信息光學(xué)習(xí)題答案

1、信息光學(xué)習(xí)題答案第一章線性系統(tǒng)分析簡(jiǎn)要說明以下系統(tǒng)是否有線性和平移不變性.1)2)g(x)=jf(x)dx;(3)g(x)=|f(x);4)g(x)=ff(aMc一a)1da;5)解：(1)線性、平移不變；(2)線性、平移不變；(3)非線性、平移不變(4)線性、平移不變；(5)線性、非平移不變。(x)證明comb=comb(x)exp(j兀x)+comb(x)12丿(xA證明：左邊=comb-2丿y父(x)厶bn12丿n=fyf2(x2n)=2yfb(x2n)右邊=comb(x)+comb(x)exp(j冗x)=n=fn=fn=fn=fexp(jn冗)8(x一n)n=fn=fn=fn=f當(dāng)n為

2、奇數(shù)時(shí)，右邊=0,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，右邊=2(x-2n)n=f所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，左右兩邊相等。證明兀8(sin兀x)=comb(x)證明：根據(jù)復(fù)合函數(shù)形式的5函數(shù)公式8h(x)=y(:丁,h(x)主0i=1lh(x式中x是h(x)=0的根，h(x)表示h(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù)。于是iii£5(xn)ns兀兀5(sin兀x)_兀*_y_comb(x)計(jì)算圖題所示的兩函數(shù)的一維卷積。解：設(shè)卷積為g(x)。當(dāng)TWxW0時(shí)，如圖題(a)所示，1+111g(x)=J1+x(1a)(1+xa)da=_+_xx30326圖題當(dāng)0xW1時(shí)，如圖題(b)所示，Axrii+x3211x+320,1111g(

3、x)=J(1a)(1+xa)da=x+x3326g(x)=<1x3,61x3,其它計(jì)算下列一維卷積。1)(x1(2)rectrx+1*rectrx12；2；2丿5(2x一3)*rect3)comb(x)*rect(x)解：rx11r3)rx11rx2.5一5x*rect_rect2;22丿2丿22丿1)5(2x-3)*rect(2)設(shè)卷積為g(x),當(dāng)xW0時(shí)，如圖題(a)所示，g(x)=Jx+2da=x+20當(dāng)0x時(shí)，如圖題(b)所示圖題g(x)_J2da_2xxg(x)=2<1+,x<021,x>02(x、即g(x)二2A-12丿(3)comb(x)*rect(x)

4、=1已知exp（兀x2）的傅立葉變換為exp（碇2），試求（1）倒Ixp（x2耳=?（2）倒Lxp（x2/2a2=?解：設(shè)y=mx,z=、:晚即倒®xp(一兀y2)/=exp(一兀g2)由坐標(biāo)縮放性質(zhì)爐f（ax,by）=11Frgm|ab|Iab丿(1) 倒Ixp(x2)=倒lxp(-y2/兀=v'kexp(一兀z2)=祁exp(一兀2g2)(2) 倒txp(x2/2a2Ixp(y2/2兀a2月=<2kaexp(-2no2z2)=q2兀aexp(-2no化2)(2)fsinc2(jc)cos兀xdx=?-g計(jì)算積分.（1）fsinc4（x）dx=?-g解：應(yīng)用廣義巴塞伐

5、定理可得(1) fsinc2(x)sinc2(x)dx=fA(g)A(g)dg=f0(1+g)2dg+A(lg)2dg=-103-g-gr1g+1dg+fA(g)8r1g-112丿12丿gdg2)fsinc2(x)cos兀xdx=|J$A(g)8-g-gr1)亠A-_+A_I2丿應(yīng)用卷積定理求fG）=sinc（x）sinc（2x）的傅里葉變換.解：淤込心血心）=淤込心必爲(wèi)心）=2廠皿）*rect12丿當(dāng)-3<g<-2時(shí)，如圖題（a）所示,G(g)=2號(hào)2du=2+g當(dāng)2空<2時(shí)，如圖題所示,G(g)=Jg+2du=12g-113當(dāng)怎仝<時(shí)，如圖題(c)所示，2213G(

