王升瑞數(shù)項級數(shù)及審斂法學習教案

1、會計學1王升瑞數(shù)項級數(shù)王升瑞數(shù)項級數(shù)(j sh)及審斂法及審斂法第一頁，共59頁。2二、交錯二、交錯(jiocu)級數(shù)及其審斂法級數(shù)及其審斂法 三、絕對三、絕對(judu)收斂與條件收斂收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數(shù)一、正項級數(shù)(j sh)及其及其審斂法審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 第十二章 第1頁/共59頁第二頁，共59頁。3若,0nu1nnu定理定理(dngl) 1. 正項級數(shù)正項級數(shù)1nnu收斂(shulin)部分和序列 nSnSSSS321,有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù)

2、.單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”第2頁/共59頁第三頁，共59頁。4 1,1nnu 21nnv且存在(cnzi),ZN對一切(yqi),Nn 有1、 若級數(shù)（2)則級數(shù)(1)2、 若級數(shù)（1）則級數(shù)（2）證略證略則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),第3頁/共59頁第四頁，共59頁。5121. 1nn解解 1：21nun1nnv發(fā)散(fsn) ,11. 2nn11nnvn211nnn1112nnn而收斂(shulin)由比較判別法可知原級數(shù)收斂解解 2：nun1nvn1nn11而由比較判別發(fā)可知原級數(shù)發(fā)散。11nn第4頁/共

3、59頁第五頁，共59頁。6證明(zhngmng)級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散(fsn) .證證: 因為因為(yn wi)2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)111nn21nn發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .第5頁/共59頁第六頁，共59頁。7pppn131211(常數(shù)(chngsh) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因為(yn wi)對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn12）若, 1p順序地把一項、兩項、四項、八項括在一起ppppppp1518171514131211NoImagepppppp81814

4、14121211312112121211ppp收斂121pq此式由比較判別法可知 p1 時，p 級數(shù)收斂。第6頁/共59頁第七頁，共59頁。8發(fā)散時當收斂時當級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù)(j sh): (j sh): 幾何級數(shù)幾何級數(shù)(j sh), P-(j sh), P-級數(shù)級數(shù)(j sh), (j sh), 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)(j sh).(j sh).調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用(chn yn)的比較級數(shù).若存在(cnzi),ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu11111123Ppppnnn 第7頁/共59頁第八

5、頁，共59頁。9.211的斂散性判別級數(shù)nnn:解nnnnvnu21211nnv而級數(shù).211收斂級數(shù)nnn收斂121nn第8頁/共59頁第九頁，共59頁。10的斂散性！判別級數(shù)3)!2(! 2! 1nnn:解1! 2!(2 )!nnun)!2(!nnn！)2()!1(nnnnn2)3(21）（21n收斂而級數(shù)121nn收斂！級數(shù)3)!2(! 2! 1nnn第9頁/共59頁第十頁，共59頁。11證明收斂設(shè)正向級數(shù),1nnu收斂12) 1 (nnu收斂11)2(nnnuu:證明)(1收斂，1nnu0nu10, 0nuNnN時，有當,2nnuuNn時，當收斂，而Nnnu收斂Nnnu2收斂即12nn

6、u第10頁/共59頁第十一頁，共59頁。121nnuu,)(11111收斂而nnnnnnnuuuu收斂11nnnuu收斂11)2(nnnuu證明收斂設(shè)正向級數(shù),1nnu證證1nnuu)(211nnuu第11頁/共59頁第十二頁，共59頁。13,1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(lin )級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l =+ ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證明證明(zhngmng)略！略！設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 1, 則原級數(shù)(j sh)收斂。第24頁/共59頁第二十五頁，共59頁。261!. 4nnne

7、n解：解：nnnuu1limnlimnne111比值(bzh)法失效，但的，的增大單調(diào)上升趨于是隨ennn11, 11nnuun都有對任何故級數(shù)(j sh)發(fā)散。11)1()1( !limnnnnnen! nennnnnnnne)1 (lim第25頁/共59頁第二十六頁，共59頁。27 limn)0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)(gnj)定理4可知:,10時當 x級數(shù)(j sh)收斂 ;,1時當 x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當 x第26頁/共59頁第二十七頁，共59頁。28nlim 0!2nnn解：考慮解：考慮(kol)以以 2!n

