一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

1、第三章電路的暫態(tài)分析 第一章第一章 討論討論電路的基本概念和電路的基本概念和基本定律基本定律 。 如：電路模型、電壓和電流的參考方向、基爾霍夫定律、 電源的工作狀態(tài)及電路中電位的計(jì)算等。這些內(nèi)容是分析與 計(jì)算電路的基礎(chǔ)。 第二章第二章 介紹介紹幾種常用的電路幾種常用的電路分析方法。分析方法。 有：支路電流法、節(jié)點(diǎn)電位法、實(shí)際電源模型的等效變換、疊加原理、和戴維寧定理。 第三章第三章 討論直流一階電路討論直流一階電路的暫態(tài)的暫態(tài)分析。分析。 介紹：用“三要素法”分析暫態(tài)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)：穩(wěn)態(tài)：是指電路是指電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、電流電流恒定恒定 或周期性變化

2、或周期性變化。換路：換路：指指電路電路接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化發(fā)生變化。 先討論暫態(tài)過(guò)程先討論暫態(tài)過(guò)程產(chǎn)生產(chǎn)生的原因的原因-動(dòng)態(tài)元件、換路定律動(dòng)態(tài)元件、換路定律。 后后討論暫態(tài)過(guò)程中電壓、電流討論暫態(tài)過(guò)程中電壓、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律隨時(shí)間變化的規(guī)律。暫態(tài)：暫態(tài)：電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過(guò)的過(guò)渡經(jīng)過(guò)的過(guò)渡 狀態(tài)狀態(tài)。動(dòng)態(tài)元件動(dòng)態(tài)元件:是指在電容元件和電感元件的電壓和電流約束關(guān)系是指在電容元件和電感元件的電壓和電流約束關(guān)系 是通過(guò)導(dǎo)數(shù)或積分來(lái)表達(dá)的。是通過(guò)導(dǎo)數(shù)或積分來(lái)表達(dá)的。 換路發(fā)生換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間很長(zhǎng)時(shí)間后重

3、新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。 含有儲(chǔ)能元件的電路，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量不能躍變，即：換路瞬間換路瞬間：設(shè)為設(shè)為 t t=0=0。換路前終了瞬間換路前終了瞬間：以：以 t=0t=0表示。表示。換路后初始瞬間換路后初始瞬間：以：以 t=0+t=0+表示。表示。換換路定則路定則：電感元件的儲(chǔ)能電感元件的儲(chǔ)能不能躍變不能躍變221LLLiW電容元件的儲(chǔ)能電容元件的儲(chǔ)能不能躍變不能躍變221CCCuW 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 在直流電路換路瞬間，電容電壓保持不變，電感電流保持不變。獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值 第一章第一章 電路及其分析方法電路及其分析方法【例例3.13.1】設(shè)：開(kāi)關(guān)設(shè)：開(kāi)關(guān)S S閉合前閉合前L

4、L元件和元件和C C元件均未儲(chǔ)能。元件均未儲(chǔ)能。 試試：確定確定S S閉合后閉合后電路中各電流與電壓的初始值。電路中各電流與電壓的初始值。解解：由由t t=0-=0-的電路得：的電路得：4 R3+U6Vt =02 SR1R24 uCC+iCiL t=0-iLuLuC(0+)=0iL (0+) =0uC(0-)=0iL(0-) =0電容元件短路。電容元件短路。電感元件開(kāi)路電感元件開(kāi)路由換路定則得：由換路定則得：則：則：畫出畫出t=0t=0+ +時(shí)時(shí)的等效電路的等效電路獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值第一章第一章 電路及其分析方法電路及其分析方法2(0)(0)414LCuR iVV由由t=0t=0+ +的等效

5、電阻電路的等效電阻電路126(0)(0)124cUiiAARR+UR1i+uLiLR2 R3uC+iC (0+) t=0+求出各獨(dú)立初始值求出各獨(dú)立初始值2 4 6V(0+)(0+)(0+)(0+)1. 1. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2. 2. 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)3. 3. 全響應(yīng)全響應(yīng) 換路前動(dòng)態(tài)元件未儲(chǔ)存能量 ，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ， 換路時(shí)，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。 換路前動(dòng)態(tài)元件已儲(chǔ)存能量，換路時(shí)，無(wú)電源激勵(lì)，輸 入信號(hào)為零 。由初始儲(chǔ)能引起的的電路響應(yīng)。 指電源激勵(lì)和動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能引起的均不為零時(shí)的電路響應(yīng)。 即：是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)即：是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸

