高中全程復習方略配套簡單的三角恒等變換 (2)ppt課件

1、第六節(jié) 簡單的三角恒等變換三年三年3 3考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進展簡單的恒等變換余弦和正切公式進展簡單的恒等變換( (包括導出積化和差、和差包括導出積化和差、和差化積、半角公式化積、半角公式, ,但對這三組公式不要求記憶但對這三組公式不要求記憶).).1 1利用公式變換利用公式變換, ,進展三角函數(shù)式的化簡是本節(jié)調(diào)查的熱點進展三角函數(shù)式的化簡是本節(jié)調(diào)查的熱點. .2.2.常與實踐運用問題、函數(shù)等結(jié)合命題常與實踐運用問題、函數(shù)等結(jié)合命題. .3.3.高考主要以解答題

2、的方式進展調(diào)查高考主要以解答題的方式進展調(diào)查. .1.1.半角公式半角公式cos2_cos2_ 22 以 代, 以代coscos_ sin_cos_22tan_2212sin22cos1212sin222cos121 cos21cos21cos1cos【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：他能用思索：他能用sinsin、coscos表示表示tan tan 嗎？嗎？提示：提示：2sinsin2cossin222tan21 coscoscos2cos222，sinsin2sin1 cos222tan.2sincoscos2sin222(2)(2)判別以下公式及其變形能否正確判別以下公式及其變形

3、能否正確.(.(請在括號中填寫請在括號中填寫“或或“) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 coscos22 21cossin221costan2sin【解析】根據(jù)公式可知根號下分子上應該是【解析】根據(jù)公式可知根號下分子上應該是“+ +，故錯，故錯; ;等號右邊分子上應該是等號右邊分子上應該是“- -，故錯；等號右邊分子上應該是，故錯；等號右邊分子上應該是“- -，可以化簡驗證，故錯，可以化簡驗證，故錯. .答案：答案： (3)(3)填空：填空：cos215cos215-sin215-sin215=_.=_.2sin2152sin215-1=_.-1=_.【解析】【解析】co

4、s215cos215-sin215-sin215=cos30=cos30= =2sin2152sin215-1=-cos30-1=-cos30=-=-答案：答案： - - 3;23.232322.2.形如形如asinx+bcosxasinx+bcosx的式子的化簡的式子的化簡asinx+bcosx=_sin(x+)asinx+bcosx=_sin(x+)( (其中其中 ) )22ab2222basin,cosabab【即時運用】【即時運用】(1)(1)把以下三角函數(shù)式化成把以下三角函數(shù)式化成 sin(x+) sin(x+)的方式的方式sin+ cos=_;sin+ cos=_;sin+cos=

5、_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.5sin+12cos=_.(2)(2)計算：計算：22ab3cos103sin10_.1cos80【解析】【解析】(1)(1)sin+cos= ;sin+cos= ;5sin+12cos= sin(+)=13sin(+)(5sin+12cos= sin(+)=13sin(+)(其中其中tan= ).tan= ).(2)(2)原式原式2sin3cos13sin()2sin()332sin()4225121252132( cos10sin10 )2sin40222.2sin402sin 40答案：答案：(1)(1)2sin(+ )2sin(+ )1

6、3sin(+)(13sin(+)(其中其中tan= )tan= )(2) (2) 32sin()41252三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)式的求值【方法點睛】【方法點睛】三角函數(shù)式求值的類型和思緒三角函數(shù)式求值的類型和思緒(1)(1)三角函數(shù)式求值的類型三角函數(shù)式求值的類型三角函數(shù)式求值分為直接求值和條件求值三角函數(shù)式求值分為直接求值和條件求值, ,直接求值就是直接直接求值就是直接根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)式的值式的值. .條件求值是要根據(jù)條件選擇適宜的公式進展三角恒等條件求值是要根據(jù)條件選擇適宜的公式進展三角恒等變換求

7、得所需求的值，同時留意所給角的范圍變換求得所需求的值，同時留意所給角的范圍. .(2)(2)條件求值的普通思緒條件求值的普通思緒先化簡所求式子或所給條件先化簡所求式子或所給條件; ;察看知條件與所求式子之間的聯(lián)絡察看知條件與所求式子之間的聯(lián)絡( (從三角函數(shù)名及角入手從三角函數(shù)名及角入手););將知條件代入所求式子將知條件代入所求式子, ,化簡求值化簡求值. . 【例【例1 1】求以下三角函數(shù)式的值】求以下三角函數(shù)式的值. .(1)sin50(1)sin50(1+ tan10(1+ tan10)=_.)=_.(2)(2)假設假設cos(+)= ,cos(-)= ,cos(+)= ,cos(-)

