理論力學(xué)(機(jī)械工業(yè)出版社)第十一章動(dòng)量矩定理習(xí)題解答

1、習(xí)題11-1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面Oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：x=acos哄y=bsin2®t。其中a、b和w均為常量。試求質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的動(dòng)量矩。v=x=-a®sinv=y=2b®cos2®txyL=-mvy+mvxOxy=m(a®sin®txbsin2®t+2b®cos2®txacos®t)=mab®(sin®txsin2®t+2cos2®txcos®t)=mab®(sin®tx2sin®tcos®t+

2、2cos2®txcos®t)=2mab®cos®t(sin2®t+cos2®t)=2mab®cos3®t11-2C、D兩球質(zhì)量均為m,用長(zhǎng)為2l的桿連接，并將其中點(diǎn)固定在軸AB上，桿CD與軸AB的交角為0，如圖11-25所示。如軸AB以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，試求下列兩種情況下，系統(tǒng)對(duì)AB軸的動(dòng)量矩。（1）桿重忽略不計(jì)；（2）桿為均質(zhì)桿，質(zhì)量為2m。圖11-25(1)(2)L=2m®l2sin20zJ=8ml2sin20z3J=2mx(lsin0)2=2ml2sin20zm2=2f1一(xsin0)2dx=ml2s

3、in20013L=8m®12sin20z311-3試求圖11-26所示各均質(zhì)物體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。各物體質(zhì)量均為m。圖11-26(a)L=ml2®O3(b)J=1ml2+m()2=ml2L=ml2®O=1269O9(c)J=1m1mXX12+XX12='ml2L=5ml2®O=1223224O24(d)J13=mR2+mR2=mR2L=3mR2®O22O211-4如圖11-27所示，均質(zhì)三角形薄板的質(zhì)量為m,高為h,試求對(duì)底邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。x圖11-27面密度為在y處Pa2mbhyhdm=PadA=魯X叮dy=魯X詁Xdy=詈ydy-5

4、-微小區(qū)域?qū)τ趜軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2m'Jz二('-y)2dm二厲"('-")2'"z：詈y(h-y)2dy=詈p(h2y-2hy2+y3)dy=2mh2(1-1+4mh211-5三根相同的均質(zhì)桿，用光滑鉸鏈聯(lián)接，如圖11-28所示。試求其對(duì)與ABC所在平面垂直的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖11-2812ml2+X3丄ml2+m(1x空1232111l)2x3=(1)ml2x3=ml21212211-6如圖11-29所示，物體以角速度w繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求物體對(duì)于0軸的動(dòng)量矩。(1)半徑為R,質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤(pán)，在中央挖去一邊長(zhǎng)為R的正方形，如圖11

5、-32a所示。(2)邊長(zhǎng)為4a,質(zhì)量為m的正方形鋼板，在中央挖去一半徑為a的圓，如圖11-32b所示。圖11-29(1)J=mR2mR2C261T1D1m3n1J=mR2xR2=mR2C26n6ntm(n1)mm=m=mR2nn=J+m'R2=CLO(2)1m(4a)261ma221na216a2m=m162563n_96_ma2+m'x(2/2a)2=2563n16noma2+mx8a296162563n+96x848n門(mén)mR296102451n96mR2=J®=O51n102496mR2081n=ma2xma23216,n16nm=mm=m161611-7如圖11

6、-30所示，質(zhì)量為m的偏心輪在水平面上作平面運(yùn)動(dòng)。輪子軸心為A，質(zhì)心為C，AC=e；輪子半徑為R,對(duì)軸心A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；C、A、B三點(diǎn)在同一直線上。試求下列兩A種情況下輪子的動(dòng)量和對(duì)地面上B點(diǎn)的動(dòng)量矩：(1)當(dāng)輪子只滾不滑時(shí)，已知v；(2)當(dāng)輪子又A滾又滑時(shí)，已知v、w。A圖11-30L=mv(R+e)J0=mv(R+e)(J+me2)0BCCcA(1)&=v=(R+e)wvvvL=m(R+e)2a(Jme2)a=Jme2+m(R+e)2aBRARAR(2)v=v+eoCAL=m(v+eo)(R+e)JoBAC=m(R+e)vme(R+e)o(Jme2)oAA=m(R+e)v+(J+

