人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)數(shù)據(jù)的分析知識(shí)講解

1、數(shù)據(jù)的分析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1, 了解加權(quán)平均數(shù)的意義和求法，會(huì)求實(shí)際問(wèn)題中一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，體會(huì)用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的思想.2, 了解中位數(shù)和眾數(shù)的意義，掌握它們的求法.進(jìn)一步理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)所代表的不同的數(shù)據(jù)特征.3, 了解極差和方差的意義和求法，體會(huì)它們刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)的不同特征.體會(huì)用樣本方差估計(jì)總體方差的思想，掌握分析數(shù)據(jù)的思想和方法.4,從事收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的基本過(guò)程，體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)與生活的聯(lián)系，感受統(tǒng)計(jì)在生活和生產(chǎn)中的作用，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說(shuō)話的習(xí)慣和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂數(shù)據(jù)的分析知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)1一

2、般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)“、X2、X3、Xn,我們把一X1+X2+X3+Xn叫做這n個(gè)數(shù)的n1算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均數(shù)，記作X,計(jì)算公式為X1X1+X2+X3+Xn.n要點(diǎn)詮釋：平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，(1)當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，并且這些數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a附近上、下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化計(jì)算公式xxa.其中又為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，a為取定的接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù)，(2)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)，所以平均數(shù)容易受到個(gè)別特殊值的影響，若n個(gè)數(shù)為、x2、xn的權(quán)分別是W|、w2、wn,則"xw-xw2

3、-二一xnwn叫做w1w2.wn這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，要點(diǎn)詮釋：(1)相同數(shù)據(jù)x的個(gè)數(shù)w叫做權(quán)，wi越大，表示Xi的個(gè)數(shù)越多，“權(quán)”就越重，數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”(2)加權(quán)平均數(shù)實(shí)際上是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，是平均數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算.要點(diǎn)二、中位數(shù)和眾數(shù)1,中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要點(diǎn)詮釋：(1)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中，(2)由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道中位數(shù)以上和以下數(shù)據(jù)各占

4、一半，2,眾數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)要點(diǎn)詮釋：(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)；如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)就沒(méi)有眾數(shù)，(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)要點(diǎn)三、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，其中以平均數(shù)最為重要.區(qū)別：平均數(shù)的大小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來(lái)描述整體趨勢(shì)則不合適，用中位數(shù)或眾數(shù)則較合適.中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列位置有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)影響

5、；眾數(shù)主要研究各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來(lái)描述要點(diǎn)四、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差=最大值-最小值.要點(diǎn)詮釋：極差是最簡(jiǎn)單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，它受極端值的影響較大.一組數(shù)據(jù)極差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動(dòng)大小的特征的量.方差s2的計(jì)算公式是：S21x1X2(x2x)2.(xnx)2n要點(diǎn)詮釋：(1)方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小.(2) 一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都加上(或減去)同一個(gè)常數(shù)，所

6、得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變.(3) 一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，則所得的一組新數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉?lái)的k2倍.方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用符號(hào)s表示，即:標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)一致$飆一回+1/一工+0cH一工)|要點(diǎn)五、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：極差與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù).區(qū)別：極差表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍的大小，它受極端數(shù)據(jù)的影響較大；方差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度的大小.方差越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則穩(wěn)定性越好.所以一般情況下只求一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍時(shí)用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時(shí)用方差.要點(diǎn)六、用樣本估計(jì)總體在考察總體的平均水

7、平或方差時(shí)，往往都是通過(guò)抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計(jì)得到總體的平均水平或方差.要點(diǎn)詮釋：(1)如果總體數(shù)量太多，或者從總體中抽取個(gè)體的試驗(yàn)帶有破壞性，都應(yīng)該抽取樣本.取樣必須具有盡可能大的代表性.(4) 用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，樣本對(duì)總體的估計(jì)也越精確.樣本容量的確定既要考慮問(wèn)題本身的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性所付出的代價(jià).【典型例題】類型一、利用概念求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)1、(2015春?東莞期末)一家鞋店在段時(shí)間內(nèi)銷售了某種女鞋20雙,各種尺碼鞋的銷售量如表:鞋號(hào)23.52424.52525.526人數(shù)344711(1)求出這些尺碼鞋的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù).(2)如果你

