《應(yīng)用多元分析》第四章

1、第四章 多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)推斷v4.1 一元情形的回顧v4.2 單個(gè)總體均值的推斷v4.3 單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)v4.4 兩個(gè)總體均值的比較推斷v4.5 兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)v4.6 多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)（多元方差分析） v4.7 總體相關(guān)系數(shù)的推斷4.2 單個(gè)總體均值的推斷v一、均值向量的檢驗(yàn)v二、置信區(qū)域v三、聯(lián)合置信區(qū)間一、均值向量的檢驗(yàn)v設(shè)x1,x2, ,xn是取自總體xNp (, )的一個(gè)樣本，這里0,np，欲檢驗(yàn)H0：=0，H1：0v1.已知 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 拒絕規(guī)則為：若 ，則拒絕H021000Tnxx 220Tpv2. 未知 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 稱之為霍特林（

2、Hotelling）T2 統(tǒng)計(jì)量。當(dāng) H0 為真時(shí) 服從F(p,np) ，對(duì)給定的顯著性水平，拒絕規(guī)則為： 若 ，則拒絕H0 其中。2100TnxSx21,p nTFp npnp21npTp n22TTv例4.2.1 對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量，得樣本數(shù)據(jù)如表4.2.1所示。根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個(gè)指標(biāo)的均值0=(90,58,16)，現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)該地區(qū)農(nóng)村男嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：H0：=0，H1：0表4.2.1 某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)編 號(hào)身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)17860.616.

3、527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0查表得F0.01(3,3)=29.5，于是故在顯著性水平=0.01下，拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為農(nóng)村與城市的2周歲男嬰上述三個(gè)指標(biāo)的均值有顯著差異(p=0.002)。011282.08.060.2 ,2.214.51.531.6008.0400.5008.0403.1721.3100.5001.3101.9004.310714.62108.946423.1384814.621059.790037.37608.946437.376035.5936TxxSS1006 70.0741420.4

4、45nxSx20.010.013 53,3147.53TF二、置信區(qū)域212212,1,111TnnpTF p npp nnpPTFp npp nP nT xSxxSxv的置信度為1的置信區(qū)域?yàn)?當(dāng)p=1時(shí)，它是一個(gè)區(qū)間；當(dāng)p=2時(shí)，它是一個(gè)橢圓，這時(shí)可將其在坐標(biāo)平面上畫(huà)出；當(dāng)p=3時(shí)，它是一個(gè)橢球；當(dāng)p3時(shí)，它是一個(gè)超橢球；它們均以 為中心。v同置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系一樣，置信區(qū)域與假設(shè)檢驗(yàn)之間也有著同樣的密切關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，0包含在上述置信區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)原假設(shè) H0：=0在顯著性水平下被接受。因此，可以通過(guò)構(gòu)造的置信區(qū)域的方法來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。12:nTxSxx三、聯(lián)合置信區(qū)間即以1的概

5、率對(duì)一切aRp成立，稱它為一切線性組合a，aRp的置信度為1的聯(lián)合置信區(qū)間（simultaneous confidence intervals）。v對(duì)k個(gè)線性組合ai，i=1,2, ,k，有TnTn a xa Saa a xa Sa1PTnTn aa xa Saa a xa Sa11kiiiiiiiiPTnTn a xa Saa a xa Sav當(dāng)k很小時(shí)，聯(lián)合T2置信區(qū)間的置信度一般會(huì)明顯地大于1，因而上述區(qū)間會(huì)顯得過(guò)寬，即精確度明顯偏低。這時(shí)，我們可以考慮采用邦弗倫尼 （Bonferroni）聯(lián)合置信區(qū)間：它的置信度至少為1。v若t/2k(n1)T ，則邦弗倫尼區(qū)間比T2區(qū)間要窄，這時(shí)宜采