8、= ,那么那么tantan=_.tantan=_.(3)(3)知知tan( +)=2,tan( +)=2,那么那么 =_. =_.【解題指南】【解題指南】(1)(1)把切函數(shù)換成弦函數(shù)再用公式化簡求值，重在把切函數(shù)換成弦函數(shù)再用公式化簡求值，重在公式的逆用；公式的逆用；(2)(2)利用兩角和、差的余弦公式展開求利用兩角和、差的余弦公式展開求coscos,coscos,sinsinsinsin，相除得結(jié)果；，相除得結(jié)果；(3)(3)根據(jù)知條件求出根據(jù)知條件求出tantan，把所給，把所給的三角函數(shù)式變形，代入的三角函數(shù)式變形，代入tantan即可即可. .315354212sincoscos 【

9、規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)原式原式=sin50=sin50( )( )=sin50=sin50=2sin50=2sin50= =3sin101cos10132( cos10sin10 )22cos10sin30 cos10cos30 sin10cos10sin40sin80cos102cos401.cos10cos10cos10(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由解得由解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sins

10、in= ,那么那么15352515sinsin1tantan.coscos2(3)(3)由由于是于是= =答案：答案：(1)1 (2) (3)(1)1 (2) (3)1tan1tan()2,tan,41tan3得22221sin cos 2sincoscos 2sincoscos 221( )1tan 123.12tan132131223【互動探求】把本例【互動探求】把本例(2)(2)中的中的“cos(+)= ,cos(-“cos(+)= ,cos(-)= )= 改為改為“sin(+)= ,sin(-)= “sin(+)= ,sin(-)= , ,如何求如何求 ？15351535tantan【

11、解析】由于【解析】由于sin(+)=sincos+cossin= ,sin(+)=sincos+cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,sin(-)=sincos-cossin= ,兩式相加得兩式相加得sincos= sincos= 兩式相減得兩式相減得cossin=- cossin=- 152515tan2.tan 即得35【反思【反思感悟】三角函數(shù)式求值問題的留意點感悟】三角函數(shù)式求值問題的留意點(1)(1)三角函數(shù)式求值時一定要準確地運用公式和選擇恰當?shù)乃季w，三角函數(shù)式求值時一定要準確地運用公式和選擇恰當?shù)乃季w，否那么會使求值過程繁瑣否那么會使求值過程繁瑣. .(

12、2)(2)條件求值要求準確利用所給的條件，在此能夠涉及到式子的條件求值要求準確利用所給的條件，在此能夠涉及到式子的變形和角的變換，同時要留意角的范圍變形和角的變換，同時要留意角的范圍. .【變式備選】知【變式備選】知 求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析】【解析】= =又又故可知故可知3 3cos(),45 224cos(2)cos2cossin2sin4442cos2sin2 ,2337,.224443cos()0,4537,2444sin(),45 從而從而= = = =cos2sin(2)2sin()cos()24443242 ().5525 2sin2cos(2)1

13、2cos ()24 23712 (.525 ）2cos2)(cos2sin2)42（224731 2().2252550 三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡【方法點睛】【方法點睛】三角函數(shù)式化簡的原那么、要求及方法三角函數(shù)式化簡的原那么、要求及方法(1)(1)三角函數(shù)式的化簡原那么三角函數(shù)式的化簡原那么: :一是一致角，二是一致函數(shù)名一是一致角，二是一致函數(shù)名. .能能求值的求值，必要時切化弦，更易通分、約分求值的求值，必要時切化弦，更易通分、約分. .三角三角函數(shù)函數(shù)式化式化簡的簡的要求要求能求出值的應求出值；能求出值的應求出值；盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；盡量使項數(shù)最少；

14、盡量使項數(shù)最少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù). .(2)(2)(3)(3)三角函數(shù)式化簡的方法主要是弦切互化，異名化同名，異角三角函數(shù)式化簡的方法主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角化同角. .【提示】同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式在化簡中經(jīng)常運用，【提示】同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式在化簡中經(jīng)常運用，特別是特別是“1“1的代換經(jīng)常用到的代換經(jīng)常用到. . 【例【例2 2】化簡】化簡 (,2). (,2).【解題指南】利用三角函數(shù)的倍角公式湊根號下為完全平方式，【解題指南】利用三角函數(shù)的倍角公式湊根號下為完全平方式，化無理

15、式為有理式，但要留意化無理式為有理式，但要留意的范圍的范圍. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】2 1 sin2 1 cos ,221sinsincos2sincos22222(sincos)22，222 1 cos2(12cos1)4cos22原式原式= =(,2),(,2),cos 0,cos 0,當當 時，時，sin +cos 0sin +cos 0，原式原式=2(sin +cos )-2cos =2sin=2(sin +cos )-2cos =2sin2 sincos2 cos.222(,),22233,2242即22222,2當當 2 0) (0)的最小正周期為的最小正周期為.(1)(1)求

