二次函數(shù)鉛垂高演練答案、解析、總結(jié)

1、二次函數(shù)鉛垂高如圖12-1,過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度1.叫4ABC的“鉛垂局(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：Sabc-ah,2即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半解答下列問題：如圖12-2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA,PB,當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂高CD及SCAB；(3)是否存在一點P,使字PAB=-SACAB,說明理由

2、.8例1解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y1a(x1)241分把A(3,0)代入解析式求得a1所以y1(x1)24x22x33分設(shè)直線AB的解析式為：y2kxb由y1x22x3求得B點的坐標為(0,3)4分把A(3,0),B(0,3)代入y2kxb中解得：k1,b3所以、2x36分(2)因為C點坐標為(1,4)所以當x=l時，y=4,y2=2所以CD=4-2=28分C1Scab-323(平萬單位)10分2(3)假設(shè)存在符合條件的點P,設(shè)P點的橫坐標為x,4PAB的鉛垂高為h,則hy1y2(x22x3)(x3)x3x12分由SPAB=SACAB8一1c9得：3(x23x)328化簡彳導:4x212

3、x903解得，x3232將x-代入y1x2x3中,14分一315解得P點坐標為(萬，)總結(jié):求不規(guī)則三角形面積時不妨利用鉛垂高。鉛垂高的表示方法是解決問題的關(guān)鍵，要學會用坐標表示線段。例2(2010廣東省中考擬)如圖10,在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B1點的坐標為(3,0),OB=OC,tan/ACG-.3(1)求這個二次函數(shù)的表達式.(2)經(jīng)過CD兩點的直線，與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點ACE、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由

4、.(3)若平行于x軸的直線與該拋物線交于MN兩點，且以MN/直徑白圓與x軸相切，求該圓半徑的長度.(4)如圖11,若點G(2,y)是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最1)方法一：由已知得：C(0,3),A(1,0)abc09a3bc0將AB、C三點的坐標代入得C3a1b2解得：C32所以這個二次函數(shù)的表達式為：yx2x3方法二：由已知得：C(0,3),A(1,0)設(shè)該表達式為：ya(x1)(x3)將C點的坐標代入得：a12所以這個二次函數(shù)的表達式為：yx2x3(注：表達式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不

5、扣分)(2)方法一：存在，F(xiàn)點的坐標為(2,3)理由：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：yx3，E點的坐標為(一3,0)由A、C、E、F四點的坐標得：AE=CF=2,AE/CF 以AGE、F為頂點的四邊形為平行四邊形，存在點F,坐標為(2,3)方法二：易得D(1,4),所以直線CD的解析式為：yx3 .E點的坐標為(一3,0) 以AGE、F為頂點的四邊形為平行四邊形 .F點的坐標為(2,3)或(一2,3)或(4,3)代入拋物線的表達式檢驗，只有(2,3)符合，存在點F,坐標為(2,3)(3)如圖，當直線MNx軸上方時，設(shè)圓的半徑為+1y1.17R代入拋物線的表達式，解得2當直線MN在x

6、軸下方時，設(shè)圓的半徑為r(r>0),代入拋物線的表達式，解得1.172.17R(R>0),則A圓的半徑為2或2(4)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,易得G(2,3),直線AG為y2設(shè)P(x,x2x3),貝Uq(x,-x-1),PQQQQ12SAPGSAPQSGPQ一(x2x2)31x當2時，APG的面積最大115此時p點的坐標為2,丁，Sapg的最大值為278A、B的坐標分別為(-4,0)和隨堂練習1.(2010江蘇無錫)如圖，矩形ABCD勺頂點(2,0),BC=2內(nèi).設(shè)直線AC與直線x=4交于點E.(1)求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物

7、線一定過點E;(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為N,M是該拋物線上位于CN之間的一動點，求CMN!積的最大值.【答案】解：(1)點C的坐標2內(nèi).設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為2ya(x4)m16am則4am'.3一，m68.33，所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.32(x4)64k設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxbw2ky直線AC的函數(shù)關(guān)系式為343-x33，點E的坐標為“8,、3、(4丁3”，、28、38.3y(44)把x=4代入式，得633.此拋物線過E點.(2)(1)中拋物線與x軸的另一個交點為N(8,0),設(shè)M(x,y),過M作MGLx軸于G,貝USACMN=SMNG+螂形MGBCS4

8、1(8CBN=21x)gy-(y22、.3)(x2)1(823y3x8.33(Gx)、3x8.3x25、,3x8,332史(x25)29.329、3當x=5時，SACMNt最大值2課下練習1.(本題滿分12分)已知：如圖一次函數(shù)y="2x+1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B;二次函數(shù)y=1x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=2x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為(1,(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;在x軸上是否存在點P,使得PBC是以所有的點P,若不存在，請說明理由.0)P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出3.(2010山東臨沂)

9、如圖，二次函數(shù)2yxax1b的圖象與x軸交于(3,8(2。兩(1)求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀;(2)在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標;(3)在此拋物線上是否存在點P,使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形?【答案】解：根據(jù)題意，將A(2,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,1-a22a解這個方程，得0,0.32,1.全品中考網(wǎng)所以拋物線的解析式為3y=-x2+2x+1.當x=0時，y=1.所以點C的坐標為(0,1)。所以在AOC中，AC=VOA0c之=2在BOC中，BC=OB20c2=娓1AB=O

10、A+OB=2因為AC2+BC2=c25522AB所以ABC是直角三角形。3(2)點D的坐標是I(3)存在。由(1)知，AC±BC,若以直線BC為底邊，則BC/AP,如圖(1)所示，可求得BC的解析式為1x12直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線y1xbAP的解析式為21111y_x-將A（2,0）代入直線AP的解析式求得b=4,所以直線ap的解析式為24.311x-因為點P既在拋物線上，又在直線AP上，所以點P的縱坐標相等，即-x2+2x+1=24.5xx2解得212（不合題意，舍去）圖2的圖象與y軸交于點A,與x軸53當x=2時，y=2.53所以點P的坐標為（2,2）

11、.若以AC為底邊，則BP/AC,如圖（2）所示，可求得直線AC的解析式為y2x1直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線bp的解析式為y2xb,將B（2,0）代入直線BP的解析式求得b=-4，所以直線BP的解析式為y=2x-4.因為點P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點P的縱坐標相等，即-x2+2x+1=2x-4X二，x22解得2（不合題意，舍去）5當x=-2時，y=-9.5所以點P的坐標為（-2,-9）.5綜上所述，滿足題目的點P的坐標為（2,3x42（本題10分）如圖，已知二次函數(shù)y=42交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D,連接AC.點A的坐標為，點C的坐標為(2)線段AC

12、上是否存在點巳使得4EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接則S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有2個？PA、PC,若所得APAC的面積為S,(2)易得.解：(1)A(0,4),C(D(3,0),則b4,8kb0.k解得b1,24.分當DE=DC時,OA=4,OD=3.DA=5,日(0,當ED=EC時,可得e2(U,5)24當CD=CE時,如圖，過點E作EGXCD,則CEGCAO,.史OA即EG遍,CG2V5，CGOCE3(8綜上，符合條件的點E有三個：匕AC2代，娟),(0,4),e2(1125分5、，、Z)'E3(8275，45)(3)如圖，過P作PHLOC,垂足為H,交直線