6、g)=11du=2g-222G(E)的圖形如圖題(d)所示，由圖可知3/2丿1/2丿設(shè)fc)=圖題0>0，求Jf(x)dx=?exp(0x)exp(j2兀gx)dx+exp(0x)exp(j2兀gx)dx020=2=0g=02+(2眩)2reXP(0W)dX=02+(2眩)2g設(shè)線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為h(x)=exp(x)step(x)，試計(jì)算系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)step(x)的響應(yīng).解：由階躍函數(shù)定義訕x)=期x>0x<0線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為h(x)=exp(x)step(x)=exp(x),x>0所以系統(tǒng)對(duì)解階躍函數(shù)step(x)的響應(yīng)為g(x)=step(

7、x)*h(x)=Jgexp(xa)da=1exp(x),x>00小)=sinc(3x).試計(jì)算各自對(duì)輸入函數(shù)f(X)=cos2“x的響應(yīng)gi(X)和g2C)解：已知一平面波的復(fù)振幅表達(dá)式為U(x,y,z)=Aexpj(2x-3y+4z)試計(jì)算其波長(zhǎng)入以及沿x,y,z方向的空間頻率。解：設(shè)平面波的復(fù)振幅的表達(dá)式可以表示成以下形式IrfU(x,y,z)=aexp(jkr)=aexpjk(xcosa+ycosP+zcosy)由題可知，kcosa=2,kcosP=-3,kcosy=4所以k=-j29又因?yàn)閏os2a+cos2P+cos2y=1T=2兀=2兀波長(zhǎng)為=廠k<29沿x,y,z方向

8、的空間頻率為cosa1cosPg=，耳=T"九兀九=3廠=cosy=22兀'T兀單色平面波的復(fù)振幅表達(dá)式為U(x,y,z)=Aexplj(123)$7x+帀yFzJ求此波在傳播方向的空間頻率以及在x,y,z方向的空間頻率.解：設(shè)單色平面波的復(fù)振幅的表達(dá)式可以表示成以下形式U(x,y,z)=aexp(jkr)=aexpjk(xcosa+ycosP+zcosy)由題可知，kcosa=kcosY所以k=1又因?yàn)閏os2a+cos2B+cos2y=1波長(zhǎng)為九=2兀k沿x,y,z方向的空間頻率為cosa"T"cosBcosy32兀V14第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)參

9、看圖，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子exp.k()jk2+y2丿沁exp2d000試問：（1）物平面上半徑多大時(shí)，相位因子expk(jx2+y22doo0相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變n弧度?x2+y2ii-M2（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少?（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a,入和d°之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子expk(jx2+y22d000解：（1）由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)相位差為n的條件是kkr2(x2+y2)=冗,2do；2d2）根據(jù)h(x,y;x,y)=1JJP(x,y)

10、expj黃(xMx)x+(yMy)ydxdyooii九2ddIKaioioIoigi=1JJP(x,y)expJj冀(x)x+(y)ydxdyK2ddIKdioioIoigi相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)(x,y)ooh(x,y;x,y)=ooii九2ddoIg=1=九2ddoiBcirc(-IIa1JJP(X,y)exp|j尋(Xj-x)2+(y.)2|dxdy1aJ(2nap)=1九2ddpoi式中r=.；x2+y2,而P=、&2+耳¥+1)在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)處J(2兀ap)=0,此時(shí)應(yīng)有2兀ap=3.83，1oo(2)

11、(3)0.61P=oa將(2)式代入(1)式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)(x=y=0)，于是得ii0.61九dr=ooa(3)根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處得場(chǎng)分布，必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)的貢獻(xiàn)h(x,y;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一個(gè)零點(diǎn)以外的影oo響，即只考慮h的中央亮斑對(duì)原點(diǎn)的貢獻(xiàn)，那么這個(gè)貢獻(xiàn)僅僅來(lái)自于物平面原點(diǎn)附近r=0.61Xd/a范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子expjkr2/2d變化不oooo大，而降它棄去。假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度(例如n/16)就滿足以上要求,兀C則kr2/2d<,r2<Kd/16，也即oo1

12、6ooa>2.44：Kd(4)o例如入=600nm,d。=600mm，則光瞳半徑a三，顯然這一條件是極易滿足的。一個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為tJJ=2+2cosWA放在圖所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在xz平面內(nèi)，o與z軸夾角為e。透鏡焦距為f,孔徑為Do（1）求物體透射光場(chǎng)的頻譜；（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大e角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布；（3）若e采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與e=o時(shí)的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為Aexp（jkxo，sin。），為確定起見設(shè)e0,則物平面上的透射光