7、meR)oAA11-8曲柄以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿AB帶動(dòng)滑塊A與B分別在鉛垂和水平滑道中運(yùn)動(dòng)，如圖11-31所示。已知OC=AC=BC=I,曲柄質(zhì)量為m,連桿質(zhì)量為2m,試求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。（順時(shí)針）圖11-31o=oABL=L+LOOCABL=ml20OC3124L=2mvl+(2m)(2l)2(0)=2ml20ml20=ml20ABC12AB33L='ml20OC311-9如圖11-32所示的小球A，質(zhì)量為m,連接在長(zhǎng)為I的無(wú)重桿AB上，放在盛有液體的容器中。桿以初角速度w繞OO軸轉(zhuǎn)動(dòng),小球受到與速度反向的液體阻力F=kmw,k為比例常012數(shù)。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少

8、時(shí)間角速度w成為初角速度的一半？圖11-32L=ml20M=kml0zzdLr=Mdtz卜d7kdt001kIn=一tl0l、t二kln2t=Inok11-10水平圓盤(pán)可繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓盤(pán)上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M作圓周運(yùn)動(dòng)，已知其速度大小v二常量，圓的半徑為r,圓心到z軸的距離為I,M點(diǎn)在圓盤(pán)上的位置由f角確定，如圖011-33所示。如圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，并且當(dāng)點(diǎn)M離z軸最遠(yuǎn)(在點(diǎn)M)時(shí)，圓盤(pán)的角速度為零。0軸的摩擦和空氣阻力略去不計(jì)，試求圓盤(pán)的角速度與f角的關(guān)系。圖11-33工M=0L=常量zzL=mv(l+r)L=Jco+m(l2+r2+2lrcosQ)co+mvr+mvlcosQz00zz

9、00Jco+m(l2+r2+2lrcosp)co+mvr+mvlcosp=mv(l+r)z000ml(1-cosp)vco=0J+m(l2+r2+2lrcosp)z11-11兩個(gè)質(zhì)量分別為m、m的重物M、M分別系在繩子的兩端，如圖11-34所示。兩繩1212分別繞在半徑為r、r并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設(shè)兩鼓輪對(duì)0軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，試求鼓輪12O的角加速度。L=Jo+mvr+mvrzO111222圖11-34v=rv=r1122工M=mgrmgrz1122dL(J+mr2+mr2)a二mgrmgrO11221122mgrmgra=1_122J+mr2+mr2O112211-12如圖11-35所示

10、，為求半徑R=0.5m的飛輪A對(duì)于通過(guò)其重心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩的末端系一質(zhì)量為m=8kg的重錘，重錘自高度h=2m處落下，測(cè)得落下時(shí)1間t=16s。為消去軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為m=4kg的重錘作第二次試驗(yàn)，此重錘自同一12高度落下的時(shí)間t=25s。假定摩擦力矩為一常數(shù)，且與重錘的重量無(wú)關(guān)，試求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2和軸承的摩擦力矩。J+mR2R)v圖11-35v=(J®+mvR)=(J+mvR)=(R工M=MmgRzfdLzdt=ZMzJ+mR2R)a=mgRM-11-(J+mR2)a=(mgRM)Rf(J+mR2)2h=(mgRM)Rt2fJ+mR2=第一次試驗(yàn)(mg

11、RM)Rt2f2h(8xgx0.5M)x0.5xI62J+8x0.52=以2x2J+2=32(4gMf)第二次試驗(yàn)J+4x0.52(4xgx0.5M)x0.5x252f2x2J+1=78.125(2g-M)(2)(1)-(2)f1=-28.25g+46.125MfM=6.0238Nm由(1)得J二32(4g-Mf)-2二1059.6kg-m211-13通風(fēng)機(jī)風(fēng)扇的葉輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,以初角速度w0繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，見(jiàn)圖11-36。設(shè)空氣阻力矩與角速度成正比，方向相反，即M=kw,k為比例系數(shù)，試求在阻力作用下，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間角速度減少一半？在此時(shí)間間隔內(nèi)葉輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？圖11-36剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分