8、是老板，去鞋廠進(jìn)貨時(shí)哪個(gè)尺碼的鞋子可以多進(jìn)一些.為什么？【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用平均數(shù)公式求出即可，再利用中位數(shù)以及眾數(shù)的定義得出答案;(2)利用眾數(shù)的意義得出答案.【答案與解析】解：(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(23.5X3+24X4+24.5X4+25X7+25.5+26)=24.55,中位數(shù)是：24.5,眾數(shù)是25;(2)去鞋廠進(jìn)貨時(shí)25尺碼型號(hào)的鞋子可以多進(jìn)一些，原因是這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是25,故銷售的女鞋中25尺碼型號(hào)的鞋賣(mài)的最好.【總結(jié)升華】此題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)的定義以及平均數(shù)求法，正確掌握中位數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.舉一反三：【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例8】【變式】若數(shù)據(jù)3.2,3.4

9、,3.2,X,3.9,3.7的中位數(shù)是3.5,則其眾數(shù)是,平均數(shù)是.【答案】3.2;3.5;x3.4解：由題意3.5,X3.6,所以眾數(shù)是3.2,平均數(shù)是3.5.2類型二、利用三數(shù)一一平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決問(wèn)題2、某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對(duì)甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測(cè)試，各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用.三位候選人的各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簻y(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284(1) 如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)，誰(shuí)將被錄用，說(shuō)明理由；(2) 根據(jù)實(shí)際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測(cè)試得分按5:3:2的比例確定每人的成

10、績(jī)，誰(shuí)將被錄用，說(shuō)明理由.1 .【思路點(diǎn)撥】(1)運(yùn)用求平均數(shù)公式一X1+X2+X3+xn即可求出三人的平均成績(jī)，比較n得出結(jié)果；(2)將三人的成績(jī)按比例求出測(cè)試成績(jī)，比較得出結(jié)果【答案與解析】解：(1)甲的平均成績(jī)?yōu)椋?85+70+64)-3=73,乙的平均成績(jī)?yōu)椋?73+71+72)+3=72,丙的平均成績(jī)?yōu)椋?73+65+84)+3=74,候選人丙將被錄用.(2) 甲的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?85X5+70X3+64X2)+(5+3+2)=76.3,乙的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?73X5+71X3+72X2)-(5+3+2)=72.2,丙的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?73X5+65X3+84X2)-(5+3+2)=72.8

11、,候選人甲將被錄用.【總結(jié)升華】5、3、2即各個(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)”，反映了各個(gè)數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度，按加權(quán)平均數(shù)來(lái)錄用.舉一反三：【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例10】【變式】小王在八年級(jí)第一學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為：測(cè)驗(yàn)一得89分，測(cè)驗(yàn)二得78分，測(cè)驗(yàn)三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，如果按照平時(shí)、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王該學(xué)期的總評(píng)成績(jī)應(yīng)該為多少？解：小王平時(shí)測(cè)試的平均成績(jī)x897885c,八84（分）.38410%9030%8760%一小，八、所以87.6（分）.【答案】10%30%60%答：小王該學(xué)期的總評(píng)成績(jī)應(yīng)該為87.6分.【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例11】成績(jī)(

12、分)so60708090100人飄入)2573卜表是七年級(jí)(2)班30名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)表(已破損).已知該班學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)平均分是76分.(1) 求該班80分和90分的人數(shù)分別是多少？(2) 設(shè)此班30名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為a,中位數(shù)為b,求ab的值.【答案與解析】解：(1)設(shè)該班得80分的有x人，得90分的有y人.根據(jù)題意和平均數(shù)的定義，得257xy330,763050260570780x90y1003,整理得Xy13,解得x8,8x9y109,y5.即該班得80分的有8人，得90分的有5人.(2)因?yàn)?0分出現(xiàn)8次且出現(xiàn)次數(shù)最多.所以a=80,第15、16兩個(gè)數(shù)均為80分，所以b=

13、80,則ab=80+80=160.【總結(jié)升華】本題為統(tǒng)計(jì)題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義.解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，建立等量關(guān)系.舉一反三：【變式】某教師為了對(duì)學(xué)生零花錢(qián)的使用進(jìn)行教育指導(dǎo)，對(duì)全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢(qián)數(shù)額進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.零花錢(qián)數(shù)額(兀)5101520學(xué)生個(gè)數(shù)(個(gè))a15205請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，回答以下問(wèn)題(1) 求a的值；(2) 求這50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢(qián)額的眾數(shù)和平均數(shù).【答案】解：(1)a=50-15-20-5=10.(2)眾數(shù)是15.1平均數(shù)為一(5X10+10X15+15X20+20X5)=12.50類型三、極差、方差

