小學(xué)奧數(shù)：數(shù)陣圖二專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、5-1-3-2.數(shù)陣圖gim教學(xué)目標(biāo)1 .了解數(shù)陣圖的種類2 .學(xué)會一些解決數(shù)陣圖的解題方法3 .能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問題知識點(diǎn)撥、數(shù)陣圖定義及分類:1 .定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖2 .數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖3 .二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)

2、的范圍；第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.即隹例題精講【例1】由數(shù)字1、2、3組成的不同的兩位數(shù)共有9個，老師將這9個數(shù)寫在一個九宮格上，讓同學(xué)選數(shù)，每個同學(xué)可以從中選5個數(shù)來求和.小剛選的5個數(shù)的和是120,小明選的5個數(shù)的和是111.如果兩人選的數(shù)中只有一個是相同的，那么這個數(shù)是.111213212223313233【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，決賽，3題【分析】這9個數(shù)的和：111213212223313233（102030）3（123）3198由小剛和小明選的數(shù)中只有一個是

3、相同的，可知他們正好把這9個數(shù)全部都取到了，且有一個數(shù)取了兩遍.所以他們?nèi)〉臄?shù)的總和比這9個數(shù)的和多出來的部分就是所求的數(shù).那么，這個數(shù)是12011119833【答案】33【例2】如圖1,圓圈內(nèi)分別填有1,2,，7這7個數(shù)。如果6個三角形的頂點(diǎn)處圓圈內(nèi)的數(shù)字的和是64,那么，中間圓圈內(nèi)填入的數(shù)是【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第【題型】填空5題，5分【例3】【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空如下圖（1）所示，在每個小圓圈內(nèi)填上一個數(shù)，使得每一條直線上的三個數(shù)的和都等于大圓圈上三個數(shù)的和.【解析】為敘述方便，先在每個圓圈內(nèi)標(biāo)上字母，如圖（2）,則有a+4

4、+9=a+b+c(1)b+8+9=a+b+c(2)c+17+9=a+b+c(3)+56=3(a+b+c),a+b+c=28,則a=28-(4+9)=15,(1)+(2)+(3):(a+b+c)b=28-(8+9)=11,c=28-(17+9)=2解：見圖.【例4】請你將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內(nèi)，使得每個圓圈上的三個數(shù)之和與每條直線上的三個數(shù)之和相等.應(yīng)怎樣填?【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空為了敘述方便，將各圓圈內(nèi)先填上字母，如圖(2)所示.設(shè)A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+GA+B+Q+(A+F+G+(A+D+E+(B+D

5、+F+(C+E+G)=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5K2(A+B+C+D+E+F+G+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.,k=12,因?yàn)樵?、2、3、5、6、7中，貝UC=12-(4+1)=7,G=12-(4+5)=3,(見圖)因?yàn)?6+A為5的倍數(shù)，得A=4,進(jìn)而推出1+5+6=7+3+2=12,不妨設(shè)B=1,F=5,D=6,E=12-（4+6）=2.,解：得到一個基本解為：的平均值，便得到右下圖。如果左下圖中已有一個數(shù)數(shù)，使得右下圖中的數(shù)都是自然數(shù)?！纠?】在左下圖的每個圓圈中填上一個數(shù)，各數(shù)互不相等，每個圓圈有3個相鄰（即有線段相連

6、的圓圈）的圓圈。將左下圖中每個圓圈中的數(shù)改為3個相鄰圓圈所填數(shù)1,請?zhí)畛鲎笙聢D中的其它【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第10題，10分【解析】答案不唯一。要求四個灰色圓圈中所填的數(shù)除以3的余數(shù)相同，另外四個圓圈中所填的數(shù)除以3的余數(shù)也相同。注：題中左、右兩圖是兩個不同的圖，左圖要求各數(shù)互不相同（見答案），右圖中各數(shù)是根據(jù)左圖改的，只要求是自然數(shù)，可以相同?！纠?】將1至8這八個自然數(shù)分別填入圖中的正方體的八個頂點(diǎn)處的d內(nèi)，并使每個面上的四個d內(nèi)的數(shù)字之和都相等。求與填入數(shù)字1的d有線段相連的三個d內(nèi)的數(shù)的和的最大值。【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】4星【

7、題型】填空【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試，第13題，15分【解析】因?yàn)?到8的和為36,而上面四個數(shù)的和等于下面四個數(shù)的和，所以都為18。因?yàn)槊總€面的數(shù)字和相等，所以一個面上應(yīng)當(dāng)大小數(shù)搭配，也就是說，和最小的數(shù)字1在同一個面上的應(yīng)該有較大的數(shù)。嘗試最大的三個數(shù)8,7,6,則和1,8,7在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是18-1-8-7=2，和1,8,6在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是18-1-8-6=3，和1,7,6在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是在同一個面上的數(shù)應(yīng)該是18-1-7-6=4,剩下一個5填在剩下的。中，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，那么與1相連的三個。的和是67821【答案】21【例7】將自然

