數(shù)學建模最佳組隊方案

1、數(shù)學建模論文加權(quán)向量組合安排最佳組隊方案摘要：在一年一度的數(shù)學建模競賽活動中，都會有很多院校組織學生參加數(shù)學建模競賽，比賽規(guī)則就是3個人組成一個隊，但是每個學校都會有同樣的問題，那就是在挑選出來的參賽團隊中如何安排組隊才能使隊伍實力最強，以及整個團隊實力最強，即追求一種整體實力最大化，這是參賽之前每個院校必須做好的工作，組隊原則是隊員各方面能力能互補。根據(jù)某院校20名參賽預(yù)選隊員，學校決定從20名隊員中選出18名隊員參加數(shù)學建模競賽。根據(jù)對20名隊員各項（7項）衡量指標判定學生的綜合素質(zhì)，我們通過定義7項指標的權(quán)重得到一個正互反陣，采用層次分析法，進行分析，并且檢驗是否通過一致性檢驗，即cr=

2、50.1則通過一致性檢驗，那么就可以知道每一個學生的綜合ri成績，通過篩選把最差的兩個學生排除，就得到安排人數(shù)及名單，經(jīng)檢驗在問題一中各項指標分層分析都通過一致性檢驗，運用MATLAB進行計算輸出結(jié)果。在問題二中采用一隨機三個人進行組合，進行隨機組隊，然后采用對每一個隊組成的3x7的一個矩陣這樣的矩陣通過MATLAB計算有816個，那么就有816種組合方式，在矩陣中每一行表示學生的姓名，列表示學生的各項指標，為了讓三個對員能夠形成互補，我們采用調(diào)用函數(shù)max()方法進行搜索每一列最大值，構(gòu)成一個新的數(shù)組，代表該隊的各項能力水平，這樣依次取出就得到816個隊的各項指標的成績，再與問題一里面的權(quán)重

3、向量w相乘，就得到一個816x1的一個總體綜合實力的矩陣，再通過排序篩選出最大的一個值，找到與之對應(yīng)的組合隊員，那么就可以確定該隊實力最強。問題三采用隨機排序然后每隔3個數(shù)歸為一個整體代表每一個，一共有六個，通過增加其隨機次數(shù)來確定它的穩(wěn)定值。關(guān)鍵詞:層次分析，隨機數(shù)循環(huán)，加權(quán)向量，MATLAB,一致性檢驗.問題重述：問題一:對于問題一的得要求要在20個隊員中選出最好的18個人參加比賽，通過篩選把最后的兩個同學進行排就可以確定參賽隊員名單。問題二:對于問題二，根據(jù)題目要求通過對全局組合進行篩選，這里運用問題一里面的數(shù)據(jù)，通過層次分析出來的權(quán)向量w,以及篩選出來的18個隊員名單進行排列組合的所有

4、可能性做一個全局計算，得到每種可能組隊的一個總體評價分數(shù)指標，然后篩選出最大的一個分數(shù)，就可以知道該隊的人員組合安排。問題三:對于問題三，根據(jù)題目要求篩選出來的18名隊員組成的六個隊需要進行一個科學合理的搭配使得總體水平效果最好，要解決的問題是具體安排每一個隊由哪些人員組成，需要解決的是隊員組成的隊伍里面隊員能夠進行相互各方面的缺陷，這樣才能使總體效果最好。二.模型假設(shè):1 .假設(shè)競賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項條件；2 .參賽隊員都能正常發(fā)揮自己的水平；3 .假設(shè)7個指標的影響度是逐漸降低的4 .假設(shè)隨機組組隊，每個隊員在該組都能彌補其他兩人的不足5 .假設(shè)每隊的綜合能力只是取決于他們的

