貝特朗悖論(幾何概型).doc

1、一個幾何概型試題的題源探究中學教研2010年第09期第38頁福建中學數學2010年第05期第23頁1題目點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為.（2009年福建省數學高考文科試題）解：如圖1,另一端點B只能在優(yōu)弧上運動，因此所求概率為BB優(yōu)弧長2P=1_2=.圓周長3B2題源圖22.1源于歷史名題初看此題以為是數學史上得一個經典的悖論貝特朗悖論，其實這是一個根據貝特朗悖論改編的題目.貝特朗悖論：“在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，問弦長超過其內接正三角形的邊長的概率是多少？”從不同方向考慮這道試題，可得不同結果：解法1如圖2,滿足條件

2、得弦為AP.不失一般性，先固定其中一點A于圓周上，則另一端點P只能在弧BC上運動,因此所求概率P=BC=1圓周長=3解法2如圖3,應用對稱性可預先固定直徑AB，點C,D為AB的四等分點作垂直于直徑AB的弦，若弦長要大于內接正三角形邊長，則半弦長£,于是弦心距2，即弦的中點須在線段CD上運動（弦中點與弦對應），故所求概率為p=cb=1AB2B圖3CA人2f、21、圖4解法3如圖4所示，弦長要大于內接正三角形邊長，則半弦長£，于是弦心距2,即弦中點必須在以o為圓心、半徑為2的圓內或圓上，故所求概率p=42兀4這導致同一事件有不同概率，因此為悖論.同一問題有3中不同的答案，原因在

3、于取弦時采取不同的等可能性假設！解法1假設端點在圓周上是均勻分布的；解法2假設弦中點在直徑上是均勻分布的；解法3是假設弦的中點在圓內是均勻分布的.這3種解答是針對3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的.因此，在試驗術語“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等時，應明確指明其含義，這又因試驗而異.幾何概率是19世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。然而，1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.悖論提出后，在數學界引起很大震動，促使數學家理性反思概率論的基礎理論.1932，這個問題

4、才由前蘇聯的數學家柯爾莫哥洛夫解決，他在其經典的著作概率論基礎中建立了在測度論的基礎上的概率論公理系統(tǒng)，從而把概率論建立在完全嚴格的數學基礎之上貝特朗悖論貝特朗概率悖論是一個著名的悖論題，與其他的集合悖論不一樣，這個悖論只是我們看起來“錯”而已，也并沒有像集合悖論一樣帶來一次數學危機，正確審視它，就是讓我們對“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已.“貝特朗悖論問題”：在半徑為1的圓內隨機地取一條弦，則其長超過該圓內接正三角形的邊長的概率是多少？取單位圓O，門O的內接正三角形的邊長等于：3，取門O的任一弦長AB，記“AB爲”B圖2解法1因為弦長只和它與圓心的距離有關，而與方向無關，因此不妨固定弦

5、的方向，考慮弦AB與垂直于它的直徑PQ的交點G,分別以P,Q為一個頂點作圓內接正三角形，這兩個正三角形的邊與PQ分別交于點M,N，交點G位于MN上時(如圖1)，有弦AB>J3，否則AB.由于MN=1PQ，P(A)=22解法2任何弦都交圓周于兩點，不失一般性，不妨固定弦的一端A于圓上，以此點位頂點作一圓內接正三角形AAPQ，弦的另一端B在圓周上“隨機地”變動(如圖2)，當B點落在ZPAQ所夾弧上時，有弦AB>J3，否則AB/，PQ的長是圓周長的-,P(A)=-.解法3因為弦長被中點唯一確定，在圓內“隨機地”取一點P作為弦AB的中點，若OP<*，則弦AB>斗3，否則AB二爲

