固體物理總復(fù)習(xí)資料及答案

1、固體物理總復(fù)習(xí)題一、填空題1. 原胞是的晶格重復(fù)單元。對于布拉伐格子，原胞只包含個(gè)原子。2.在三維晶格中,對一定的波矢q,有支聲學(xué)波，支光學(xué)波。3. 電子在三維周期性晶格中波函數(shù)方程的解具有形式，式中在晶格平移下保持不變。4如果一些能量區(qū)域中，波動(dòng)方程不存在具有布洛赫函數(shù)形式的解，這些能量區(qū)域稱為；能帶的表示有、三種圖式。5.按結(jié)構(gòu)劃分，晶體可分為大晶系，共布喇菲格子。6由完全相同的一種原子構(gòu)成的格子，格子中只有一個(gè)原子,稱為格子，由若干個(gè)布喇菲格子相套而成的格子，叫做格子。其原胞中有以上的原子。7. 電子占據(jù)了一個(gè)能帶中的所有的狀態(tài)，稱該能帶為;沒有任何電子占據(jù)的能帶，稱為;導(dǎo)帶以下的第一滿

2、帶，或者最上面的一個(gè)滿帶稱為;最下面的一個(gè)空帶稱為；兩個(gè)能帶之間，不允許存在的能級(jí)寬度，稱為。8.基本對稱操作包括,，三種操作。9.包含一個(gè)n重轉(zhuǎn)軸和n個(gè)垂直的二重軸的點(diǎn)群叫。10.在晶體中，各原子都圍繞其平衡位置做簡諧振動(dòng)，具有相同的位相和頻率，是一種最簡單的振動(dòng)稱為。11. 具有晶格周期性勢場中的電子，其波動(dòng)方程為。12. 在自由電子近似的模型中，隨位置變化小，當(dāng)作來處理。13. 晶體中的電子基本上圍繞原子核運(yùn)動(dòng),主要受到該原子場的作用，其他原子場的作用可當(dāng)作處理。這是晶體中描述電子狀態(tài)的模型。14.固體可分為,O15. 典型的晶格結(jié)構(gòu)具有簡立方結(jié)構(gòu)，,四種結(jié)構(gòu)。16在自由電子模型中，由于

3、周期勢場的微擾，能量函數(shù)將在K=處斷開,能量的突變?yōu)椤?7. 在緊束縛近似中，由于微擾的作用，可以用原子軌道的線性組合來描述電子共有化運(yùn)動(dòng)的軌道稱為，表達(dá)式為。18. 愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認(rèn)為所有的格波都以相同的振動(dòng)，忽略了頻率間的差別，沒有考慮的色散關(guān)系。19. 固體物理學(xué)原胞原子都在，而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點(diǎn)也可以在即存在于。20晶體的五種典型的結(jié)合形式21.兩種不同金屬接觸后，費(fèi)米能級(jí)高的帶電，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是的電子。22. 固體能帶論的三個(gè)基本假設(shè)是:、23. 費(fèi)米能量與和因素有關(guān)。二、名詞解釋1. 聲子;2.；布拉伐格子;3.布里淵散射;4.能帶理論的基本假設(shè).5. 費(fèi)米能；6

4、.晶體的晶面；7.喇曼散射；8.近自由電子近似。9.晶體；10.布里淵散射；11.晶格;12.喇曼散射;三、簡述題1試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價(jià)結(jié)合中，哪一種或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。2. 什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處?3什么是德拜溫度？它有什么物理意義？4. 試敘述原子能級(jí)與能帶之間的對應(yīng)關(guān)系。5.簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義,并闡述其取值原則。6. 試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特點(diǎn)?7. 共價(jià)結(jié)合中為什么有”飽和性”和”方向性”？8. 什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結(jié)果。9什么是晶體振動(dòng)光學(xué)支和

5、聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別?10.近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？11.金屬晶體的結(jié)合力是什么？一般金屬晶體具有何種結(jié)構(gòu)，最大配位數(shù)為多少？12德拜模型在低溫下理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合相對較好但是仍存在偏差,其產(chǎn)生偏差的根源是什么？13.原子間的排斥作用取決于什么原因？14.在能帶頂，電子的有效質(zhì)量m*為什么為負(fù)值?試解釋其物理意義。15試述固體物理學(xué)原胞和結(jié)晶學(xué)原胞的相似點(diǎn)和區(qū)別？16. 根據(jù)結(jié)合力的不同，晶體可分為幾種類型其各自的結(jié)合力分別是什么？17. 愛因斯坦模型在低溫下理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在偏差的根源是什么？18什么是“空穴”？簡述空穴的屬性。四、推導(dǎo)題1