6、用前者作為聯(lián)合置信區(qū)間；反之，若t/2k(n1)T，則邦弗倫尼區(qū)間比T2 區(qū)間寬，宜采用后者作為聯(lián)合置信區(qū)間。v當(dāng)k=p時(shí)，邦弗倫尼區(qū)間要比T2 區(qū)間窄。故在求的所有p個(gè)分量1, 2, , p的聯(lián)合置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)采用邦弗倫尼區(qū)間。,1,2,iiiiiiiTnTnika xa Saa a xa Sa/2/2111,2,ikiiiikiitnntnnika xa Saa a xa Sav例4.2.2 為評(píng)估某職業(yè)培訓(xùn)中心的教學(xué)效果，隨機(jī)抽取8名受訓(xùn)者，進(jìn)行甲和乙兩個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，其數(shù)據(jù)列于表4.2.2。假定x=(x1,x2)服從二元正態(tài)分布。n=8,p=2，取1=0.90，F(xiàn)0.10(2,6)=3.

7、46，于是，T0.10=2.841。表4.2.2 兩個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試成績(jī)編 號(hào)12345678甲項(xiàng)成績(jī)x16280668475805479乙項(xiàng)成績(jī)x27077758787916184172.5112.571496.1429,7996.1429103.14290.04360.04060.04060.0475xSS的0.90置信區(qū)域?yàn)榧?0.0436(172.5)20.0812(172.5)(279)+0.0475(279)21.009這是一個(gè)橢圓區(qū)域。1和2的0.90聯(lián)合T2置信區(qū)間為即61.84183.16，68.80289.20這兩個(gè)區(qū)間分別正是橢圓在1軸和2軸上的投影。112272.50.04

8、360.0406872.5,798.073790.04060.04751272.52.841112.5714/872.52.841112.5714/8792.841103.1429/8792.841103.1429/81和2的0.90邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間為（t0.025(7)=2.3646）即63.63181.37，70.51287.49這個(gè)聯(lián)合置信區(qū)間在精確度方面要好于T2聯(lián)合置信區(qū)間。由該聯(lián)合置信區(qū)間可得到置信度至少為0.90的矩形置信區(qū)域（見(jiàn)圖4.2.1中的實(shí)線矩形），但其矩形面積要大于橢圓面積。1272.52.3646112.5714/872.52.3646112.5714/8792.

9、3646103.1429/8792.3646103.1429/8圖4.2.1 置信橢圓和聯(lián)合置信區(qū)間利用置信區(qū)域進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)v在例4.2.2中，如果在 =0.10下對(duì)假設(shè) H0：=0，H1：0 進(jìn)行檢驗(yàn)，其中=(1,2)，0=(01,02) ，則我們?nèi)菀桌脠D4.2.1中的橢圓得出檢驗(yàn)的結(jié)果。若被檢驗(yàn)值0位于圖4.2.1中的橢圓外，則拒絕；反之，則接受。v圖4.2.1中的虛線矩形在1和2軸上的區(qū)間范圍分別是1和2的0.90置信區(qū)間。當(dāng)0位于橢圓外虛線矩形內(nèi)的位置（如圖中A點(diǎn)）時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果雖拒絕H0，但如在=0.10下分別檢驗(yàn)H01：1=01，H11：101 和 H02：2=02，H12：202

10、則檢驗(yàn)結(jié)果都將接受原假設(shè)；當(dāng)0位于橢圓內(nèi)虛線矩形外的位置（如圖中B點(diǎn)）時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果雖接受H0，但H01：1=01和H02：2=02都將會(huì)被拒絕。4.3 單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)v設(shè)x1,x2, ,xn是取自多元正態(tài)總體Np(,)的一個(gè)樣本，0，np，欲檢驗(yàn)H0：C=，H1：C其中C為一已知的kp矩陣，kp,rank(C)=k，為已知的k維向量。v根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)知CxNk(C,CC)由于 111222rankrankrankrankk CCCCCC故CC0。故我們可以用上一節(jié)檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0的方法來(lái)檢驗(yàn)上述假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)原假設(shè)H0：C=為真時(shí)，對(duì)于給定的顯著性水平，拒絕規(guī)