5、7項指標三.符號說明:CI:一致性指標；CR：一致性比率；RI：隨機一致性指標；X:7個指標的權(quán)重Y：每個隊員的綜合得分W:每名隊員依據(jù)各個指標所占權(quán)重所得分數(shù)Tl:每個方案總分t：一個方案下每個隊的競技水平乙：表示組隊的名稱四.模型建立與求解:問題一:該問題是一個綜合排序問題。對于此類問題，可通過層次分析法知道不同評價指標所占權(quán)重，然后根據(jù)權(quán)重進行整體評估與排序。在本題中，依據(jù)層次分析法，目標層為選擇隊員；準則層為學科成績、智力水平、動手能力、寫作能力、外語能力、協(xié)作能力、其它特長；方案層為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T這20個待選隊員（如圖1

6、）。假設(shè)7個評價指標所占權(quán)重是依次遞減的，分別為1,2,3,4,5,6,7。通過兩兩比較建立成對比較陣（如圖2）,然后進行一致性檢驗，若檢驗通過，則計算出目標層與準則層之間權(quán)重X。針對準則層與方案層，若用層次分析法，需建立7個20父20的矩陣，人為工作量過大；且心理學家認為，成對比較因素不宜超過9個，而此時的成對比較因素有20個，因此準則層與方案層之間的權(quán)重計算不用層次分析法，而通過Excel直接依據(jù)各個指標所占權(quán)重計算每個人的得分，再將每個人的7個指標得分求和得出每個隊員的綜合得分Y,并對總得分Y降序排列排除最后兩名隊員。圖1:計算每名隊員綜合得分的方法如下：（1）在matlab中輸入正互反

7、矩陣（圖2）,調(diào)用編寫好的層次分析法計算權(quán)重方程xxjj0,得出CI、CR,判斷一致性；（2）得出7個指標所占權(quán)重X;（3）通過Excel計算每名隊員依據(jù)各個指標所占權(quán)重所得分數(shù)W;（4）每個隊員各個指標的B求和，得出每個隊員的綜合分數(shù)Y；(5)個隊員的綜合分數(shù)C進行排序，選出前18位;輸入正互反矩陣(圖2)矩陣2:12345671234562i1234532：11-123421-31-41-531-41-51641-51-61-7213141231223得出CI=0.0326,CR=0.0247當正互反陣為7階時，對應(yīng)的RI=1.32得到結(jié)果：CIRI且CR0.1,所以通過一致性檢驗，可用產(chǎn)

8、生的權(quán)重7個指標權(quán)重分別為：X-0.3543,0.2399,0.1587,0.1036,0.0676,0.0448,0.0312隊員編號學科成績智力水平動手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長A8.698.287.99.56B8.28.88.16.57.79.12C88.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.9996G9.29.697.29.19.29H789.86.28.79.76I7.78.28.46.59.69.35J8.38.18.66.98.59.44K98.287.899.55L9.69.

9、18.19.98.79.76M9.59.68.38.199.37N8.68.38.28.1995O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.489.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28S7.78.19.67.699.69T98.89.57.97.796對B求和，得出每個隊員的綜合分數(shù)Y如下表:劭4BCDEEGHIJKLMNOPQRST場企;87.8.8.8.8.9.7.7.8.8.9.98.8.8.8.8.8.8.494857089041.06873775737婁18623584028204583203358335463435

10、600461608679297305320812486594924676665614663對每個隊員的綜合分數(shù)Y排序:隊員編號LMGDFPO綜合分數(shù)9.105369.06879.044948.833748.785228.780818.75006排名1234567隊員編號TREQACK綜合分數(shù)8.736838.726268.553998.534148.483068.428698.42356排名891011121314隊員編號NSJBIH宗合分數(shù)8.346258.301468.084067.965857.923377.80676B名151617181920由上表排序知，隊員H、I綜合得分較低，因此