6、入響應(yīng)兩者的疊加。Rt=0 +U12 +uR +uLiL 電感電感初始儲(chǔ)能初始儲(chǔ)能為零為零，電路響應(yīng)僅由電路響應(yīng)僅由外加外加電源引起電源引起，為，為RLRL電電路的路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。S若若S S在在2 2位置時(shí)，在位置時(shí)，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到1 1的位置。的位置。 電路中電路中外加激勵(lì)為零外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能初始儲(chǔ)能引起引起的，故為的，故為RLRL電路的電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)。若若S S在在1 1位置時(shí)，在位置時(shí)，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到2 2的位置。的位置。CCCutuRCuRiU ddUSC

7、Rt=0 +12 +uR +uCit t 0 0時(shí)電路的微分方程為時(shí)電路的微分方程為： 設(shè)設(shè): :S S在在2 2位置時(shí)位置時(shí)C C已放電完畢，在已放電完畢，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到1 1的位置。的位置。RC電路零狀態(tài)響應(yīng)電路零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)根據(jù)KVLKVL通解=特解特解+補(bǔ)補(bǔ)函數(shù)函數(shù)Cu Cu 特解取換路后的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值，即，即UuuCC )(補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程0dd CCutuRc形式為：ptCuAe 的通解SCRt=0 +U12 +uR +uCi(1)ttcuUUeUeuC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)-S S推導(dǎo)整理得：tuCU0u0.632U

8、 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線物理意義物理意義: :當(dāng)當(dāng)t =t =時(shí)時(shí)UeUuc632. 0)1 (1是電壓是電壓uc增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值U的的63.2所需的所需的時(shí)間時(shí)間。R Rt t=0=0 + +U U1 12 2 + +u uR R + +u uL Li iL L根據(jù)KVLKVLt t 0 0時(shí)時(shí)電路微分方程為電路微分方程為: : S StiLRiUdd 推導(dǎo)整理得：通解=特解特解 +補(bǔ)補(bǔ)函數(shù)函數(shù)uC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：)e1(i-LtRU時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)-S SRL 此時(shí)此時(shí)，通過(guò)電感的電流，通過(guò)電感的電流i iL L由由初始值初始值I I0 0向穩(wěn)態(tài)值向穩(wěn)態(tài)值

9、零衰減，零衰減，其其隨隨時(shí)間變化時(shí)間變化表達(dá)式為：表達(dá)式為：Rt=0 +U2 +uR +uLiLS1)e1(i-LtRU tIi-0e iL零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：ti0i零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線UR小結(jié)小結(jié)2 2）達(dá)穩(wěn)態(tài)值的快慢取決于時(shí)間常數(shù)）達(dá)穩(wěn)態(tài)值的快慢取決于時(shí)間常數(shù) 。（。（ = =RC RC 或或 = =GLGL）3 3）當(dāng)直流動(dòng)態(tài)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，當(dāng)直流動(dòng)態(tài)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路電容相當(dāng)于開(kāi)路, ,電感相電感相當(dāng)于短路當(dāng)于短路。其等效電路為電阻性電路。 4 4）零狀態(tài)線性：當(dāng)零狀態(tài)線性：當(dāng)輸入增大輸入增大 倍，倍，其其零狀態(tài)響應(yīng)也增大零狀態(tài)響應(yīng)也增大

10、倍倍。 1 1）直流一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，所有支路電壓、電流均）直流一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，所有支路電壓、電流均從初始值開(kāi)始按相同的指數(shù)規(guī)律變化，最后達(dá)穩(wěn)態(tài)值從初始值開(kāi)始按相同的指數(shù)規(guī)律變化，最后達(dá)穩(wěn)態(tài)值。 teyty )0()(代代入上式得入上式得0dd CCutuRCtuCCCdd RuR 換路前電路已處換路前電路已處于于穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) UuC )0(t t =0=0時(shí)開(kāi)關(guān)時(shí)開(kāi)關(guān), 電容電容C C 經(jīng)電阻經(jīng)電阻R R 放電放電1S一階線性常系數(shù)一階線性常系數(shù) 齊次微分方程齊次微分方程列列 KVLKVL方程：方程：0 CRuuUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+c 0 )0( e

11、tCutRCtUuC e推導(dǎo)整理得：uC零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線0uUt時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =RC當(dāng)當(dāng)t t = = 時(shí)，時(shí)，u uC C = = 36.8%36.8% U U =0.368U i零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線0iI0t0.368I0 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)，時(shí)，i iL L= =36.836.8% %I I0 0 。 電路中 u uR R和u uL L可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流關(guān)系確定。0 )0( etiiLLt同理可推導(dǎo)：tii0i時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)，時(shí)，u uC C= =63.2%63.2%U U。0.632U/

12、R 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線0iI0t0.368I0 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)時(shí)，u uC C= =36.836.8% %U U0 0 。)e1( tRUi tIi e0UR 電路中 u uR R和u uL L可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流伏安特性關(guān)系確定。當(dāng)當(dāng)0Cu t0Cu) 53(t Cu0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e小結(jié)：小結(jié)：4. 4. 一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響