8、nn為通項的級數(shù)(j sh) 21!nnnn用比值法知級數(shù)(j sh)收斂，nnulim 2!nnnnlim0第27頁/共59頁第二十八頁，共59頁。29設(shè) 1nnu為正項級,limnnnu則;,1) 1(級數(shù)收斂時當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散時當 證明證明(zhngmng): 略！略！數(shù), 且時 , 級數(shù)可能(knng)收斂也可能(knng)發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .第28頁/共59頁第二十九頁，共59頁。3012. 1nnnnnnu2解：解：nlimnnnulimnnn221由正項(zhn

9、 xin)級數(shù)的根值判別法可知原級數(shù)發(fā)散。1. 2nnnen解：解：nnnenu nnnulimnlimen由正項(zhn xin)級數(shù)的根值判別法可知原級數(shù)收斂。1313. 3nnnnnnnu34313解：解：nvnnnvlimnlimnn3431由正項級數(shù)的根值與比較判別法可知原級數(shù)收斂。第29頁/共59頁第三十頁，共59頁。3111nnn收斂(shulin)于S ,近似代替(dit)和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn

10、) 1(11111n并估計以部分和 Sn第30頁/共59頁第三十一頁，共59頁。32 ( )kff ku xf在), 1 上非負單調(diào)(dndio)連續(xù)函數(shù)，則 1nf n與 1f x d x有相同(xin tn)的斂散性。證明證明 不妨設(shè) xf是單減函數(shù)，于是當1kxk有 kfxfkf1從而有 111kkkuf kf x d x以及111nnkkku xdxfkk11nkku即11nSu xdxfn11nS于是，若 xdxf1收斂，表示 xdxf1為常數(shù)，1kk第31頁/共59頁第三十二頁，共59頁。331nS xdxfun111 11uf x d x可知(k zh)nS有界，根據(jù)(gnj)定

11、理級數(shù)收斂。 xdxf1發(fā)散(fsn)，因為 xf在), 1 上非負， xdxf1故當n .11xdxfn可推得nS無界，級數(shù)發(fā)散。只能有11nSu xdxfn11nS若第32頁/共59頁第三十三頁，共59頁。34的斂散性 .解解: xdxxp2)(ln1xdxpln)(ln1212lnlnpx12)(ln111pxpp所以(suy)，當1p時，反常積分(jfn)發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散；時，反常積分收斂，原級數(shù)收斂；1p2)(ln1npnn第33頁/共59頁第三十四頁，共59頁。35則各項符號(fho)正負相間的級數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為(chn wi)交錯級數(shù) .定理定理7 . ( Le

12、ibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)定義定義第34頁/共59頁第三十五頁，共59頁。36證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)(dndio)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數(shù)(j sh)收斂于S, 且,1uS :的余項nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur故S第35頁

13、/共59頁第三十六頁，共59頁。37收斂(shulin)收斂(shulin)nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101) 31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10) 31nnn發(fā)散收斂收斂nnu101第36頁/共59頁第三十七頁，共59頁。38) 12() 1(1nnn解解 設(shè) 0121xxfx由 02ln2112xxxf知 0 xxf單調(diào)(dndio)減少，從而有 , 2, 111nunfnfunnlimlim( 21)0nnnnu所以(suy)，交錯級數(shù))

14、12() 1(1nnn收斂(shulin)。第37頁/共59頁第三十八頁，共59頁。39定義定義: 對任意對任意(rny)項級數(shù)項級數(shù),1nnu若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后(yhu)的級數(shù)發(fā)散, 111) 1(nnn,!1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu則稱原級數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂條件收斂 .nu可正可負可為零。第38頁/共59頁第三十九頁，共59頁。40證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)(gnj)比較審斂法顯然(xinrn),0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1n