11、則為：若 ，則拒絕H0其中 。v特別地，若欲檢驗(yàn)H0：C=0，H1：C0則T2可簡(jiǎn)化為 12TnCxCSCCx2,1nkTF k nkk n22TT21,k nTFk nknk12Tn x C CSCCxv例4.3.1 設(shè)xNp(,)，=(1,2, ,p)，0，x1,x2, ,xn是取自該總體的一個(gè)樣本，欲檢驗(yàn)H0：1=2= =p，H1：ij,至少存在一對(duì)ij令則上面的假設(shè)可表達(dá)為H0：C=0，H1：C0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為110010101001C12Tn x C CSCCx對(duì)于給定的顯著性水平，拒絕規(guī)則為：若 ，則拒絕H0其中由于C是行滿秩的，且每行均為對(duì)比向量（即有一個(gè)1和一個(gè)1，其余皆為0），

12、故稱C為對(duì)比矩陣。該例中對(duì)比矩陣C的選擇不是惟一的，比如也可以選取對(duì)比矩陣為22TT2111,11pnTFpnpnp*110001100001Cv例4.3.2 在例4.2.1中，假定人類有這樣一個(gè)一般規(guī)律：身高、胸圍和上半臂圍的平均尺寸比例為6:4:1，我們希望檢驗(yàn)表4.2.1中的數(shù)據(jù)是否符合這一規(guī)律，也就是欲檢驗(yàn)H0：1/6=2/4=3，H1：1/6, 2/4, 3至少有兩個(gè)不等令則上面假設(shè)可表達(dá)為H0：C=0，H1：C0經(jīng)計(jì)算從而230106C16.658.46856.660,4.056.66094.000 CxCSC故又因所以拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為這組數(shù)據(jù)與人類的一般規(guī)律不一致(p=0.

13、008)。上述的C也可以選擇為檢驗(yàn)的結(jié)果是不變的。1194.00056.6602285.636456.66058.468CSC126 8.45050.700Tn x C CSCCx220.010.0112 5,18.0454k nTFk nkTnk*014106C4.4 兩個(gè)總體均值的比較推斷v一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形v二、成對(duì)試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形v設(shè)從兩個(gè)總體Np(1,)和Np(2,)中各自獨(dú)立地抽取一個(gè)樣本 和 ，0，欲檢驗(yàn)H0：1=2，H1：121,2的無(wú)偏估計(jì)的聯(lián)合無(wú)偏估計(jì)其中12111211,nniiiinnxxyy112,nx xx212,ny yy11221211

14、2pnnnnSSS1212111211,11nniiiiiinnSxxxxSyyyy為兩個(gè)樣本協(xié)方差矩陣?；籼亓諸2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，對(duì)給定的，拒絕規(guī)則為：若 ，則拒絕H0其中121112121211ppn nTnnnnxySxyxySxy21212121,12nnpTF p nnpp nn22TT12212122(1)1p nnTFpnnpnnp，v在實(shí)際應(yīng)用中，一旦H0：1=2被拒絕了，則可以考慮對(duì)所有的i(1ip)，在相同的顯著性水平下再進(jìn)一步檢驗(yàn)H0i：1i=2i，以判斷是否有分量及（若有）具體是哪些分量對(duì)拒絕H0：1=2起了較大作用，這樣做常常是有益的。va(12)，aR

15、p的1聯(lián)合置信區(qū)間為v當(dāng)k很小時(shí)，可采用邦弗倫尼不等式給出ai(12)，i=1,2, ,k的1聯(lián)合置信區(qū)間1212121212ppnnnnTTn nn n axya S aa axya S a12/212121212/2121222ikipiiikipinntnnn nnntnnn naxya S aaaxya S av例4.4.1(例4.2.1續(xù)) 表4.4.1給出了相應(yīng)于表4.2.1的9名2周歲女?huà)氲臄?shù)據(jù)。我們欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)2周歲的男嬰與女?huà)氲木迪蛄坑袩o(wú)顯著差異。表4.4.1 某地區(qū)農(nóng)村女?huà)氲捏w格測(cè)量數(shù)據(jù)編 號(hào)身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)18058.414.0275

