工程系2012年年9月月量子力學(xué)量子力學(xué)第三章第三章 矩陣矩陣力學(xué)力學(xué) 提綱提綱3.1 3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.2 3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.3 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.4 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)（簡(jiǎn)介）連續(xù)譜本征函數(shù)（簡(jiǎn)介）3.5 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值3.6 3.6 不確定性原理不確定性原理第第1212講講 第三章第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)矩陣力學(xué)基礎(chǔ)(I)(I) 力學(xué)量和算符力學(xué)量和算符 3.5 3.5 量子力學(xué)中

2、力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值 3.6 3.6 不確定性原理不確定性原理 小結(jié)小結(jié) 思考思考 作業(yè)作業(yè) 結(jié)束結(jié)束 3.5 3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值力學(xué)量有確定值的條件力學(xué)量有確定值的條件在非本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量的結(jié)果在非本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量的結(jié)果不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件返回返回力學(xué)量有確定值的條件力學(xué)量有確定值的條件確定值的定義：在量子力學(xué)中，在某一狀態(tài)測(cè)確定值的定義：在量子力學(xué)中，在某一狀態(tài)測(cè)量力學(xué)量具有確定值的充要條件：該態(tài)中力量力學(xué)量具有確定值的充要條件：該態(tài)中力學(xué)量的平方平均差為零。學(xué)量的平方平均差為零。02F222F

3、FFFFdr利用厄米算符的性質(zhì)利用厄米算符的性質(zhì)0)()()()(222drFFdrFFFFdrFFF精確測(cè)量要求：精確測(cè)量要求：FF即要求在本征態(tài)測(cè)量，而且測(cè)量值就是平均值。即要求在本征態(tài)測(cè)量，而且測(cè)量值就是平均值。返回返回在非本征態(tài)中的測(cè)量在非本征態(tài)中的測(cè)量利用本征函數(shù)的正交歸一化性質(zhì)：利用本征函數(shù)的正交歸一化性質(zhì)：nnnCmnnmnmdrFCCdrFF,nnnmnmnnnmmnnmnnmFCFCCdrFCC2,所以，在非該算符的本征態(tài)中測(cè)量它所代所以，在非該算符的本征態(tài)中測(cè)量它所代表的力學(xué)量，無(wú)確定值，但是有各種可表的力學(xué)量，無(wú)確定值，但是有各種可能值，結(jié)果測(cè)量得到的是平均值。能值，結(jié)果

4、測(cè)量得到的是平均值。而且，該平均值是由該算符的本征值統(tǒng)計(jì)而且，該平均值是由該算符的本征值統(tǒng)計(jì)平均得到的。平均得到的。就是說(shuō)，測(cè)量的是概率，是該本征值出現(xiàn)就是說(shuō)，測(cè)量的是概率，是該本征值出現(xiàn)的概率，由概率幅的平方表示，得到一的概率，由概率幅的平方表示，得到一個(gè)分布函數(shù)，可以是連續(xù)譜或分立譜。個(gè)分布函數(shù)，可以是連續(xù)譜或分立譜。返回返回不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件考慮兩個(gè)力學(xué)量，如果考慮兩個(gè)力學(xué)量，如果fFgG必須是必須是GF,共同的本征函數(shù)。共同的本征函數(shù)?？梢缘玫剑嚎梢缘玫剑篺gfGFGgfgFGF兩式相減：兩式相減：0)()(gffgGFFG即要求：即要求：0,GF

5、但是不能由此得到逆定理，但是不能由此得到逆定理，說(shuō)有相同本征函數(shù)的兩個(gè)算說(shuō)有相同本征函數(shù)的兩個(gè)算符一定是可對(duì)易的符一定是可對(duì)易的下面研究有多個(gè)共同本征函數(shù)的情況下面研究有多個(gè)共同本征函數(shù)的情況這些共同的本征函數(shù)組成一個(gè)本征函數(shù)系，這些共同的本征函數(shù)組成一個(gè)本征函數(shù)系，表示為：表示為：nn任意函數(shù)任意函數(shù)可由可由n展開(kāi)：展開(kāi)：nnnC在這個(gè)函數(shù)集合中，在這個(gè)函數(shù)集合中，是否對(duì)于每一個(gè)函數(shù)，是否對(duì)于每一個(gè)函數(shù)，力學(xué)量同時(shí)測(cè)量的要求，也是該力學(xué)量同時(shí)測(cè)量的要求，也是該力學(xué)量算符是可以對(duì)易的呢？力學(xué)量算符是可以對(duì)易的呢？力學(xué)量作用于這個(gè)本征函數(shù)時(shí)：力學(xué)量作用于這個(gè)本征函數(shù)時(shí)：0nnnFGGFCFGGF