15、nu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 ,令第39頁/共59頁第四十頁，共59頁。41;sin) 1 (14nnn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂(shulin) ,14sinnnn收斂(shulin)因此14sinnnn絕對收斂 .第40頁/共59頁第四十一頁，共59頁。42解解,2nnenunnnulim11e因此(ync)12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂(shulin),絕對(judu)收斂.) 1()2(12nnnen第41頁/共59頁第四十二頁，共59頁。431111. 1nnnn分析：此為交錯級數(shù)，是否絕對收斂用正項分析：此為交錯級數(shù)

16、，是否絕對收斂用正項(zhn xin)級數(shù)判別級數(shù)判別法，關(guān)鍵是將通項絕對值如何放大(fngd)或縮小。nlim又nunnn11lim0nnuu1nunn1nn11121nnv解：解：原級數(shù)條件收斂！1而nnv是發(fā)散的級數(shù)，即原級數(shù)非絕對收斂第42頁/共59頁第四十三頁，共59頁。441112.( 1)ln(1)nnnnnun0) 1ln(1) 1ln(1nun1)2ln(1nun條件收斂11) 1ln(1) 1(nnn:解) 1ln(1nun11)1ln(1nn即發(fā)散1) 1ln(1nn例例2：判斷下列：判斷下列(xili)級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。

17、即原級數(shù)(j sh)非絕對收斂第43頁/共59頁第四十四頁，共59頁。45)0(1) 1(. 31anannn:解aannauunnnnnn1) 1(limlim11;,1級數(shù)發(fā)散時當 a;,1級數(shù)絕對收斂時當 a.) 1(,11條件收斂級數(shù)時當nnna例例2：判斷下列級數(shù)是絕對收斂：判斷下列級數(shù)是絕對收斂(shulin)、條件收斂、條件收斂(shulin)還是發(fā)散。還是發(fā)散。第44頁/共59頁第四十五頁，共59頁。461114.( 1)23nnnn:解021limnnu發(fā)散11321) 1(nnnn例例2.判斷下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是判斷下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是(hi shi

18、)發(fā)散。發(fā)散。第45頁/共59頁第四十六頁，共59頁。47證明下列各題.,) 1 (112絕對收斂則收斂若nnnnnuu:證明12122nununn,11212收斂和而nnnnu.1絕對收斂nnnu2122baab第46頁/共59頁第四十七頁，共59頁。48收斂則存在若12,lim)2(nnnnuun:證明,lim2存在nnunMunMn2, 0 使存在,2nMun收斂而12nnM收斂1nnu收斂即1nnu第47頁/共59頁第四十八頁，共59頁。491. 利用部分和數(shù)列的極限判別(pnbi)級數(shù)的斂散性2. 利用(lyng)正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 lim

19、n1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1第48頁/共59頁第四十九頁，共59頁。50為收斂(shulin)級數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別(pnbi)法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱第49頁/共59頁第五十頁，共59頁。51設(shè)正項級數(shù)(j sh)1nnu收斂(shulin), 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意:反之不成立.例如,121nn收斂 ,11nn

20、發(fā)散 .第50頁/共59頁第五十一頁，共59頁。52 作業(yè)作業(yè)(zuy) P268 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第51頁/共59頁第五十二頁，共59頁。53),3,2, 1(0nun設(shè), 1limnunn且則級數(shù)(j sh).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散(fsn) ; (B) 絕對收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析:, 1limnunn由,11nun知 (B) 錯 ;)(2111uunS又)(3211

21、uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu第52頁/共59頁第五十三頁，共59頁。54,Zn,nnvku 都有 1,1nnu 21nnv且存在(cnzi),ZN對一切(yqi),Nn 有1、 若級數(shù)（2)則級數(shù)(1)2、 若級數(shù)（1）則級數(shù)（2）證證:設(shè)對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示級數(shù)（1）和級數(shù)（2）的部分和, nnvku 兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨第53頁/共59頁第五十四頁，共59頁。551、 若級數(shù)(j sh)1nnv則有nn lim因此(ync)對一切,Zn有nS由定理(dngl) 1 可知,1nnu則有2、 若級數(shù)1nnu,limnnS