13、場(chǎng)為U(x,y)=Aexp(jkx,sin0)t(x,y)ooooosin0、o九丿=-1explj2kx2'o1(+expj2兀xf+2sino九丿1(+_exp-j2兀xf-2sino九丿-8其頻譜為A(g,n)=pU(x,y)ooosin陽(yáng)sinO九丿sino九丿由此可見，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿E軸整體平移了sine/入距離。2）欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)。系統(tǒng)的截至頻率p=D/4Xf，于是要求csin0D九-4Xf-D<-f+泌<_D4甘o九4甘由此得1）<sin0<e角的最大值為=arcsinmaxi此時(shí)像面上復(fù)振幅分布和強(qiáng)

14、度分布為+2exp(-j2nxf)AIU(x,y)=一expj2兀xiii21I(xi，yi)=4A25+cos2nfx4o3)照明光束的傾角取最大值時(shí)，由(1)式和(2)式可得omax2f(3)e=0時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為P二D/4Xf，因此光柵的最大頻率c(4)omax比較(3)和(4)式可知，當(dāng)采用傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。光學(xué)傳遞函數(shù)在g=n=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于i嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？解：在式中，令Jfh(x,y)exp-j2兀(gx,Ry)dxdy

15、Iiiiiii8JJh(x,y)dxdyIiiii-8(,)-h(x,y)h(x,y)-1_i丄ii8JJh(x,y)dxdyIiiii1)為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此(1)式可寫成陋,n)-ifh(x,y)exp-j2兀(gx,Ry)dxdyiiiiiiZ(0,0)-1-f8fh(x,y)dxdyiiii即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上，著便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義。（2）不能大于1。（3）對(duì)于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是5函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1,即系統(tǒng)對(duì)任何頻率的傳遞都是無(wú)損的。當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（x,y）成點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)

16、函數(shù).Iii解：由于hi（X，yi）是實(shí)函數(shù)并且是中心對(duì)稱的，即有hi（xi，yi）-h;（X，yi），hi（X-，yi）二hi（一X-，-yi），應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式Jfh(x,y)exp-j2兀(事，耳y)dxdyI-8易于證明N（g,n）=n；點(diǎn),n），即z（g，耳）為實(shí)函數(shù)非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為dj,光波長(zhǎng)為入，這種系統(tǒng)可用來(lái)實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？S（芒門）解：用公式ng,n）二來(lái)分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因S0此無(wú)論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截

17、止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計(jì)，只考慮每個(gè)小孔自身的重疊情況，而不計(jì)及和其它小孔的重疊。這時(shí)N個(gè)小孔的重疊面積除以N個(gè)小孔的總面積，其結(jié)果與單個(gè)小孔的重疊情況是一樣的，即截至頻率約為2a/九d.，由于2a很小，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了低通濾波。-第四章部分相干理論若光波的波長(zhǎng)寬度為A入，頻率寬度為AvAvA九v九。設(shè)光波波長(zhǎng)為試證明：無(wú)二632.8nm,A九二2x10-8nm，試計(jì)算它的頻寬Av=?若把光譜分布看成是矩形線型,則相干長(zhǎng)度lc證明：因?yàn)轭l率與波長(zhǎng)的關(guān)系為c=vx（其中C為光速）對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得de=vdX+Xdv=0所以dvdxAvAvAlv1Al因l=632.8nm,Al=

18、2x10-8nmAvAlvle=vl1nAv=Ale所以Av=1.5x104赫有因?yàn)橄喔砷L(zhǎng)度l=eteeel=2.0x104（m）eAv設(shè)邁克耳孫干涉儀所用光源為1=589nm,1=589.6nm的鈉雙線，每一譜線的寬12度為.（1）試求光場(chǎng)的復(fù)相干度的模；（2）當(dāng)移動(dòng)一臂時(shí)，可見到條紋總數(shù)大約是多少？（3）可見度有幾個(gè)變化周期？每個(gè)周期有多少條紋？解：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為12§v1）光場(chǎng)的復(fù)相干度為Y(t)=Js0(v)exp(j2兀vt)dv01=sine(0vT)exp(j2兀vt)1+exp(j2兀Avt)21式中Av=v2-vr復(fù)相干度的模為Y(