11、淘汰。所選擇的18名隊員名單分別為：A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T。問題二:考慮到3名隊員之間能力的互補性，需選出3名隊員，他們每個人在7項評價指標中最高分予以保留生成新的最高分。將新生成的7項最高分按第一問的權(quán)重相加，得出最高綜合分。這3名隊員的綜合最高分越高，則這只隊伍的能力越強。對于每一項評價指標，三人進行比較，將3人中的最高值予以保留，得到由三人成績共同組成的新的一組指標。將新得出的一組指標分別乘以第一組得出的權(quán)重，讓后對一組中的7項指標求和，其積記為這一組的總分數(shù)。求出所有組合情況下每組的總分數(shù)，并選出所有總分數(shù)中的最大值。找出最大值所對應(yīng)的組

12、合情況，即為最佳3人組隊。經(jīng)過程序運行計算，得出總分最大值為9.5178,此時為第622種組合情況，對應(yīng)的隊員名單為：G、S、L。程序請看在附錄-第二問問題三:要求18名隊員組成6個隊，并且整體競賽技術(shù)水平最高，同時給出每個隊的競賽技術(shù)水平。通過matlab隨機產(chǎn)生18個元素的一行18列矩陣，隨機分成六組作為一個分組方案，編程類似問題二，最后通過總分t衡量，量化看一個方案的優(yōu)秀程度。經(jīng)過大數(shù)量的循環(huán)得到最優(yōu)方案(1)一次循環(huán)即為一個方案，隨機分出6個組，記為Zi(i=1,.,6)列出每個組的分數(shù)矩陣，例如隨機組合一個組如下8.698.287.99.568.28.88.16.57.79.12：8

13、8.68.58.59.29.68_(2)每個組各項的水平應(yīng)該由其三個隊員各項能力中最高的數(shù)組決定，所以用max()函數(shù)得出能代表每組各項水平，結(jié)果如下：0698.58.59.219.68(3)將每組通過用max()函數(shù)得到的行向量乘以每項能力的權(quán)重X得到t,t即為衡量每組綜合能力的數(shù)值。例如t-8.698.58.59.29.68*X-9.39409.39399.24528.96989.31149.29將t向量六項元素求和得Tl,用Tl值來衡量該方案的優(yōu)秀程度解得結(jié)果如下：I.ABCDEFGJKLMNOPQRST1當前最優(yōu)的六種組合組別A組第二組第三組隊員21071291314183水平9.39

14、49.3949.0659組別第四組第五組第六組隊員1551141781616水平9.35359.29079.0896上面為篩選后的十八名隊員排序編號分別為1,.18,所以對應(yīng)上表得到組隊方案：第一隊BLG第二隊NKO第三隊CTP第四隊EMQ第五隊DSJ第六隊AFR五.模型的誤差分析在第一問中，本文采用了層次分析法。依題意較主觀的對7項評價指標進行了重要度的評測。從不同的角度、不同側(cè)重點對7項評價指標的重要度進行評測，其評測結(jié)果存在差異，這將導致7項評價指標所占權(quán)重存在差異。在第三問中，由于全局搜索計算量過大，本文通過多次產(chǎn)生隨機組合的方法求18名隊員總體的最佳競賽水平。由于隨機生成的組合方法不

15、同，18名隊員的分組情況會有差異，18名隊員整體競賽水平也會有差異，但誤差可控制在0.01之內(nèi)。六.模型評價本文針對第一問，采用了層次分析法，能夠較科學的得出7項評價指標指標所占權(quán)重。但又未完全采用層次分析法，避免了由于成對比較因素過多而造成RI值不準確，保證了所求每個隊員綜合得分的準確性與科學性。本文對18名隊員所有組合情況進行了全局搜索，對于最佳組合能力衡量較全面，所選的3名隊員能力具有互補性。而對于每種組合情況，具有科學的量化標準。本程序能夠精確的選出所需的3名隊員,并給出綜合得分。本文對于18個隊員組成6隊的人員分組，進行了隨機生成，大大減少了計算機的工作量，同時所得結(jié)論亦科學合理。模型的不足受題目本身的影響，有些誤差無法避免，重要系數(shù)得到的正反矩陣是人為定義的誤差無法避免。七.