16、59.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5從例4.2.1得從表4.4.1計(jì)算得1116,82.0, 60.2,14.5158.0040.202.50140.2015.866.552.506.559.50nnxS222976.0,58.4,13.5196.0045.1034.50145.1015.7611.6534.5011.6514.50nnyS,所以因，故不能拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為兩個(gè)均值向量無(wú)顯著差異(p=0.27)。1122122112126.0,1.8,1.0

17、27.23086.56152.8462116.56152.43231.400022.84621.40001.84625.312ppnnnnn nTnnxySSSxySxy1220.050.0512120.052(1)13 133 133,113.5912.7281111p nnTFp nnpnnpF,220.05TT二、成對(duì)試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量v設(shè)(xi,yi)，i=1,2, ,n(np)是成對(duì)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，令di=xiyi，i=1,2, ,n又設(shè)d1,d2, ,dn獨(dú)立同分布于Np(,)，其中0，=12，1和2分別是總體x和總體y的均值向量。希望檢驗(yàn)H0：1=2，H1：12等價(jià)于H0：=0，H1：

18、0這樣，兩個(gè)總體的均值比較檢驗(yàn)問(wèn)題就可以化為一個(gè)總體的情形。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為21Tndd S d其中當(dāng)原假設(shè)H0：=0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的顯著性水平，拒絕規(guī)則為：若 ，則拒絕H0其中111niiinddxySdddd2,1npTF p npp n22TT21,p nTFp npnp4.5 兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)v設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本 和 分別取自總體Np(1,)和總體Np(2,)，0，n1+n22p，我們希望檢驗(yàn)H0：C(12)=，H1：C(12)其中C為一已知的kp矩陣，kp,rank(C)=k，為一已知的k維向量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為其中Sp是的聯(lián)合無(wú)偏估計(jì)。當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，112,nx

19、xx212,ny yy121212pn nTnnC xyCS CC xy21212121,12nnkTF k nnkk nn拒絕規(guī)則為：若 ，則拒絕H0其中v例4.5.1 某種產(chǎn)品有甲、乙兩種品牌，從甲產(chǎn)品批和乙產(chǎn)品批中分別隨機(jī)地抽取5個(gè)樣品，測(cè)量相同的5個(gè)指標(biāo)，數(shù)據(jù)列于表4.5.1。在多元正態(tài)性假定下，試問(wèn)甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的每個(gè)指標(biāo)間的差異是否有顯著的不同。該題就是要檢驗(yàn)H0：C(乙甲)=0，H1：C(乙甲)0其中22TT12212122,11k nnTFk nnknnk11000011000011000011C表4.5.1 甲、乙兩種品牌產(chǎn)品的指標(biāo)值指標(biāo)12345樣品甲111181518

20、152332731211732028272319418261818952223221610均 值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均 值24.821.824.623.220.4檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為經(jīng)計(jì)算121212pn nTnnxxCS Cxx乙甲乙甲4.0,2.6, 2.0, 4.0, 6.472.70033.02541.65018.67522.30033.02521.25021.30012.72511.92541.65021.30041.30016.3509.85018.67512

21、.72516.35011.45010.20022.30011.9259.85010.20021.650p xxS乙甲16.6,4.6,2.0,2.427.9008.57514.4004.4258.57519.95016.3755.75014.40016.37520.0505.2504.4255.7505.25012.7000.09180.03100.10760.06250.03100.16670.15890.0017pp C xxCS CCS C乙甲0.10760.15890.27820.08120.06250.00170.08120.1334所以由于 ，所以在=0.05下拒絕原假設(shè)H0(p=

22、0.044)。10.8136,1.2855,1.8028, 0.262814.2582pyCS CC xxxxC y乙甲乙甲21220.0512120.055 514.258235.645552,1145524,56.4 5.1933.216554 1Tk nnTFk nnknnkF 4.6 多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)（多元方差分析）v設(shè)有k個(gè)總體1,2, ,k，它們的分布分別是Np(1,),Np(2,), ,Np(k,)，今從這k個(gè)總體中各自獨(dú)立地抽取一個(gè)樣本，取自總體i的樣本為 ，i=1,2, ,k?，F(xiàn)欲檢驗(yàn)H0：1=2= =k，H1：ij,至少存在一對(duì)ij記12,iiiinxxx11111i