16、求的值的值; ;(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0 0， 上的取值范圍上的取值范圍. .【解題指南】先利用三角恒等變換把【解題指南】先利用三角恒等變換把f(x)f(x)化成化成y=Asin(x+)y=Asin(x+)+B+B的方式，求周期得到的方式，求周期得到,再討論三角函數(shù)的性質(zhì)再討論三角函數(shù)的性質(zhì). .3sinxsin(x)223【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f(x)=(1)f(x)= = =由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為,且且00，所以所以 = =，解得，解得=1.=1.1cos2x3sin2x22311sin2xcos2x2221sin

17、(2x)6222(2)(2)由由(1)(1)得得f(x)=f(x)=由于由于0 x ,0 x ,所以所以所以所以由于由于0sin 0sin 所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0, 0, 上的上的取值范圍為取值范圍為0, 0, . .1sin(2x).622372x,6661sin(2x)1.2613(2x)622，2332【反思【反思感悟】此題第感悟】此題第(1)(1)問主要是要求正確的恒等變形，第問主要是要求正確的恒等變形，第(2)(2)問要留意問要留意0 0， . .這樣這樣2x- 2x- 的范圍就能詳細求出，再求的范圍就能詳細求出，再求f(x)f(x)的取值范圍的取值范圍. .236【

18、變式訓練】知函數(shù)【變式訓練】知函數(shù)f(x)= +sinxcosx.f(x)= +sinxcosx.(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)在在0, 0, 上的值域上的值域. . 【解析】【解析】(1)f(x)= +sinxcosx(1)f(x)= +sinxcosxf(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T= =.T= =.23sin x223sin x1 cos2x13sin2x22 133sin2xcos2x2223sin(2x)3222(2)(2)所以所以f(x)f(x)在在 上的值域為上的值域為 . . 40 x,2x

19、,23333sin(2x)1,230,22332，【總分值指點】三角函數(shù)性質(zhì)綜合題的規(guī)范解答【總分值指點】三角函數(shù)性質(zhì)綜合題的規(guī)范解答 【典例】【典例】(13(13分分)(2021)(2021四川高考四川高考) )知函數(shù)知函數(shù)f(x)= xR.f(x)= xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)知知cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,求證：求證：f()f()2-2=0. 2-2=0. 73sin(x)cos(x),4445452【解題指南】【解題指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成

20、化成Asin(x+)Asin(x+)的方式；的方式；(2)(2)利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得利用兩角和與差的余弦公式展開，兩式相加可得2coscos=02coscos=0，結(jié)合，結(jié)合0 0 可得可得= .= .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f(x)=(1)f(x)= =2sin(x- ). 4=2sin(x- ). 4分分f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(x)f(x)的最小值為的最小值為-2. 6-2. 6分分2273sin(x2)sin(x)442sin(x)sin(x)444(2)(2)由知得由知得coscos+sinsin= ,coscos+sins

21、in= ,coscos-sinsin=- ,coscos-sinsin=- ,兩式相加得兩式相加得2coscos=0. 92coscos=0. 9分分f()f()2-2=4sin2 -2=0. 132-2=4sin2 -2=0. 13分分45450,22 4【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示解答本題時有三處容易失分：解答本題時有三處容易失分：(1)(1)第第(1)(1)問中三角恒等變換中的誘導公式容易用錯得問中三角恒等變換中的誘導公式容易用錯得不到化

22、簡后的正確結(jié)果不到化簡后的正確結(jié)果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而而導致后續(xù)計算無法進行導致后續(xù)計算無法進行. . (3)(3)在第在第(2)(2)問中得到問中得到2coscos=02coscos=0后忽略后忽略0 0 而得不到而得不到的值，而無法繼續(xù)往下做的值，而無法繼續(xù)往下做. .2備備考考建建議議解答此類問題時還有以下幾點容易造成失分，在備考解答此類問題時還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：時要高度關(guān)注：(1)(1)三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準確造成后面求解繁瑣或錯三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準確造成后面求解繁瑣或錯誤誤. .

23、(2)(2)忽略特殊角的值而使問題漏解忽略特殊角的值而使問題漏解. .另外如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復雜，我們必另外如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復雜，我們必須先通過恒等變換，將三角函數(shù)的表達式變形化簡，須先通過恒等變換，將三角函數(shù)的表達式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)討論其圖象和性質(zhì)然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)討論其圖象和性質(zhì). . 1.(20211.(2021大綱版全國卷大綱版全國卷) )知知( ,)( ,)，sin= ,sin= ,那么那么tan2=_.tan2=_.【解析】由【解析】由( ,),sin= ( ,),sin= ，得，得cos=- ,cos=- ,答案：答案： 2552552 55sin1tan,cos2 22tan4tan2.1tan 3 432.(20212.(2021大綱版全國卷大綱版全國卷) )知知(, )(, )，tan=2tan=2，那么，那么cos=_.cos=_.【解析】由【解析】由(, ),tan=2(, ),tan=2得得sin=2cos,sin=2cos,又又sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,所以所以cos=-cos=-答案：答案：- - 32325.5553.(20213.