6、由于波函數(shù)不為零，方程成立的條件仍是由于波函數(shù)不為零，方程成立的條件仍是0,GFFGGF就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)n這個(gè)對(duì)易關(guān)系都這個(gè)對(duì)易關(guān)系都必須滿足。必須滿足。逆定理：逆定理：若線性厄米算符對(duì)易，若線性厄米算符對(duì)易，則它們必有共同的本征函數(shù)，則它們必有共同的本征函數(shù)，并構(gòu)成正交完備系。并構(gòu)成正交完備系。 證明證明 返回返回對(duì)易算符有共同的本征函數(shù)對(duì)易算符有共同的本征函數(shù)證明證明1 1證明證明1 1，非簡(jiǎn)并情況，非簡(jiǎn)并情況nnnFF若若0,GF則則nnnnnnGFGFFGFG表明表明nG也是也是F的本征函數(shù)的本征函數(shù)。對(duì)應(yīng)于本征值為對(duì)應(yīng)于本征值為nF的本征函數(shù)應(yīng)該只有的本征函數(shù)應(yīng)該

7、只有一個(gè)，所以一個(gè)，所以00,GGGnn是常數(shù)。是常數(shù)。重寫(xiě)上面的公式重寫(xiě)上面的公式nnnFFnnnnnnGFGFFGFGnnnnnnFGGFGFGF0實(shí)際上，應(yīng)理解為，在實(shí)際上，應(yīng)理解為，在n狀態(tài)，算符狀態(tài)，算符G有本征值有本征值0G證明證明2 2：簡(jiǎn)并情況，若簡(jiǎn)并度：簡(jiǎn)并情況，若簡(jiǎn)并度f(wàn) ffaFFnanna, 2 , 1,相同的運(yùn)算得到相同的運(yùn)算得到faGFGFnanna, 2 , 1,此時(shí)不能得到此時(shí)不能得到naG與與na只差一個(gè)常數(shù)的結(jié)論。只差一個(gè)常數(shù)的結(jié)論。也只能是也只能是naG不過(guò)不過(guò)na的線性組合的線性組合對(duì)易算符有共同的本征函數(shù)對(duì)易算符有共同的本征函數(shù)證明證明2 2（略）（略

8、）這個(gè)線性組合，一般地表示為：這個(gè)線性組合，一般地表示為：faCnafaan, 2 , 1,1nnGG0選擇選擇aC使得使得式中式中0G為一常數(shù)，于是為一常數(shù)，于是fanaafanaaCGCG101首先首先nnfananafanaaGGCCG11faFFCFnnnafanan, 2 , 1,1fanaafanaanGCCGG11如果如果n對(duì)對(duì)G也是有相同的簡(jiǎn)并，立刻可以也是有相同的簡(jiǎn)并，立刻可以得到得到但是，一般情況對(duì)兩個(gè)不同的力學(xué)量，盡管但是，一般情況對(duì)兩個(gè)不同的力學(xué)量，盡管是本征函數(shù)，它們卻有不同的簡(jiǎn)并度。于是本征函數(shù)，它們卻有不同的簡(jiǎn)并度。于是：是：nnfananafanaaGGCCG1