19、t)=|sine(0譏)|cos兀A譏)|由于，故第一個(gè)因子是T的慢變化非周期函數(shù)，第二個(gè)因子是T的快變化周期函數(shù)。相干時(shí)間由第一個(gè)因子決定它的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在Tc-1/氐的地方即為相干時(shí)間故相干長(zhǎng)度C九2九2/、丁lCcc8v8k8k可見到的條紋總數(shù)N=?=£=罟?58930（3）復(fù)相干度的模中第二個(gè)因子的變化周期T二1/Av，故tAvAk6“可見度的變化周期n=y=60T8v8k0.1N58930每個(gè)周期內(nèi)的條紋數(shù)=一=982n60假定氣體激光器以N個(gè)等強(qiáng)度的縱模振蕩。其歸一化功率譜密度可表示為芻CL丄T8（一V+nAv）N（）n=-N-1）/2式中，Av是縱模間隔，v為中心頻率

20、。為簡(jiǎn)單起見，假定N為奇數(shù)。（1）證明復(fù)相干度的模為Y（T）=Sin（沁vT）11Nsin（兀Avt）（2）若N=3,且0WtW1/Av,畫出|丫6）與Avt的關(guān)系曲線。1）證明：復(fù)相干度函數(shù)為g八Y(t)=J層(v)exp(j2兀vT)dv得0Y(T)J丄(J/2S(一v+nAv)exp(j2兀vt)dv0N/)n=N-1)/2=eXp(j兀譏)吃®(-j2兀nAvT)n=-(N-1)/2sinNkAvt=exp(j2兀vr)Nsin兀Avr所以復(fù)相干度得模為Y(T)=sin(N兀A譏)Nsin(兀Avt)(2)當(dāng)N=3時(shí)，復(fù)相干度的模為sin(3兀A譏)3 sin(兀A譏)在例所

21、示的楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若縫光源用兩個(gè)相距為a,強(qiáng)度相等的準(zhǔn)單色點(diǎn)光源代替，試計(jì)算此時(shí)的復(fù)相干系數(shù)。解：應(yīng)用范西泰特策尼克定理得gJI00Ja)Ll2丿Ja、+8al2丿exp(j二dadal加丿JI08(a)a+_l2丿+8'a、al2丿da卩(d)=g(d=cos兀al九z利用傍軸條件計(jì)算被一準(zhǔn)單色點(diǎn)光源照明，距離光源為z的平面上任意兩點(diǎn)匕和P2之間的復(fù)相干系數(shù)卩代，P2)解:設(shè)光源所在平面的坐標(biāo)為a,B；孔平面的坐標(biāo)為x,y。點(diǎn)P和P2的坐標(biāo)為(X,y)和(x2,y2)。對(duì)于準(zhǔn)單色點(diǎn)光源，其強(qiáng)度可表為I(a,P)二I8(aa,pp)011在傍軸近似下，由范西泰特策尼克定理得2兀PP)

22、exp一j(Axa+AyP)dadP1L兀zexp(jQ)JfI8(aa,"011JfI8(aa,p_p)dadP011gH(P,P)=g12=expj竺(x2+y2x2y2)exp-j竺(Axa+AyP)九z2-“因?yàn)椴?弋,P)=1，由點(diǎn)光源發(fā)出的準(zhǔn)單色光是完全相干的，或者說x,y面上的相干面積趨于無(wú)限大。第六章計(jì)算全息一個(gè)二維物函數(shù)f(x,y)，在空域尺寸為lOXIOmm，最高空間頻率為5線/mm，為了制作一張傅里葉變換全息圖：(1) 確定物面抽樣點(diǎn)總數(shù).(2) 若采用羅曼型迂回相位編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？(3) 若采用修正離軸參考光編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣

23、單元總數(shù)是多少？(4) 兩種編碼方法在全息圖上抽樣單元總數(shù)有何不同？原因是什么？解：(1)假定物的空間尺寸和頻寬均是有限的。設(shè)物面的空間尺寸為Ax,Ay；頻寬為2B,2B.根據(jù)抽樣定理,抽樣間距8x,必須滿足§xW1/2B,5yW1/2B才能使物復(fù)原。xyxy故抽樣點(diǎn)總N(即空間帶寬積SW)為AxAy(2B)(2B)=SW=10x10x(2x5)x(2x5)=104xy(2)羅曼計(jì)算全息圖的編碼方法是在每一個(gè)抽樣單元里用開孔的大小和開孔的位置來(lái)編碼物光波在該點(diǎn)的振幅和相位。根據(jù)抽樣定理，在物面上的抽樣單元數(shù)應(yīng)為物面的空間帶寬積，即N=SW=104。要制作傅里葉變換全息圖，為了不丟失信

24、息，空間帶寬積應(yīng)保持不變，故在譜面上的抽樣點(diǎn)數(shù)仍應(yīng)為N=104.(3)對(duì)于修正離軸參考光的編碼方法，為滿足離軸的要求，載頻a應(yīng)滿足a三BX為滿足制作全息圖的要求，其抽樣間隔必須滿足8xW1/2B,8yW1/2B。因此其抽樣點(diǎn)數(shù)xyAxAy"在靳=為2x104AxAy(4B)(2B)=10x10x20x10=xy(4) 兩種編碼方法的抽樣點(diǎn)總數(shù)為2倍關(guān)系，這是因?yàn)椋诹_曼型編碼中，每一抽樣單元編碼一復(fù)數(shù)；在修正離軸型編碼中，每一抽樣單元編碼一實(shí)數(shù)。修正離軸加偏置量的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)值非負(fù)函數(shù)，每個(gè)抽樣單元都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在位置編碼問題，比同時(shí)對(duì)振幅和相位進(jìn)行編碼的方法簡(jiǎn)便

25、。但由于加了偏置分量，增加了記錄全息圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。避免了相位編碼是以增加抽樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)的。對(duì)比光學(xué)離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選擇載頻和制作計(jì)算全息圖的抽樣頻率.解：設(shè)物的頻寬為(2B,2B)xy(1)對(duì)于頻寬a的選擇光學(xué)離軸，由圖可知，«>3Bx修正離軸，由圖可知，a>Bx載頻的選擇是為了保證全息函數(shù)在頻域中各結(jié)構(gòu)分量不混疊。(2)對(duì)于制作計(jì)算全息圖時(shí)抽樣頻率的選擇光學(xué)離軸全息，由圖可知：在x方向的抽樣頻率應(yīng)>8B，即x方向的抽樣間距5x<1/8B。xx在y方向的抽樣頻率應(yīng)>4B，即x方向的抽樣間距5y<1/4

26、B。yy修正離軸全息，由圖可知：在x方向的抽樣頻率應(yīng)>4B，即x方向的抽樣間距5x<1/4B。xx在y方向的抽樣頻率應(yīng)>2B，即x方向的抽樣間距5y<1/2B。yy一種類似傅奇型計(jì)算全息圖的方法，稱為黃氏(Huang)法，這種方法在偏置項(xiàng)中加入物函數(shù)本身，所構(gòu)成的全息函數(shù)為h(x,y)=A(x,y)£+cos2ax-©(x,y)2(1) 畫出該全息函數(shù)的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇載頻.(2) 畫出黃氏計(jì)算全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇抽樣載頻.解：把全息函數(shù)重寫為h(x，y)=2A(x，y)+4A(x，y)exp呢(x，y)exp(-j沁)+4

27、A(x,y)exp-j©(x,y)exp(j2兀ox)物函數(shù)為f(x,y)=A(x,y)expj(x,y)并且歸一化的，即|A(x,y)|=1，參考光波R=1。經(jīng)過處理后的振幅透過率為maxt(x,y)=t+1卩A(x,y)+卩A(x,y)expj©(x,y)exp(-j2k°x)+o241卩A(x,y)exp-j©(x,y)exp(j2兀ox)4=t+1卩A(x,y)+1卩f(x,y)exp(-j2k°x)+；卩f*(x,y)exp(j2k°x)o244其頻譜為丁化，耳)=穿點(diǎn)，耳)+2PF冗“)+4PF代-o)+4PFt)設(shè)物的帶