6、. 對一維簡單格子,按德拜模型,求出晶格熱容，并討論高、低溫極限。2. 對二維簡單格子,按德拜模型,求出晶格熱容,并討論高、低溫極限。3. 推導(dǎo)一維單原子鏈的色散關(guān)系4. 推導(dǎo)一維雙原子鏈的色散關(guān)系五、計(jì)算題1. 已知鋁為三價(jià)金屬，原子量為27,密度為2.7g/cm3,金屬鋁在T=0K下的費(fèi)米波矢、費(fèi)米能和費(fèi)米速度。2已知電子在周期場中的勢能為U(x)=m®2b2一(x-na)2,當(dāng)na-b<x<na+b時(shí)2U(x)=0,當(dāng)(n-1)a+b<x<na-b時(shí)其中：a=4b,®為常數(shù)。(1)畫出勢能曲線，并求出其平均值；(2) 用近自由電子模型求出此晶體

7、的第1及第2個(gè)禁帶寬度。3. 用緊束縛模型,試求解(1)面心立方點(diǎn)陣s態(tài)電子的緊束縛能帶;(2E其中:s0附近時(shí)，即ka«1時(shí),明在k=0附近等能面近似為球形面，并計(jì)算有效質(zhì)量m*.=Eat+C一JSeik-RSn中的Eat,C,均為已知，且在k=1Rn11coska沁1一(ka)22x22”ss4.在一維復(fù)式格子中，如果m=5x1.67x10-27kg,=4,0=15Nm，計(jì)算:m1) 光學(xué)波頻率的最大值o和最小值®o,聲學(xué)波頻率的最大值A(chǔ)；maxminmax2) 相應(yīng)聲子的能量Eo、Eo和EA；maxminmax3) 如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)o的聲子所用的電磁波波

8、長在什么波max段？5. 已知半導(dǎo)體GaAs具有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的最近距離d=2.45X10-10m。試求：(1) 晶格常數(shù);(2) 固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3) 密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4) 密勒指數(shù)為(110)和1111)晶面法向方向間的夾角。(20分)6.已知一維晶格中電子的能帶可寫成E(k)=丄f-coska+丄cos2kama2188式中d是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求：(1)能帶寬度(AE=E-E)；maxmin(2)電子的平均速度。7.利用緊束縛方法處理體心立方晶體中S態(tài)電子的能帶，求出(1)S態(tài)電子的能帶E(k)(2)求出能帶頂和能帶底處的電

9、子的有效質(zhì)量。六、證明題1.試證明倒格子原胞的體積為(2兀)3/V，其中V為正格子原胞的體積。cc2. 證明：倒格子矢量G=hb+hb+hb垂直于密勒指數(shù)為(hhh)的晶面112233123系。3. 試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。七、說明題1.原子結(jié)合成晶體時(shí),原子的價(jià)電子產(chǎn)生重新分布，從而產(chǎn)生不同的結(jié)合力,試分析說明離子性、共價(jià)性、金屬性和范德瓦耳斯性結(jié)合力的特點(diǎn)。2. 布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進(jìn)？固體物理總復(fù)習(xí)題答案一、填空題1.最??；12.3;3n-33.屮_(r)二eik亍u_(r);u_(r)4.禁帶(帶隙);擴(kuò)展kkk能區(qū)圖式法；

10、簡約布里淵區(qū)圖式法;周期性能區(qū)圖式法5.7；146.布喇菲;復(fù)式;兩個(gè)7.滿帶；空帶；價(jià)帶;導(dǎo)帶；帶隙8.平移;旋轉(zhuǎn);反演29.雙面群10.簡正振動(dòng)11.-V2+V(r)M(r)=E屮(r)12.周期2m勢場;微擾13.微擾；緊束縛14.晶體；非晶體；準(zhǔn)晶體15.體心立方;面心兀立方；六角密排16.K=-n；2V17.原子軌道線性組合法；n屮(r)=Yap(rR)18.頻率；格波mimm19.頂點(diǎn)；面心、體心;20.離子結(jié)合；共價(jià)結(jié)合；金屬結(jié)合；范德瓦爾斯結(jié)合；氫鍵結(jié)合21.正;費(fèi)米面附近22.絕熱近似；單電子近似;周期場近似23.電子密度;溫度二、名詞解釋1.晶格振動(dòng)中格波的能量量子。每個(gè)振