13、應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。1. 1. 一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響 應(yīng)應(yīng) , , 都是由初始值衰減為零的都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)。2. 2. 衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù) RCRC電路電路 = = RCRC , , RLRL電路電路 = = L L/ /R R3. 3. 同一電路中同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。 teyty )0()(u uC C全全響應(yīng)響應(yīng): : 電源激勵(lì)和儲(chǔ)能元件的初始能量均不為零時(shí)，電路中的響應(yīng)。)0()e1(e 0tUUuRCt

14、RCtCR1 U1C +1+uC U2 +2t=0S) 0()e1(e 0 tUUuRCtRCtC) 0( )e( 0 tUUURCt穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)分量暫態(tài)分量全響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值初始值初始值 tffftf e)()0()()(狀態(tài)變量狀態(tài)變量的的三要素三要素u uC C( (0 + +) )u uC C( ( ) ) = =RCRCi iL L( (0 + +) )i iL L( ( ) ) = =GLGL設(shè)：動(dòng)態(tài)電路中任一支路電壓(或電流)為f (t) 則：f f (0+ +) 待求響應(yīng)的待求響應(yīng)的初始值初始值 f f ( ) 待求響應(yīng)的待

15、求響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 待求響應(yīng)的待求響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)任意變量f (t )的三要素可以證明：f (t )f (t )完全由此完全由此三要素決定。三要素決定。即：含源含源電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)元元件件R0SUC( )Cu tR0SIL()Li t tffftf e)()0()()()(tf tffftf e)()0()()(對(duì)于任何形式的直流一階電路，對(duì)于任何形式的直流一階電路，【三要素法】穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值初始值初始值時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 f f(0(0+ +) )、f f( ( ) )和和 )(tf)(f)0 (f)0()0()( 6320 fff.即即求解求解直流電阻直流電阻性電路

16、中的電壓和性電路中的電壓和電流電流。 【i i c c( ( )=0)=0、 u u L L( ( )=0)=0】V555510)( Cu6666)( LimA3 (1)(1)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 的計(jì)算的計(jì)算)( f例：例：uC+-t=0C10V 1 FS5k +-Lit =03 6 6 6mAS 畫換路后畫換路后t=t= 的等效電路的等效電路（電容（電容C C 視為開(kāi)路視為開(kāi)路, ,電感電感L L視為短路）視為短路）。 在在t=t= 的等效電路中，利用兩類約束求各穩(wěn)態(tài)值的等效電路中，利用兩類約束求各穩(wěn)態(tài)值。 1) 由由t t=0=0- -等效電路等效電路求求)0()0( LCiu、2) 2) 根據(jù)

17、換路定則根據(jù)換路定則求出求出獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值)0()0()0()0( LLCCiiuu3) 3) 畫畫t t=0=0+ +時(shí)時(shí)等效電阻電路，求等效電阻電路，求所所需需非獨(dú)立初始非獨(dú)立初始值值量量)0( i)0( u或或電容元件視為短路。;0U 其值等于，若 0)0( Cu(1) 若， 0)0(0 UuC電容元件用恒壓源代替， 0 )0 (0 IiL0)0( Li若若其值等于其值等于I0 , , 電感元件視為開(kāi)路。(2) 若若 , 電感元件用恒流源代替 ， 注意：注意：)0( f(2) (2) 初始值初始值 的計(jì)算的計(jì)算 CR0 0RL 注意：注意：R03210)/(RRRR U0+-CR0

18、CR0 R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S 例例 在下圖中，已知在下圖中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ，C C= = 3 3 F F ，t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t t 0 0 時(shí)時(shí)的的 u uC C( (t t),),并并畫出變化曲線畫出變化曲線。 u uC C(0(0+ +) )、u uC C( ( ) )和和 R2R1 U1C +1+uC U2 +則：則：電容相當(dāng)于電容相當(dāng)于開(kāi)路。開(kāi)路。2t=0SV2)0()0(2112 RRURuuCCV4)(21

19、22 RRURuC 解解 先確定先確定三要素三要素因：因：t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)當(dāng)t t0 0電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，R2 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1V2)0()0( CCuuV4)( CusCRRm2332)/(21 tCCCCuuuu-e)()0()( V)0( ttCu500-e24 例例 在下圖中，已知在下圖中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ，C C= = 3 3 F F ，t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t t 0 0 時(shí)時(shí)的的 u uC C( (t t),),并并畫出變化曲線畫出變化曲線。 解解 先確定先確定三要素三要素210/RRR 解解 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1R2t (S)uC (V)402u uC C( (t t) )變化變化曲線曲線 VtCu500-e24 sm2 V2)0( CuVuC4)( 例例 在下圖中，已知在下圖中，已知U U1 1=3V