8、數(shù)1到11分別填在右圖的圓圈內(nèi)，使得圖中每條直線上的三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等.【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【解析】設(shè)左下角的數(shù)為S.由于這11個數(shù)的和為【難度】5星【題型】填空a,每條直線上的三個數(shù)的和為12L1166.從左下角引出的5條直線的總和為5S,其中左下角的數(shù)多計(jì)算了4次，則5s664a;又由三條橫線及左下角引出的一條斜線上的數(shù)的總和可得4s66a.從而結(jié)合上面的兩個式子可得S18,a6,即左下角的數(shù)為6,每條線上的數(shù)之和為18.再設(shè)大正方形其他三個圓圈上的數(shù)分別為b,c,d,于是可得各個圓圈中的數(shù)如圖所示.除6以外的10個數(shù)分別為：b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,bc

9、6,cd6,由于18bc12c18cd18,得到b3cd30,即bd303c.所以，只要選取適當(dāng)?shù)腷,c,d的值，使得上面的10個數(shù)各不相同即可.比如，選才ic9,b1,d2,則可得到如右上圖所示的一種填法.本題答案不唯一，下面再給出兩種填法?！纠?】在下圖中，在每個圓圈中填入一個數(shù)，使每條直線上所有圓圈中數(shù)的和都是234,那么標(biāo)有十的圓圈中所填的數(shù)是.【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，決賽，11題【分析】為表述方便，將圓圈中數(shù)用字母替代（如右圖）根據(jù)題意，有af234bc234ed234abe234cdf234(4)【答案】78(4)，有3234,即234

10、378.【例9請將1,2,3,，10這10個自然數(shù)填入圖中的10個小圓圈內(nèi)，使得圖中的10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等.那么乘積ABC?【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，決賽，【解析】對于本題，可以通過“10條直線上圓圈內(nèi)數(shù)字之和都相等"（實(shí)際上是11條）這一等量關(guān)系，將每一個小圓圈中的數(shù)表示出來.由于每一條直線上的數(shù)之和都為ABC,可得圖中每一個小圓圈中的數(shù)如下圖。B-2C由于中間豎直方向的線段以及從左下角A出發(fā)的只有兩個數(shù)字的那條線段，它們的數(shù)字和都C3B3C2AC,可得AB2C,代入得只能是C1,B6,AB2c8,則是ABC,可以得到，AB2B3C3B3C,

11、即B6C,ABC86148【答案】ABC86148【例10下圖中有11條直線.請將1至11這11個數(shù)分別填在11個圓圈里，使每一條直線上所有數(shù)的和相等.求這個相等的和以及標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù).【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【解析】設(shè)每行的和為S,在左下圖中，除了a出現(xiàn)2次，其他數(shù)字均只出現(xiàn)了1次，并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有4S(123L11)a66a；在右上圖中除了a出現(xiàn)5次，其他數(shù)字土只出現(xiàn)了1次，并且每個數(shù)字都出現(xiàn)了，于是有5S(123L11)4a664a.4S66a綜合以上兩式，4s66a,解得a6,S18.5S664a考慮到含有*的五條線，有4(123L11)t185

12、90,即4t24.可見t是4的倍數(shù)，在111間可能為4和8,但t為8時(shí)也為8,重復(fù).所以t4,7.即每行相等的和為18,標(biāo)有*的圓圈中所填的數(shù)為7.最終的填法如右下圖.【例11】“美妙的數(shù)學(xué)花園”這7個字各代表17中的一個數(shù)，并且每個圓中4個數(shù)的和都是15。如果學(xué)比美大，美比園大，那么，園表示【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】（走美杯3年級決賽第11題，12分）【解析】首先找出從1到7中四個數(shù)之和為15的有以下四組：1、2、5、7;2、3、4、6;1、3、4、7;1、3、5、6需要從其中選出3組，其中每兩個組間都有兩個相等的數(shù)，且這三組都含有同一個數(shù)，分析發(fā)現(xiàn)這三組可為、或

13、、，當(dāng)這三組數(shù)為、時(shí)即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3,5,6.其中、公有的是1,7;、公有是1,5;、公有1,3,即“妙，花，數(shù)”應(yīng)為3,7,5其中之一.則剩下數(shù)字2,4,6應(yīng)為美、學(xué)、園其中之一.又因?yàn)閷W(xué)美時(shí)同樣的方法可分析出園2.當(dāng)這三組數(shù)為、130,三角形內(nèi)兩【例12】圖2中的五個問號分別表示五個連續(xù)的自然數(shù)，它們的和等于個數(shù)的和等于53,圓內(nèi)三個數(shù)的和等于79,正方形內(nèi)兩個數(shù)的和等于50。那么,從左向右，這五個問號依次是【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復(fù)賽，第5題，5分【解析】根據(jù)題意答案為：25,28,27,24,26【答案】25,28,