9、1anfaanfananaafanaaCGGCCG111nG可以由歸一化常數(shù)求出：可以由歸一化常數(shù)求出：構(gòu)成新的本征函數(shù)以后，得到新的完備的本征函構(gòu)成新的本征函數(shù)以后，得到新的完備的本征函數(shù)系。屬數(shù)系。屬aafaannafaanaCGGC110)(1aanfaaaaGGCFG和共有。返回定義定義解決的問(wèn)題解決的問(wèn)題不確定性原理的推導(dǎo)過(guò)程不確定性原理的推導(dǎo)過(guò)程不確定性原理的公式不確定性原理的公式不確定性原理公式得到的幾個(gè)不確定性關(guān)系不確定性原理公式得到的幾個(gè)不確定性關(guān)系不確定性原理的物理意義不確定性原理的物理意義不確定性原理的應(yīng)用不確定性原理的應(yīng)用返回返回3.6 3.6 不確定性原理不確定性原理

10、不確定性原理不確定性原理uncertainty principleuncertainty principle不確定性原理曾稱(chēng)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，表示在一個(gè)不確定性原理曾稱(chēng)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，表示在一個(gè)既非既非 又非又非 的本征態(tài)中測(cè)量的本征態(tài)中測(cè)量 和和 時(shí)時(shí)得到的結(jié)果。得到的結(jié)果。返回返回ABAB不確定性原理的推導(dǎo)不確定性原理的推導(dǎo)設(shè)設(shè)0,BA構(gòu)造一個(gè)積分構(gòu)造一個(gè)積分0)(2drBiAIdrBiABiAI)()(drBBdrABBAidrAA)()()()(2考慮到考慮到BA,是厄米算符是厄米算符drBdrABBAidrAI222)()(drBBdrABBAidrAAI)()()()()(2繼續(xù)運(yùn)算繼續(xù)

11、運(yùn)算0)(222BCAIdrBdrABBAidrAI222)()(式中算符式中算符CiBA,C滿足：滿足：現(xiàn)在，求解二次式現(xiàn)在，求解二次式0)(222BCAI4222CBA不等式成立的條件是不等式成立的條件是4222CBA即即,2122/122BACBA上式對(duì)任意厄米算符成立?，F(xiàn)在考慮算符：上式對(duì)任意厄米算符成立。現(xiàn)在考慮算符：,2122/122BACBABBBAAA,也是厄米算符，代入上式：也是厄米算符，代入上式：,212)()(2/122BACBA作替換作替換,BABA,21)()(2/122BABA,21)()(2/122BABA返回返回不確定性原理的公式不確定性原理的公式,21)()(

12、2/122BABA返回返回常用的不確定關(guān)系式常用的不確定關(guān)系式時(shí)間和能量，令時(shí)間和能量，令tBtiEA,由由ittitE,得到得到4222Et坐標(biāo)和動(dòng)量，令坐標(biāo)和動(dòng)量，令xpBxA,由由 ipxx,得到：得到：4222xpx常用的不確定關(guān)系式常用的不確定關(guān)系式簡(jiǎn)化的表示簡(jiǎn)化的表示,21BABA通式通式坐標(biāo)和動(dòng)量坐標(biāo)和動(dòng)量2xpx能量和時(shí)間能量和時(shí)間2Et其它不確定關(guān)系其它不確定關(guān)系方位角和角動(dòng)量方位角和角動(dòng)量量子數(shù)和相位量子數(shù)和相位2zzL1n返回返回不確定性原理的物理意義不確定性原理的物理意義波粒二象性和波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的直接結(jié)果。波粒二象性和波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的直接結(jié)果。特別應(yīng)值得注意的是，這個(gè)

13、不確定性原理是特別應(yīng)值得注意的是，這個(gè)不確定性原理是微觀系統(tǒng)的性質(zhì)，它的存在是與測(cè)量無(wú)關(guān)微觀系統(tǒng)的性質(zhì)，它的存在是與測(cè)量無(wú)關(guān)的。所以原來(lái)的名稱(chēng)的。所以原來(lái)的名稱(chēng)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系實(shí)在實(shí)在不妥。不妥。不確定性原理表示一個(gè)實(shí)際的物理狀態(tài)是由不確定性原理表示一個(gè)實(shí)際的物理狀態(tài)是由互相制約的物理過(guò)程形成的典型狀態(tài)。互相制約的物理過(guò)程形成的典型狀態(tài)。 返回返回不確定原理的應(yīng)用不確定原理的應(yīng)用（簡(jiǎn)略或自學(xué)）（簡(jiǎn)略或自學(xué)）隧道效應(yīng)衍射和聚焦發(fā)射天線零點(diǎn)能通信帶寬 返回隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)在勢(shì)壘內(nèi)找到粒子的同時(shí)，粒子的動(dòng)量無(wú)法確定，在勢(shì)壘內(nèi)找到粒子的同時(shí)，粒子的動(dòng)量無(wú)法確定，從而粒子的動(dòng)能從而粒子的動(dòng)能T=pT