28、寬為2B,2B，如圖題(a)所示。全息函數(shù)的空間頻譜結(jié)構(gòu)如圖題所示,xy載頻o>2B。x黃氏全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)如圖題(c)所示，由此可得出:在x方向的抽樣頻率應(yīng)>6B，即x方向的抽樣間距5x<1/6B。xx在y方向的抽樣頻率應(yīng)>2B，即x方向的抽樣間距5y<1/2B。yyxy抽樣點(diǎn)數(shù)即空間帶寬積為N=SW=12xyBB.5x5yxy黃氏計(jì)算全息圖的特點(diǎn)：(1)占用了更大的空間帶寬積(博奇全息圖的空間帶寬積SW二8xyBB)，不具有降低xy空間帶寬積的優(yōu)點(diǎn)。(2)黃氏全息圖具有更高的對(duì)比度，可以放松對(duì)顯示器和膠片曝光顯影精度的要求。羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔

29、徑形式，如圖題所示.利用復(fù)平面上矢量合成的方法解釋，在這三種孔徑形式中，是如何對(duì)振幅和相位進(jìn)行編碼的.解：對(duì)于I型和III型，是用A&來(lái)編碼振幅A(x,y),用d&x來(lái)編碼相位©(x,y)，在復(fù)平面上用一個(gè)相幅矢量來(lái)表示，如圖題(a).對(duì)于羅曼II型是用兩個(gè)相同寬度的矩孔來(lái)代替I,III型中的一個(gè)矩孔。兩矩孔之間的距離A§x是變化的，用這個(gè)變化來(lái)編碼振幅A(x,y)。在復(fù)平面上反映為兩個(gè)矢量夾角的變化。兩個(gè)矩孔中心距離抽樣單元中心的位移量d§x用作相位©(x,y)的編碼。在復(fù)平面上兩矢量的合成方向即表示了©(x,y)的大小，如圖

30、題(b)所示。第八章空間濾波利用阿貝成像原理導(dǎo)出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式，并同非相干照明下的最小分辨距離公式比較。解：顯微鏡是用于觀察微笑物體的，可近似看作一個(gè)點(diǎn)，物近似位于物鏡的前焦點(diǎn)上。設(shè)物鏡直徑為D，焦距為f,如圖所示。對(duì)于相干照明，系統(tǒng)的截止頻率由物鏡孔徑的最大孔徑角e決定，截止頻率為0sin0/九。從幾何上看，近似有osin0沁D/2f。截止頻率的倒數(shù)的倒數(shù)即o為分辨距，即5 =丄=如csin0Do對(duì)于非相干照明，由幾何光學(xué)可知其分辨距為5二0.61九sin0非相干照明時(shí)顯微鏡的分辨率大約為相干照明時(shí)的兩倍。在4f系統(tǒng)輸入平面放置4Omm-1的光柵，入射光波長(zhǎng)。為了使頻

31、譜面上至少能夠獲得±5級(jí)衍射斑，并且相鄰衍射斑間距不小于2mm，求透鏡的焦距和直徑。解：設(shè)光柵寬度比較大，可近似看成無(wú)窮，設(shè)周期為d，透光部分為a,則其透過率函數(shù)可表為V'x-md)rx)=rect1=rectmla丿la丿x'1(x1=rect*combla丿dld丿f(x1)*工5(x-md)mF(g)=pf(x)=prect(x)i-ld丿combd=asinc(ag)comb(dt)=工sinc(ag)5gd.,ma、Q仃m)inc()5g_一dld丿其頻譜為ama=sm、ddm即譜點(diǎn)的位置由g=x2/kf=m/d決定，即m級(jí)衍射在后焦面上的位置由下式確定:x

32、=mkf/d相鄰衍射斑之間的間距Ax=kf/d.Axd2/40、由此得焦距f為f=79(mm)k6328x10-7物透明片位于透鏡的前焦面，譜面為后焦面，譜面上的±5級(jí)衍射斑對(duì)應(yīng)于能通過透鏡的最大空間頻率應(yīng)滿足匕sin91D/25g=kkkd于是求得透鏡直徑kfD=10=10Ax=20(mm)d觀察相位型物體的所謂中心暗場(chǎng)方法，是在成像透鏡的后焦面上放一個(gè)細(xì)小的不透明光闌以阻擋非衍射的光。假定通過物體的相位延遲<<1弧度，求所觀察到的像強(qiáng)度(用物體的相位延遲表示出來(lái))。解：相位物體的透過率為t(x,y)=expj®(x,y)沁1+j©(x,y)其頻譜為