12、方程空=工M二-kdt仔空J(rèn)-kdtro00J1klnt2Jt-kln211-14兩均質(zhì)細(xì)桿OC和AB的質(zhì)量分別為50kg和100kg，在C點(diǎn)互相垂直焊接起來(lái)。若在圖11-37所示位置由靜止釋放，試求釋放瞬時(shí)鉸支座0的約束力。鉸O處的摩擦忽略不計(jì)。圖11-37J(-«)工M(Fe)-mgx0.5-mgx1-(25g+100g)-125gOz121150100Jx50x12+x100x22+100x12+100150O31233125g-5g6g150質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理mama+maCy1C1y2C2yma0Cxma工FeCxx0FOxmx0.5amxa二一(25+100)a二一125a12

13、F=0Oxma工FeCyy125aFWWOy12125xgFmgmg6Oy125275F150g125x三gg449NOy6611-15質(zhì)量為100kg、半徑為1m的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速n=120r/min繞0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖11-38所示。設(shè)有一常力F作用于閘桿，輪經(jīng)10s后停止轉(zhuǎn)動(dòng)。已知摩擦因數(shù)卩=0.1，試求力F的大小。圖11-3801.5F3.5F0NF二3F7N圓輪JaO二FRdFdJaORF*FdNF-3F-3J7NO7pRt3xmR22nnx7pRt30140比nmRn船需0269.28N11-16如圖11-39所示的帶傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪半徑為R、質(zhì)量為m，從動(dòng)輪半徑為11R、質(zhì)量為m

14、，兩輪以帶相連接，分別繞0和0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在主動(dòng)輪上作用有力偶矩為M的主動(dòng)2212力偶，從動(dòng)輪上的阻力偶矩為M,。帶輪可視為均質(zhì)圓盤(pán)，帶質(zhì)量不計(jì)，帶與帶輪間無(wú)滑動(dòng)。試求主動(dòng)輪的角加速度。圖11-39主動(dòng)輪J(-a)=(F-F)R-MO11T2T11從動(dòng)輪J(-a)二(F-F)R+M'O2T1T22即2(1)(2)1mR2a=M一(F一F)R2111T2T111mR2a二(F-F)R-M'2222T2T12aR1=2-aR21式XR+(2)XR2111mR2Ra+mR2Ra=MR一MR21121222122111mR2Ra+mR2Ra=MR一MR2112122121211(m+m)R

15、2Ra=MR一MR212121212(MR-MR)a=211(m+m)R2R121211-17如圖11-40所示，電絞車(chē)提升一質(zhì)量為m的物體，在其主動(dòng)軸上作用有一矩為M的主動(dòng)力偶。已知主動(dòng)軸和從動(dòng)軸連同安裝在這兩軸上的齒輪以及其它附屬零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J和J；傳動(dòng)比z:z=i；吊索纏繞在鼓輪上，鼓輪半徑為R。設(shè)軸承的摩擦和吊索的質(zhì)1221量均略去不計(jì)，試求重物的加速度。圖11-40主動(dòng)軸J(-a)二FRM11t1Jia=MFR12t1J/a二M-FRRt1J+mR2、=f)V從動(dòng)軸連重物vL=Jw+mvR=J+mvR222RO2R工M二FRmgRO2t2%=SMdtO2J+mR22a=FR一

16、mgRRt2凸式(1)XR+(2)XR21JiiRa+J2+mR2Ra=MRmgRRR2Ri261上式除以R1Ji2+J+mR2i2a=MimgR"Z"(2)2R(MimgR)Ra=mR2+Ji2+J12-13-11-18半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤(pán)，沿傾角為0的斜面作純滾，如圖11-41所示。不計(jì)滾動(dòng)阻礙，試求：(1)圓輪質(zhì)心的加速度；(2)圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。圖11-41(1)圓盤(pán)的平面運(yùn)動(dòng)微分方程ma=工FeCxxma=EFeCyyJa=EM(Fe)CCma=mgsin0FC0=Fmgcos0NJa=FrC(1)(2)(3)(4)由式、得F=2mac代