14、=p2 2/2u/2u有一定的變化范圍。設(shè)勢(shì)有一定的變化范圍。設(shè)勢(shì)壘寬度為壘寬度為a a，坐標(biāo)范圍為，坐標(biāo)范圍為(0(0，a)a)，則粒子在勢(shì)壘內(nèi)，則粒子在勢(shì)壘內(nèi)的坐標(biāo)的不確定范圍為的坐標(biāo)的不確定范圍為x=ax=a，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 xx2 2ppx x2 22 2/4/4 得到粒子的動(dòng)量的不確定程度大小為：得到粒子的動(dòng)量的不確定程度大小為： ppx x2 22 2/(4a/(4a2 2) )， 所以粒子動(dòng)能的不確定范圍為：所以粒子動(dòng)能的不確定范圍為： TTuaupx22282隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 結(jié)論：在量子力學(xué)里，粒子的動(dòng)能結(jié)論：在量子力學(xué)里，粒子的動(dòng)能T(pT(px x) )和

15、勢(shì)能和勢(shì)能V(x)V(x)不能同時(shí)確定。不能同時(shí)確定。 E=T+VE=T+V是沒(méi)有意義的；是沒(méi)有意義的； 有意義的是平均值關(guān)系式：有意義的是平均值關(guān)系式： 無(wú)意義的：在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)粒子的能量等無(wú)意義的：在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)粒子的能量等于動(dòng)能和勢(shì)能之和的；于動(dòng)能和勢(shì)能之和的； 有意義的：在一個(gè)態(tài)中平均總能量等于平均動(dòng)能有意義的：在一個(gè)態(tài)中平均總能量等于平均動(dòng)能和平均勢(shì)能之和（平均意味著對(duì)自變量的整個(gè)區(qū)和平均勢(shì)能之和（平均意味著對(duì)自變量的整個(gè)區(qū)域積分，從而包括了不確定量）。域積分，從而包括了不確定量）。 返回返回VTE實(shí)際事例：衍射和聚焦實(shí)際事例：衍射和聚焦公式為公式為 返回返回2/sind

16、dDdpppx2sinxd22ppxx發(fā)射天線發(fā)射天線天線尺度：天線尺度： 返回返回xRRxpxp2xpx2kRppxpxR4應(yīng)用事例：零點(diǎn)能應(yīng)用事例：零點(diǎn)能能量平均值能量平均值0,0 xpx對(duì)于一維諧振子對(duì)于一維諧振子有有2222xxxx2222xxxxpppp222)(212)(xmmpEx利用不確定性原理將能量方程寫(xiě)為坐標(biāo)函數(shù)利用不確定性原理將能量方程寫(xiě)為坐標(biāo)函數(shù)222)(212)(xmmpEx2222)(21)(18xmxmE求能量最小值時(shí)得求能量最小值時(shí)得mx2)(min2最小能量：最小能量： 返回返回212212822mmmmE通信帶寬通信帶寬由時(shí)間和動(dòng)量不確定原理由時(shí)間和動(dòng)量不確

