第9章 MATLAB符號計算 ppt課件

1、第第9章章 MATLAB符號計算符號計算9.1 符號對象符號對象9.2 符號微積分符號微積分9.3 級級 數(shù)數(shù)9.4 符號方程求解符號方程求解9.1 符號對象符號對象9.1.1 建立符號對象建立符號對象1建立符號變量和符號常量建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和和syms，兩個函數(shù)的用法不同。，兩個函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù)函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，普通調(diào)用格式為：函數(shù)用來建立單個符號量，普通調(diào)用格式為：符號量名符號量名=sym(符號字符串符號字符串)該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常該函數(shù)可以建立一個

2、符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。運(yùn)用運(yùn)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，運(yùn)用符號常量函數(shù)還可以定義符號常量，運(yùn)用符號常量進(jìn)展代數(shù)運(yùn)算時和數(shù)值常量進(jìn)展的運(yùn)算不同。下進(jìn)展代數(shù)運(yùn)算時和數(shù)值常量進(jìn)展的運(yùn)算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時的差別。算時的差別。 (2) syms函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，運(yùn)用不方便。一次只能定義一個符號變量，運(yùn)用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義，一次可以定義多個符號變量。多個符號變量。syms函數(shù)的普通調(diào)用格

3、式為：函數(shù)的普通調(diào)用格式為：syms 符號變量名符號變量名1 符號變量名符號變量名2 符號變量名符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。，變量間用空格而不要用逗號分隔。2建立符號表達(dá)式建立符號表達(dá)式含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。建立符號表達(dá)式有含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。建立符號表達(dá)式有以下以下3種方法：種方法：(1)利用單引號來生成符號表達(dá)式。利用單引號來生成符號表達(dá)式。(2)用用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式。函數(shù)建立符號表達(dá)式。(3) 運(yùn)用曾經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)

4、式。運(yùn)用曾經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。9.1.2 符號表達(dá)式運(yùn)算符號表達(dá)式運(yùn)算1符號表達(dá)式的四那么運(yùn)算符號表達(dá)式的四那么運(yùn)算符號表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)符號表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和和symdiv來實(shí)現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由來實(shí)現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由sympow來實(shí)現(xiàn)。來實(shí)現(xiàn)。2符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算假設(shè)符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可假設(shè)符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用利用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其普

5、通調(diào)用格式為：普通調(diào)用格式為：n,d=numden(s)該函數(shù)提取符號表達(dá)式該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在的分子和分母，分別將它們存放在n與與d中。中。3符號表達(dá)式的因式分解與展開符號表達(dá)式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達(dá)式：對符號表達(dá)式s分解因式。分解因式。expand(s)：對符號表達(dá)式：對符號表達(dá)式s進(jìn)展展開。進(jìn)展展開。collect(s)：對符號表達(dá)式：對符號表達(dá)式s合并同類項。合并同類項。collect(s,v)：對符號表

6、達(dá)式：對符號表達(dá)式s按變量按變量v合并同類項。合并同類項。4符號表達(dá)式的化簡符號表達(dá)式的化簡MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有：提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有：simplify(s)：運(yùn)用函數(shù)規(guī)那么對：運(yùn)用函數(shù)規(guī)那么對s進(jìn)展化簡。進(jìn)展化簡。simple(s)：調(diào)用：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)展綜合化簡，的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)展綜合化簡，并顯示化簡過程。并顯示化簡過程。5符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式。函數(shù)函數(shù)numeric或或eval可以將符號表達(dá)式

7、變換成數(shù)值表達(dá)式。可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。9.1.3 符號表達(dá)式中變量確實(shí)定符號表達(dá)式中變量確實(shí)定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以協(xié)助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函可以協(xié)助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)前往符號表達(dá)式函數(shù)前往符號表達(dá)式s中的中的n個符號變量，假設(shè)沒有指定個符號變量，假設(shè)沒有指定n，那么前往那么前往s中的全部符號變量。中的全部符號變量。9.1.4 符號矩陣符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面引見的符符號矩陣也是

8、一種符號表達(dá)式，所以前面引見的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)展。但應(yīng)留號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)展。但應(yīng)留意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)展由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)展有關(guān)矩陣的運(yùn)算。有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些公用于符號還有一些公用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如例如transpose(s)：前往：前往s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：前往：前往s矩

9、陣的行列式值。矩陣的行列式值。其實(shí)，曾引見過的許多運(yùn)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如其實(shí)，曾引見過的許多運(yùn)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可等，也可直接運(yùn)用于符號矩陣。直接運(yùn)用于符號矩陣。9.2 符號微積分符號微積分9.2.1 符號極限符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當(dāng)?shù)臉O限值。即計算當(dāng)變量變量x趨近于常數(shù)趨近于常數(shù)a時，時，f(x)函數(shù)的極限值。函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有的極限值

10、。由于沒有指定符號函數(shù)指定符號函數(shù)f(x)的自變量，那么運(yùn)用該格式時，的自變量，那么運(yùn)用該格式時，符號函數(shù)符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默許確定的默許自變量，即變量自變量，即變量x趨近于趨近于a。(3) limit(f)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量的變量為函數(shù)為函數(shù)findsym(f)確定的默許變量；沒有指定變量的目的確定的默許變量；沒有指定變量的目的值時，系統(tǒng)默許變量趨近于值時，系統(tǒng)默許變量趨近于0，即，即a=0的情況。的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限