17、入式(1)a=2gsin0C3由式(2)(2)FN=mgcos01F=一mgsin0<F=pmgcos03sNs1u工一tan0s3卩=1tan0smin311-19均質(zhì)圓柱體A的質(zhì)量為m,在外圓上繞以細(xì)繩，繩的一端B固定不動(dòng)，如圖11-42所示。圓柱體因解開(kāi)繩子而下降，其初速度為零。試求當(dāng)圓柱體的軸心降落了高度h時(shí)軸心的速度和繩子的張力。圖11-42ma=mg-FAT(1)J(-a)=-FRCT1amR2-a=FR2RT1百ma=f2AT由式(1)、(2)得2a=ga3Ft=1mg22-=2ah=i：2x-gxh=3<3gh(2)11-20如圖11-43所示，有一輪子，軸的直徑為

18、50mm，無(wú)初速地沿傾角0=20。的軌道滾下,設(shè)只滾不滑，5秒內(nèi)輪心滾過(guò)距離s=3m。試求輪子對(duì)輪心的回轉(zhuǎn)半徑。圖11-43與習(xí)題11-18類(lèi)似，此處maC=mgsin0-F(1)J=mp2C(2)(3)0=F一mgcos0NJa=Fr(4)Ca=raC由式(3)、(4)得F=mp2acr2代入式(1)gsin0ac1+p2/r22s2x3ca=0.24ct2521s=a12i2c輕竺=0.241+p2/r2(gsin20。p2=r2(°1)0.24igsin20。-i'9.8xsin20°-；“p=r1=251=25*12.9658=90.02mm0.240.24

19、11-21重物A質(zhì)量為m，系在繩子上，繩子跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量的固定滑輪D，并繞在鼓輪B上,1如圖11-44所示。由于重物下降，帶動(dòng)輪C沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。設(shè)鼓輪半徑為r,輪C的半徑為R,兩者固連在一起，總質(zhì)量為m，對(duì)于其水平軸0的回轉(zhuǎn)半徑為°。試求重物A的加2速度。圖11-44重物Ama=mgF1A1TF=mgmaT11A鼓輪B和輪C(1)J(a)=FrFROOTma=FF2OT(2)-#-a(3)mlR=F-F2R+rt由式(2)、(3)消去F得aiamp2afmlR2=Fr+FR2R+r2R+rttp2fR2ma=F(R+r)2ARfrT將式(1)代入上式p2fR2ma=(mg一m

20、a)(R+r)2ARfr11Ap2fR2ma+ma(R+r)=mg(R+r)2ARfr1A1mg(Rfr)2a=iAm(Rfr)2fm(p2fR2)1211-22半徑為r的均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m,放在粗糙的水平面上，如圖11-45所示。設(shè)其中心C的初速度為v,方向水平向右，同時(shí)圓柱如圖所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，其初角速度為w，且有rw<v。0000如圓柱體與水平面的摩擦因數(shù)為問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn)動(dòng)，并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度。圖11-45ma=-F=-pF=-pmgCN得a=-pgC由J(-a)=-FrC1mr2a=pmgr-17-v=vfat=v-pgtC0C02pg®

21、=®+at=®+t00r純滾時(shí)v=r®Cv-pgt=r®+2pgt00v-r®=3pgt00vr®t=oo-3yg2v+r®v=vPgt=00Co311-23如圖11-46所示，長(zhǎng)為I,質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB一端系在細(xì)索BE上，另一端放在光滑平面上，當(dāng)細(xì)索鉛直而桿靜止時(shí)，桿對(duì)水平面的傾角f=45，現(xiàn)細(xì)索突然斷掉，試求桿A端的約束反力。圖11-46細(xì)索突然斷掉瞬時(shí)®=o質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，C點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法(以A為基點(diǎn)，分析C點(diǎn))a=a+at+anCACACAan=oCAa=a+atCACAa=atcosQ平面運(yùn)動(dòng)微