17、定原理2tE設(shè)代表比特的脈沖寬度：設(shè)代表比特的脈沖寬度：t脈沖能量是：脈沖能量是：E得到得到21是每信道所用帶寬。是每信道所用帶寬。 返回返回小結(jié)小結(jié)( (第三條假設(shè)第三條假設(shè)) ) 公設(shè)三：量子力學(xué)對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的描述方式。公設(shè)三：量子力學(xué)對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的描述方式。微觀體系的力學(xué)量由相應(yīng)的線性厄米算符表示?；⒂^體系的力學(xué)量由相應(yīng)的線性厄米算符表示?；緦?duì)應(yīng)關(guān)系是：本對(duì)應(yīng)關(guān)系是： 完全確定一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)需要一組完全的力學(xué)量集完全確定一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)需要一組完全的力學(xué)量集合，代表它們的算符兩兩對(duì)易；合，代表它們的算符兩兩對(duì)易； 量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，它的量子力學(xué)中表示力

18、學(xué)量的算符都是厄米算符，它的本征函數(shù)本征函數(shù)n n(x)(x)構(gòu)成完備系，當(dāng)體系處于波函數(shù)構(gòu)成完備系，當(dāng)體系處于波函數(shù)(x)=(x)= c cn nn n(x)(x)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量該力學(xué)量所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量該力學(xué)量所得的數(shù)值必是該算符的本征值之一，如是所得的數(shù)值必是該算符的本征值之一，如是n n，并且測(cè)得并且測(cè)得n n的幾率是的幾率是|c|cn n| |2 2。 當(dāng)體系處于當(dāng)體系處于(x)=(x)= c cn nn n(x)(x)時(shí)，力學(xué)量沒(méi)有確定時(shí)，力學(xué)量沒(méi)有確定值，而極有一系列的可能值，每個(gè)可能值又以確定值，而極有一系列的可能值，每個(gè)可能值又以確定的幾率出現(xiàn)，這也是由物質(zhì)的波粒二象

19、性決定的。的幾率出現(xiàn)，這也是由物質(zhì)的波粒二象性決定的。 ），。（iprrxippxxxxx-,小結(jié)小結(jié)( (第四條假設(shè)第四條假設(shè)) )公設(shè)四：量子力學(xué)對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的確定公設(shè)四：量子力學(xué)對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的確定方法。它們之間有確定的對(duì)易關(guān)系（稱(chēng)為量方法。它們之間有確定的對(duì)易關(guān)系（稱(chēng)為量子條件），因此力學(xué)量算符由其相應(yīng)的量子子條件），因此力學(xué)量算符由其相應(yīng)的量子條件確定。條件確定。由量子條件確定一個(gè)力學(xué)量，應(yīng)當(dāng)可以給出這由量子條件確定一個(gè)力學(xué)量，應(yīng)當(dāng)可以給出這個(gè)力學(xué)量的所有可能取值，即這個(gè)力學(xué)量算個(gè)力學(xué)量的所有可能取值，即這個(gè)力學(xué)量算符的本征值譜（當(dāng)然也最終可以給出這個(gè)力符的本征值譜（當(dāng)然也

20、最終可以給出這個(gè)力學(xué)量算符以某個(gè)力學(xué)量的本征值為自變量的學(xué)量算符以某個(gè)力學(xué)量的本征值為自變量的具體表達(dá)式，至少在自身表象）。這就是量具體表達(dá)式，至少在自身表象）。這就是量子力學(xué)的第四條假設(shè)。子力學(xué)的第四條假設(shè)。 小結(jié)小結(jié)( (第四條假設(shè)第四條假設(shè)) ) 常用對(duì)易關(guān)系：粒子的坐標(biāo)各算符和動(dòng)量各算符之間的對(duì)常用對(duì)易關(guān)系：粒子的坐標(biāo)各算符和動(dòng)量各算符之間的對(duì)易關(guān)系稱(chēng)為基本量子條件。易關(guān)系稱(chēng)為基本量子條件。 同時(shí)確定兩力學(xué)量的條件同時(shí)確定兩力學(xué)量的條件 任意波函數(shù)都有任意波函數(shù)都有 , ,=0=0這兩算符對(duì)易。這兩算符對(duì)易。 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 具體描述具體描述 返回返回,21)()(2/122BABA4222xpx4222Etzyx321jii0,0,ijii、或、，jjjipxppxx思考思考1 1 什么是不確定性原理？常用的不確定關(guān)系式有哪幾個(gè)？有什么是不確定性原理？常用