33、t(g,n)=i+j©(x,y)=5(g,n)+j(g，耳)若在譜平面上放置細(xì)小的不透明光闌作為空間濾波器，濾掉零頻背景分量，則透過的頻譜為tm點(diǎn),n)=j點(diǎn),n)再經(jīng)過一次傅里葉變換（在反演坐標(biāo)系）得tM（x,y）二理（x,y）3333強(qiáng)度分布為因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布的光強(qiáng)分布，實(shí)現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度分布的目的。不過光強(qiáng)不是相位的線性函數(shù)，這給分析帶來(lái)困難。當(dāng)策尼克相襯顯微鏡的相移點(diǎn)還有部分吸收，其強(qiáng)度透射率等于a（0<a1）時(shí)，求觀察到的像強(qiáng)度表示式。解：相位物體的頻譜為現(xiàn)在用一個(gè)濾波器使零頻減弱，同時(shí)使高頻產(chǎn)生一個(gè)土n/2的相移，即濾波器的透過率表達(dá)式為

34、1,在g=n=o的小范圍內(nèi)其它于是TM(g，耳)二H(g，耳)T(g,n)二±ja8(g，耳)+j(g,n)像的復(fù)振幅分布為像強(qiáng)度分布為tM(x,y)=±ja+j®(x,y)3333I(x3,y3)=±ja+理(x3,y3)|2=|a+©(x3,y3)|2=a2±2a©(x,y)+©2(x,y)3333沁a2±2a©(x,y)33像強(qiáng)度分布與相位分布成線性關(guān)系，易于分析。用CRT（陰極射線管）記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點(diǎn)之間的間隔為，圖像最高空間頻率為10mm-1如欲完全去掉離散掃描點(diǎn)，得到一幀

35、連續(xù)灰階圖像，空間濾波器的形狀和尺寸應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)？輸出圖像的分辨率如何（設(shè)傅立葉變換物鏡的焦距f=1000mm,入=。一mx,yo1一nyo解：掃描點(diǎn)的表達(dá)式為f（xi,yi）=H其頻譜為F化E)=Wexpj2兀3x0+g0)mn=1H8(gm/x，耳一n/y)xymn=丄ZZs(二m厶上)xyXfxXfymn在上式的化簡(jiǎn)中應(yīng)用了公式藝exp(土j2兀nax)二1&an=8n=g由此可見，點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)的頻譜仍然是點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離不同。掃描點(diǎn)頻譜出現(xiàn)的位置為xmyn芬二,2=-XfxXfy00點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)是高頻，所以采用低通濾波將其濾掉。低通濾波器圓孔半徑為Xf6328x10-7x1

36、000、r二x二二二3.164(mm)2x00.2能傳遞的最高空間頻率為sin0r1Xf1=51/mmXXfXfxx00即高于51/mm的空間頻率將被濾掉，故輸出圖像的分辨率為51/mm。某一相干處理系統(tǒng)的輸入孔徑為30mmX30mm的方形，頭一個(gè)變換透鏡的焦距為100mm，波長(zhǎng)是。假定頻率平面模片結(jié)構(gòu)的精細(xì)程度可與輸入頻譜相比較，問此模片在焦平面上的定位必須精確到何種程度？解：考慮到系統(tǒng)孔徑有限，一般用幾何光學(xué)近似，引入光瞳函數(shù)P（x,y）,根據(jù)題意其表達(dá)式為(x)P(x,y)=rectIrectJ30丿2130丿設(shè)系統(tǒng)的輸入面位于透鏡的前焦面，物透明片的復(fù)振幅分布為/（x1,人），它的頻譜

37、分布為F（g，耳），透鏡后焦面上的場(chǎng)分布(x)rect130J130丿U(g，耳)=C'例f(x,y)rectf11=900CF(g,n)*sinc(30g)sinc(30q)expj2兀(gx+qy)22式中=x2/if,n=y2/“。由Uf的表達(dá)式可見，頻譜面上能分辨的細(xì)節(jié)由sinc(30g)sinc(30q)決定。取一個(gè)方向來(lái)看，將sine函數(shù)由最大降為零的寬度取為最小分辨單元，即要求滿足30Ag=1或30心2/址=1，于是有30心亙=6328X10-7X100=2.1x10_3(mm)=2.1呵230因?yàn)轭l譜平面模片也有同樣細(xì)節(jié)，所以對(duì)準(zhǔn)誤差最大也不允許超過它的一半，約lum.