22、分方程(1)F一G=-maNC(2)1lml2(-x)=-FcosQ12N2(3)由式(1)代入式(2)得FN再代入式(3)得(X=gl2cosQ=6gcosQ(丄+丄亦2q)l2一(1+3cos2Q)l124由(3)得當(dāng)q=45。時(shí),mlXF=N6cosQ1+3cos2Q百2F=mgN5mg11-24如圖11-47所示的均質(zhì)長(zhǎng)方體質(zhì)量為50kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，在力F作用下向右滑動(dòng)。試求：(1)不傾倒時(shí)力F的最大值；(2)此時(shí)長(zhǎng)方體的加速度。長(zhǎng)方體平動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)微分方程FF=ma5dCFn+5F-mg=0圖11-47(1)(2)0=4Fx300+-Fx150Fx300+Fx(15

23、0d)55dN(3)F=pF=卩(mgF)dN5臨界狀態(tài)d=0由式(3)得i50F300F+150F=0dNF2F+F=0dNF+(12p)F=0N3F+(12p)(mg-F)=031+(12p)F+(12p)mg=0F=(1-2p)mg=(10.4)mg=06噸=21618N1+(12p)1+(10.4)x-1.36此時(shí)f=p(mg-3F)d5由式(1)得-F-Fd43-Fp(mgF)_0.92F0.2mgmm0.92x216.20.2x50x9.850a=2.02m/s2C11-25如圖11-48所示的均質(zhì)長(zhǎng)方形板放置在光滑水平面上。若點(diǎn)B的支承面突然移開(kāi),試求此瞬時(shí)點(diǎn)A的加速度。-#-圖

24、11-48點(diǎn)B的支承面突然移開(kāi)o=o質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，C點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法(以A為基點(diǎn)，分析C點(diǎn))a=a+at+anCACACAan=0CAa=a+atCACAa=atcos申CCAat=ACaCA=ACacos甲=a(1)平面運(yùn)動(dòng)微分方程ma=mg-FCA(2)m(l2+b2)(-a)=-F12Al_2(3)由式(1)代入式(2)得FAl=mg-mxa2再代入式(3)得1llm(l2+b2)(-a)=-(mg-mxa)1222mgl26gl£噸2+b2)+4ml2也+b2a=丄_=注C24l2+b23gl2b3glba=atan申=x_=AC4l2+b2l4l2+b211-26均

25、質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿AB,質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l,CD=d,與鉛垂墻間的夾角為0,D棱是光滑的。在圖11-49所示位置將桿突然釋放，試求剛釋放時(shí)，質(zhì)心C的加速度和D處的約束力。圖11-49-19-ma=Fcos0CxD(1)ma=EFeCyyJa=EM(Fe)CCma=Fsin0-mgCyDml2a=Fd12基點(diǎn)法(以D為基點(diǎn)，分析C點(diǎn))(2)(3)+at+an=a+atDCDCDDCsin0-atcos0CDatCDml2a12d將式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2)aC=aDa=aCxDa=-a(an=0DCCy由(3)得cos0-atsin0D(4)(5)(6)m(asin0-atcos0)=m&q

26、uot;acos0DCD12dm(-acos0-atsin0)=m"asin0-mgDCD12d即m(asin0-atcos0)=m"以cos0DCD12dm(-acos0-atsin0)=m"asin0-mgDCD12da-atcot0="acot0DCD12d-a-attan0=tan0DCD12dcos0(7)+(8)得(8)(7)-at(tan0+cotQ)CD(tan0+cot0)-12dgcos0at=daCDgcos0a=l2(d+)(tan0+cot0)12d代入(3)得12dgsin012d2+12ma=EFeCxx口=mg12sin0

27、FD12d2+l212d2+12由(1)得a=Fcos0=gl2sin0cos0Cxm由(2)得Fsin0-mgadCym12d2+12cos2012d2+1211-27均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m,半徑均為r,一繩纏在繞固定軸0轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上,繩的另一端繞在圓柱B上，如圖11-50所示。摩擦忽略不計(jì)。試求：(1)圓柱體B下落時(shí)質(zhì)心的加速度；(2)若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問(wèn)在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。圖11-50(1)圓柱體AJ(-a)-FrOAT1 amrAFr2 rT1ma2A圓柱體BFT(1)J(-a)-FrBBT1 a-amr2baFr2 rTm(a-a)F2BATmamg-FB式(1)+(2)ma2F2BTmaFBT4代入式(3)，得(2)(3