14、27,24,26【例13】右圖是大家都熟悉的奧林匹克五環(huán)標(biāo)志.請將1:9分別填入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等.【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【解析】設(shè)每個圓內(nèi)的數(shù)字之和為k,則五個圓內(nèi)的數(shù)字之和是5k,它等于1:9的和45再加上兩兩重疊處的四個數(shù)之和.而兩兩重疊處的123410,最大是65k451055,四個數(shù)之和最小是5k453075,卜圖）.78625431由上面的分析可知,15,那么，不論a為多少，最k15時(shí)沒有符合題意的填法.d中有一個數(shù)為3，比如a3,d相同.可見a,b,c,d都c,那么與b,c在同一個圓內(nèi)的那個數(shù)將只能為沒有符合題意的填法

15、.0,這也不可能出現(xiàn).所以當(dāng)k12時(shí)也【答案】當(dāng)k13,14時(shí)可得四種填法【例14】2008年奧運(yùn)會在北京舉行?！皧W”、“運(yùn)”、“會”、“北”、“京”這五個漢字代表當(dāng)k15時(shí)，如右上圖，設(shè)兩兩重疊處的四個數(shù)分別為a,b,c,d分別為6,7,8,9,由于6915,左邊的數(shù)總是會與b,c,d中的某一個相同，矛盾.所以當(dāng)當(dāng)k12時(shí)，abcd1254515.如果a,b,c,那么bcd12,這樣與b,c在同一個圓內(nèi)的那個數(shù)將與不能為3.如果a,b,c,d中至少有3個數(shù)大于3,那么它們至少為4,5,6,另一個數(shù)至少為1,它們的和將不小于145616,矛盾.所以a,b,c,d中至少有2個數(shù)小于3,這2個數(shù)只

16、能為1和2,那么另兩個數(shù)之和為12.如果這兩個數(shù)中有一個為a或者d,那么最左邊或者最右邊的數(shù)將與a,b,c,d中的某一個相同，矛盾；如果這兩個數(shù)為b和五個連續(xù)的自然數(shù)，將其分別填在五環(huán)圖案的五個環(huán)內(nèi)，滿足“奧”+“運(yùn)”+“會”="北”+“京”。這五個自然數(shù)的和最大是【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初賽，第2題)【解析】不妨設(shè)最小一個數(shù)是x,那么這5個數(shù)是x,x+1,x+2,x+3,x+4.但無法將它們對應(yīng)，但無論怎么樣，列出的方程一定是這個形式的：(x+a)+(x+b)+(x+c)=(x+d)+(x+e),其中a、b、c、d、e分別是0、1、2、

17、3、4.方程解得：x=(d+e)-(a+b+c),如果連續(xù)5個自然數(shù)最大，那么最小的那個自然數(shù)也必須取得最大，顯然減號前是3、4,減號后0、1、2時(shí)，x取得最大值4,所以這5個數(shù)是4、5、6、7、8,和為30【答案】30【例15如圖，A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九個各不相同的正整數(shù)，且每個圓中所填數(shù)的和都等于2008。這九個數(shù)總和最小為?！究键c(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第12題，15分【解析】假設(shè)9個數(shù)總和是M,則MABCDEFGHI,上面三個環(huán)的總和為：32008MCG,所以當(dāng)CG12時(shí)，總和最小為2008336027?！敬鸢浮?027【

18、例16如圖，A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九個各不相同的正整數(shù)，A,B,C,D,E,F,G,H,I的總和是2008,并且每個圓中所填的數(shù)和都等于M。(1)M最大為多少？(2)M最小為多少？【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】6星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽,第11題，15分【解析】上面三個環(huán)里數(shù)的和為3M,3MCG2008,3M2008CG,所以M最大可以取668,此時(shí)C,G分別為1,3。五環(huán)的和是5M2008BDFH,要使M最小，只要取BDFH最小為12,此時(shí)M404?！敬鸢浮孔畲?68,最小12【例17】將數(shù)字19分別填在下圖空白的正六邊形格子中，使得箭頭所指直線方向上空格ABCD20,EFGHCIJKMN19。22,當(dāng)填寫完中所填的數(shù)字和等于該箭頭所在格中的給定數(shù)(每個方向上所填的數(shù)互不相同，且到寫有另一個給定數(shù)字的格為止)。例如:后，字母C處所寫的數(shù)字是2619K20G22H201028AA.4B.5C.7D.9【題型】填空【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】6星【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)試，7題【解析】1314C,提示：在下圖中,直線11上的6個數(shù)之和是，只有12