23、inkijijijnkijiijiijkiiiinSSTxxxxSSExxxxSSTRxxxx則SST=SSE+SSTR稱SST、SSE和SSTR分別為總平方和及交叉乘積和、誤差(或組內(nèi))平方和及交叉乘積和和處理(或組間)平方和及交叉乘積和，它們分別具有自由度(n1)、(nk)和(k1)。采用似然比方法可以得到威爾克斯（Wilks）統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的顯著性水平，拒絕規(guī)則為：若p,k1,nkp,k1,nk,，則拒絕H0其中臨界值p,k1,nk,滿足：當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，P(p,k1,nkp,k1,nk,)=p,m,r,常通過(guò)查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。,1,p kn kSSESSES

24、SESSTRSSTv例4.6.1 為了研究銷售方式對(duì)商品銷售額的影響，選擇四種商品（甲、乙、丙和?。┌慈N不同的銷售方式（、和）進(jìn)行銷售。這四種商品的銷售額分別為x1,x2,x3,x4,其數(shù)據(jù)見(jiàn)表4.6.1。表4.6.1 銷售額數(shù)據(jù)編 號(hào)銷售方式銷售方式銷售方式x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x41125603382106654455310653348026021198023333082454032101003446829536351260203656531228065634162654655142915040514772801174846825051306540320567544

25、812931146339538066945350190385046821055305462357466058520042453511906451507320814666273250113403903101109044222598754585240805552020060624402481011077507270766050718911069377260111076036420094332602808878299360121306139120060514291907363390320138045429270554039029511455494240146050442190654848117710

26、3544163101581542602806948442225100332733121613587507260125633122701406131234517574840028512056416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260v該題中，我們需要檢驗(yàn)H0：1=2=3，H1：1,2,3中至少有兩個(gè)不相等其中1,2,3分別為銷售方式、和的總體均值向量假定這三個(gè)總體均為多元正態(tài)總體，且它們的協(xié)差陣相同。p=4，k=

27、3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60123331190.8072.9094.1558.6551.4555.15,404.50417.75403.75230.65253.15292.0085.950055.083311408.66673258.6000iiiiinnxxxxxx313115221.301305.203581.254188.901305.20518.53963.831553.203581.25963.832480.831945.254188.901553.201945.2538529.3049290.858992.25364iiiiinijijijnnnSSTRx

28、 xxxSSTx xxx44.0028906.808992.259666.584658.334859.0036444.004658.33429509.3358114.0028906.804859.0058114.00175644.4044069.557687.0532862.7524717.907687.059148.053694.506412.20328SSESSTSSTR62.753694.50427028.5056168.7524717.906412.2056168.75137115.10于是由附錄43中的(43.4)式可得查F分布表得，F(xiàn)0.01(8,108)=2.683.039，從而

29、在=0.01的水平下拒絕原假設(shè)H0，因此可認(rèn)為三種銷售方式的銷售額有十分顯著的差異(p=0.004)。194,2,57191.64640.66632.4708SSESST1010574 1 1 0.66633.03940.6663F為了解這三種銷售方式的顯著差異究竟是由哪些商品引起的，我們對(duì)這四種商品分別用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)分析。利用SSTR和SSE這兩個(gè)矩陣對(duì)角線上的元素有查表得，F(xiàn)0.05(2,57)=3.16，F(xiàn)0.01(2,57)=5.01，故甲商品有顯著差異(p=0.041)，丁商品有十分顯著的差異(p=0.001),而乙和丙商品無(wú)顯著差異(p=0.208和p=0.848)。12345221.30 23.377,44069.55 57518.53 21.6159148.05 572480.83 20.166,427028.50 5738529.30 28.008137115.10 57FFFF如果剔除丁商品，然后再對(duì)其他三種商品用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，則有F0.05(6,110)=2.181.328，不顯著，因此說(shuō)明對(duì)甲、乙、丙這三種商品，銷售方式、和的總體均值向量之間無(wú)顯著