14、與標(biāo)準(zhǔn)差命V4、某社區(qū)準(zhǔn)備在甲乙兩位射箭愛(ài)好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成績(jī)(單位：環(huán))相同，小宇根據(jù)他們的成績(jī)繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，并計(jì)算了甲成績(jī)的平均數(shù)和方差(見(jiàn)小宇的作業(yè)).小宇的作業(yè)：留士福4(升4*升44)二6，C9-6)I(4-6)4(7-6)4(4-6)4(6-6)a=；乙=；(2)請(qǐng)完成圖中表示乙成績(jī)變化情況的折線；(3)觀察圖，可看出的成績(jī)比較穩(wěn)定(填“甲”或“乙”).參照小宇的計(jì)算方法，計(jì)算乙成績(jī)的方差，并驗(yàn)證你的判斷.請(qǐng)你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰(shuí)將被選中.5二?+44-1+4+0)5=36,第1次第2次第3次第4次第5次甲成績(jī)94746乙成績(jī)75

15、7a7【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)他們的總成績(jī)相同，得出a=30-7-7-5-7=4,進(jìn)而得出號(hào)=30+5=6;(2)根據(jù)(1)中所求得出a的值進(jìn)而得出折線圖即可；(3)觀察圖，即可得出乙的成績(jī)比較穩(wěn)定；因?yàn)閮扇顺煽?jī)的平均水平(平均數(shù))相同，根據(jù)方差得出乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中.【答案與解析】解：(1)由題意得：甲的總成績(jī)是：9+4+7+4+6=30,貝Ua=307757=4,歸=30+5=6,故答案為：4,6;(2)如圖所示：(3)觀察圖，可看出乙的成績(jī)比較穩(wěn)定，故答案為：乙；c1cCCCCsj=(76)請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考

16、慮，你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？青說(shuō)明理由.【答案】(5-6)2(76)2(46)2(76)2=1.65由于s2乙vs2甲，所以上述判斷正確.因?yàn)閮扇顺煽?jī)的平均水平(平均數(shù))相同，根據(jù)方差得出乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中.【總結(jié)升華】此題主要考查了方差的定義以及折線圖和平均數(shù)的意義，根據(jù)已知得出a的值進(jìn)而利用方差的意義比較穩(wěn)定性即可.舉一反三：【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例12】【變式】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295解:一1期-(95828881

17、938_1x(83758080908甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為798478）85（分），859295）85（分）.83分、84分.(2)由(1)知x甲x乙85分，所以21_2_2_2_s2(9585)2(8285)2*,(7885)235.5,8s21(8385)2(7585)2-*(9585)241.8從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲，乙的成績(jī)好于甲；一.22從方差來(lái)看，因?yàn)閤甲x乙，源s所以甲的成績(jī)較穩(wěn)定;從數(shù)據(jù)特點(diǎn)看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙的成績(jī)好些；從數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，乙后幾次的成績(jī)均高于甲，且呈上升趨勢(shì)，

18、因此乙更具潛力.綜上分析可知，甲的成績(jī)雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績(jī)的次數(shù)及發(fā)展勢(shì)頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢(shì)，所以應(yīng)派乙參賽更有望取得成績(jī).類型四、統(tǒng)計(jì)思想5、(2016?廣陵區(qū)二模)中考體育測(cè)試前，某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽測(cè)了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績(jī),并將測(cè)試得到的成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題:(1)寫(xiě)出扇形圖中a=%并補(bǔ)全條形圖；(2)在這次抽測(cè)中，測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是個(gè)、個(gè).(3)該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有1800人，如果體育中考引體向上達(dá)6個(gè)以上(含6個(gè))得滿分，請(qǐng)你估計(jì)該區(qū)

19、體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？【思路點(diǎn)撥】(1)用1減去其他天數(shù)所占的百分比即可得到a的值，用360。乘以它所占的百分比，即可求出該扇形所對(duì)圓心角的度數(shù)；（2）根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可；（3）先求出樣本中得滿分的學(xué)生所占的百分比，再乘以1800即可.【答案與解析】解：（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中a=1-30%-15%10%-20%=25%設(shè)引體向上6個(gè)的學(xué)生有x人，由題意得.三？°,解得x=50.25%10%條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下：j人數(shù)60I5040-301|20-I-10&個(gè)/'小27個(gè)及以±測(cè)試成績(jī)（2）由條形圖可知，引體向上5個(gè)的學(xué)生有60人，人數(shù)最多，所以眾