11、值。的極限值。right表示變表示變量量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)：求符號函數(shù)f的極限值。的極限值。left表示變量表示變量x從左邊趨近于從左邊趨近于a。例例9-1 求以下極限。求以下極限。極限極限1：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)ans =(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a極限極限2：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans =exp(6*t)極限極限3：

12、syms x;f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans =1/2極限極限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)ans =-1/29.2.2 符號導(dǎo)數(shù)符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的普通調(diào)用格式函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的普通調(diào)用格式為：為：diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，那么系統(tǒng)按：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，那么系統(tǒng)按findsym函數(shù)函數(shù)指示的默許變量對符號表達(dá)式指示的默許變量對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。求一階導(dǎo)數(shù)。dif

13、f(s,v)：以：以v為自變量，對符號表達(dá)式為自變量，對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按：按findsym函數(shù)指示的默許變量對符號表達(dá)式函數(shù)指示的默許變量對符號表達(dá)式s求求n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。為正整數(shù)。diff(s,v,n)：以：以v為自變量，對符號表達(dá)式為自變量，對符號表達(dá)式s求求n階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。例例9-2 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。9.2.3 符號積分符號積分符號積分由函數(shù)符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的普通調(diào)用格式為：來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的普通調(diào)用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按

14、findsym函函數(shù)指示的默許變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式數(shù)指示的默許變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。求不定積分。int(s,v)：以：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積求不定積分。分。int(s,v,a,b)：求定積分運(yùn)算。：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。上的定積分。a和和b可以可以是兩個詳細(xì)的數(shù)，也可以是一個符號表達(dá)式，還可以是無是兩個詳細(xì)的數(shù)，也可以是一個符號表達(dá)式，還可以是無窮窮(inf)。當(dāng)函數(shù)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量關(guān)于變量x在閉區(qū)

15、間在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)上可積時，函數(shù)前往一個定積分結(jié)果。當(dāng)前往一個定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個是中有一個是inf時，函數(shù)前往時，函數(shù)前往一個廣義積分。當(dāng)一個廣義積分。當(dāng)a,b中有一個符號表達(dá)式時，函數(shù)前往中有一個符號表達(dá)式時，函數(shù)前往一個符號函數(shù)。一個符號函數(shù)。例例9-3 求以下積分。求以下積分。9.2.4 積分變換積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。變換。1傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換在在MATLAB中，進(jìn)展傅立葉變換的函數(shù)是：中，進(jìn)展傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)：求函數(shù)：求函數(shù)f(x)的傅

16、立葉像函數(shù)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。例例9-4 求函數(shù)求函數(shù)y=的傅立葉變換及其逆變換。的傅立葉變換及其逆變換。2拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換在在MATLAB中，進(jìn)展拉普拉斯變換的函數(shù)是：中，進(jìn)展拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t)：求函數(shù)：求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。例例9-5 計算計算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。的拉普拉斯變換及其逆變

17、換。3Z變換變換當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)列時，對數(shù)列f(n)進(jìn)展進(jìn)展z變變換的換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求：求fn的的Z變換像函數(shù)變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求：求Fz的的z變換原函數(shù)變換原函數(shù)f(n)。例例9-6 求數(shù)列求數(shù)列 fn=e-2n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。9.3 級級 數(shù)數(shù)9.3.1 級數(shù)符號求和級數(shù)符號求和求無窮級數(shù)的和需求符號表達(dá)式求和函數(shù)求無窮級數(shù)的和需求符號表達(dá)式求和函數(shù)symsum，其調(diào)用，其調(diào)用格式為：格式為：symsum(s,v,n,m)其中其

18、中s表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式。表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表達(dá)式。v是求和變是求和變量，量，v省略時運(yùn)用系統(tǒng)的默許變量。省略時運(yùn)用系統(tǒng)的默許變量。n和和m是求和的開場項是求和的開場項和末項。和末項。例例9-7 求以下級數(shù)之和。求以下級數(shù)之和。9.3.2 函數(shù)的泰勒級數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a)該函數(shù)將函數(shù)該函數(shù)將函數(shù)f按變量按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項項(即變量即變量v的的n-1次冪次冪)為止，為止，n的缺省值為的缺省值

19、為6。v的的缺省值與缺省值與diff函數(shù)一樣。參數(shù)函數(shù)一樣。參數(shù)a指定將函數(shù)指定將函數(shù)f在自變在自變量量v=a處展開，處展開，a的缺省值是的缺省值是0。例例9-8 求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式。求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式。9.4 符號方程求解符號方程求解9.4.1 符號代數(shù)方程求解符號代數(shù)方程求解在在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)數(shù)solve實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達(dá)式：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為默許變的代數(shù)方程，求解變量為默許變量。量。solve(s,v)：求解符號表達(dá)式：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為的代數(shù)方程，求解變量為v。solve(s1,s2,s