38、第九章相干光學(xué)處理參看圖，在這種圖像相減方法的編碼過程中，如果使用的光柵透光部分和不透光部分間距分別為a和b,并且aMb。試證明圖像和的信息與圖像差的信息分別受到光柵偶數(shù)倍頻與光柵奇數(shù)倍頻的調(diào)制。解：如圖題所示，先將t(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)/、a申2n兀x.2nnxt(x)=0+乙acos+bsin2na+bna+bn=1式中a+b02.n兀n兀(a一b)sincosn兀22(a+b)2.n兀(a-b)n兀sincosn兀2(a+b)2所以2.n兀n兀(a-b)2n兀xt(x)=R+smcoscos+0n兀22(a+b)(a+b)2n兀x(a+b)2n兀.n兀(a-b)cossincosn兀2

39、2(a+b)=R+R+R012第一次曝光得It(x)=IR+IR+1RAA0A1A2對(duì)于t'(x)是將光柵向x的負(fù)方向移動(dòng)半個(gè)周期即(a+b)/2，將它展開成傅立葉級(jí)數(shù)得第二次曝光得It(x)=IR-1R+1RBB0B1B2總曝光量=(I+1)(R+R)+(I-1)RAB02AB1即圖像和的信息受到光柵偶數(shù)倍頻的調(diào)制，圖像差的信息受到光柵奇數(shù)信頻的調(diào)制。用VanderLugt方法來(lái)綜合一個(gè)平年元平面濾波器，如圖(左)所示，一個(gè)振幅透射率為s(x,y)的“信號(hào)”底片緊貼著放在一個(gè)會(huì)聚透鏡的前面，用照相底片記錄后焦面上的強(qiáng)度，并使顯影后底片的振幅透射率正比于曝光量。這樣制得的透明片放在圖題

40、(右)的系統(tǒng)中，假定在下述每種情況下考查輸出平面的適當(dāng)部位，問輸入平面和第一個(gè)透鏡之間的距離d應(yīng)為多少，才能綜合出：(1) 脈沖響應(yīng)為s(x,y)的濾波器？(2) 脈沖響應(yīng)為s*(x,y)的“匹配”濾波器？解：(1)參看圖題左，設(shè)物面坐標(biāo)為X,yj膠片坐標(biāo)為x2,y2。則參考光波在記錄膠片上造成的場(chǎng)分布為1)U(x,y)=Aexp(一j2兀ay)r222式中A為常數(shù)，a=sin9/入為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成的場(chǎng)分布為U(x,y)=Cexp122式中S(Jn)為S(X,yi)的頻譜，且E=x2/入f,n=y2/入f。膠片上的光強(qiáng)分布為、x2+y222丿1(X2,y2)=Ur(X2,y

41、2"U1(X2,歹2=A2+C2|S(g,n)|2+CAS*(g,n)exp-j2兀CAS(g,n)expj2兀、x2+y222丿將曝過光的膠片顯影后制成透明片，使它的復(fù)振幅透過率正比于照射光的強(qiáng)度，即t(x,y)xI(x,y)(3)2222將制得的透明片作為頻率平面模片，放在圖題右所示的濾波系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應(yīng)s(x,y)或S*(-X,-y)，只要考察當(dāng)輸入信號(hào)為單位脈沖8(x,y)時(shí)，在什么條件下系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為s(x,y)或s*(-x,-y)。參看右圖，當(dāng)輸入信號(hào)為8(xi,y丿時(shí)，在L2的后焦面上形成的光場(chǎng)復(fù)振幅分布，根據(jù)公式f(xx+yy)ooq(f-d)+fdoodxdyooUO'y)=C'T71卩Le'叮旳-oo-g/、Ld)x2+y2U,x-,y2)=expj2兀I-*-2_lf丿2A