6、，故點P在以O為圓心，2為半徑的圓內(如圖3)，而小圓的面積=大圓面積的;，二P(A)=.44幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。然而，1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”（亦稱”貝特朗怪論“），矛頭直指幾何概率概念本身.在一給定圓內所有的弦中任選一條弦,求該弦的長度長于圓的內接正三角形邊長的概率.取單位圓O，口O的內接正三角形的邊長等于7亍,取口O的任一弦長AB,記“AB運”2兀4兀1. L,如果,其發(fā)生的概率為112. L空3,如果r2,其發(fā)生的概率為2-3-L再，如果（x,y）在半徑為2的圓內，其發(fā)生的概率為4-悖論

7、分析1）由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60120之o01間，其長才合乎要求所有方向是等可能的，則所求概率為3此時假定端點在圓周上均勻分布.132）由于對稱性，可預先指定弦的方向作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于丁點與丁441點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長。所有交點是等可能的，則所求概率為2此時假定弦的中心在直徑上均勻分布.3）弦被其中點位置唯一確定.只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長1才合乎要求.中點位置都是等可能的，則所求概率為此時假定弦長被其中心唯一確定4這導致同一事件有不同概率，因此為悖論幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多

8、概率問題的解決變得簡單而不用運用微積分的知識。在19世紀，人們一度認為任何概率問題都有唯一的解答。然而，1899年，法國學者貝特朗(JosephBertrand)提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指一些數學基本概念。貝特朗的這個悖論以及他的概率論對幾何概率的不確定性提出的批評，促使概率論向公理化方向發(fā)展。然而，人類也因此再一次錯失了一次糾偏的大好時機！在半徑為1的圓內的所有弦中任選一條弦，求該弦的長度長于圓的內接正三角形邊長的概率.解法一：由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60120之間，其00長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1.解法二：由于對稱性，可預

9、先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于1點與3點間的44弦，其長才大于內接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為2.解法三：弦被其中點位置唯一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要1求。中點位置都是等可能的，則所求概率為丁.4三個看似都有道理的解法卻得到了不同的結果，所以我們稱其為paradox。其實，這些結果都是對的。因為它們采用了不同的等可能性假定：解法一假定端點在圓上均勻分布；解法二假定半徑在圓內均勻分布以及弦的中點在半徑上均勻分布；解法三假定弦的中點在圓內均勻分布.這三種解法針對三種不同的隨機實驗，對于各自的隨機實驗它們都是正確的.現在，如果

10、我們假定弦的中點在圓內均勻分布。那么前兩種假設中弦的中點便不是均勻分布了.它們的分布情況如下：解法一的弦中點分布：從貝特朗的這個悖論，我們可以清醒地看到數學家們對點的分布狀態(tài)影響問題的結果是有認識的！事實上，貝特朗悖論告訴了我們一個很淺顯的道理：我們在解決一個問題之前，就應該設定點的分布狀態(tài)。然而，遺憾的是數學家們不去反省由此悖論反應出來的數學基礎是否牢固，而總是弄出一大堆理論來試圖亡羊補牢。說句不好聽的話，數學的公理化是什么？就是如果你說的一大堆謬論沒有自相矛盾，那么恭喜你，你創(chuàng)造了一套理論.現在問題來了！數學中我們經常所說的“點”究竟是什么？平面或者空間中點的分布狀態(tài)到底是怎么樣的？我們一般傾向于假設點在平面或者空間是均勻分布的，但是“均勻”這個詞并不能表達所有，是在每個方向上是均勻的嗎？在每條直線上的密度是一樣的嗎？我們能建立直角坐標系嗎？如果我們建立了直角坐標平面xOy，那么就等于宣布了平面上的點在x軸和y軸方向上都是均勻的，而且在X軸和y軸上的“密度”是相同的！我們在向自己的學生講授函數知識的時候，總是說單調函數是從定義域A到值域B上的一一對應。果真是這樣嗎？下面我也仿照貝特朗悖論，提出下面一個悖論：首先我們假設平面內的點在x軸和y軸上都是均勻分布的，這個大家沒有意見吧？！給定一(x,0<x<1個分段函數：y=f。這是一個單調函數，按照數