11、動(dòng)模式的能量均以方w為單位,能量遞增為方W的整數(shù)倍聲子的能量，一個(gè)格波就是一個(gè)振動(dòng)模式，對應(yīng)一種聲子。2. 由ia+1a+1a確定的空間格子。1122333. 當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動(dòng)'-很小，大約在107-3x10io赫,稱為布里淵散射。4. (1)絕熱近似：將固體分開為電子系統(tǒng)及離子實(shí)系統(tǒng)的一種近似方法；(2)單電子近似(自洽場近似)：利用哈特里福克方法將多電子問題歸結(jié)為單電子問題;(3)周期場近似:假定單電子勢場具有與晶格同樣的平移對稱性。5. 電子按泡利不相容原理，能量從低至高填充，所達(dá)到的最高能級(jí)。6在布拉伐格子中作一族平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以

12、將所有的格點(diǎn)包括無遺，這些相互平行的平面稱為晶體的晶面。7.當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動(dòng)大約在3x1Oio-3x1013赫，稱為喇曼散射。8假定周期場的起伏比較小，作為零級(jí)近似,可以用勢場的平均值7代替V(x),把周期起伏V(x)-V1故為微擾來處理。9. 晶體是由完全相同的原子、分子或原子團(tuán)在空間有規(guī)則地周期性排列構(gòu)成的固體材料。10.當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動(dòng)'-很小，大約在107-3x1010赫,稱為布里淵散射。11.晶體中的原子是規(guī)則排列的，用幾組平行直線連接晶體中原子形成的網(wǎng)絡(luò)，稱為晶格。12.當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動(dòng)大約在3x1010-3x1013赫，稱

13、為喇曼散射。三、簡述題1試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價(jià)結(jié)合中，哪一種或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。答：離子晶體主要依靠正負(fù)離子之間的靜電庫侖力而結(jié)合，結(jié)合力較強(qiáng)，結(jié)構(gòu)甚為穩(wěn)定，結(jié)合能較大，因此，導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成半導(dǎo)體和絕緣體。共價(jià)結(jié)合的晶體為原子晶體，是由兩原子之間一對自旋相反的共有化電子形成的，其結(jié)合力較強(qiáng)，導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成半導(dǎo)體和絕緣體。金屬性結(jié)合的晶體,原子失去價(jià)電子而成為離子實(shí)，價(jià)電子為全體離子實(shí)所共有,金屬性結(jié)合就是價(jià)電子與離子實(shí)之間的相互作用而形成的,結(jié)合能較小,易形成導(dǎo)體。范德瓦爾斯結(jié)合的晶體為分子晶體,這種結(jié)合是一種弱

14、的結(jié)合,電離能大，易形成絕緣體。2. 什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處?答：晶格振動(dòng)的能量是量子化的，把晶格振動(dòng)能量的量子稱為聲子。聲子與光子相類似，凡是應(yīng)用到光子上的理論,幾乎都可以應(yīng)用到聲子上,相同之處是它們都是波色子,碰撞過程中能夠被產(chǎn)生、或被消滅,能量的交換是一份一份的，即能量是量子化的。不同之處是聲子只代表振動(dòng)的機(jī)械狀態(tài)，而不具有動(dòng)量。光子可以在真空中傳播,而聲子只能在介質(zhì)中傳播。3什么是德拜溫度?它有什么物理意義？答：德拜彈性波模型的截止頻率3按亠關(guān)系式換算得到的溫度0稱為德mkDB拜溫度。熱容量的特征完全由德拜溫度確定,它近似地代表經(jīng)典比熱理論適用的高溫范圍同低溫適

15、用的低溫范圍的分界溫度?？梢源致缘刂甘境鼍Ц裾駝?dòng)頻率的數(shù)量級(jí)。4試敘述原子能級(jí)與能帶之間的對應(yīng)關(guān)系。答:原子能級(jí)與能帶之間存在著兩種對應(yīng)關(guān)系，一是簡單的一一對應(yīng),原子的各不同能級(jí)在固體中將產(chǎn)生一系列相應(yīng)的能帶,低能級(jí)的能帶較窄,高能級(jí)的能帶較寬。二是在形成晶體的過程中,不同原子態(tài)之間有可能相互混和，使對應(yīng)關(guān)系變的比較復(fù)雜,可認(rèn)為主要是由幾個(gè)能級(jí)相近的原子態(tài)相互結(jié)合而形成能帶，能帶發(fā)生了明顯的重疊。5. 簡述B1och定理，解釋簡約波矢k的物理意義,并闡述其取值原則。答：在晶體周期性勢場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波,即電子的波函數(shù)具有如下形式屮(r)=eik-r口(r)kk卩(r

16、)=p(r+RJkkn其中k為電子的波矢，R為格矢，上述理論稱為布洛赫定理。n平移算符和能量算符是對易算符，具有相同的本征態(tài),為了使平移算符在波矢k的某個(gè)范圍內(nèi),一個(gè)本征值對應(yīng)于一個(gè)波函數(shù)，我們把波矢限制在(kk-,-范圍內(nèi)，這一區(qū)域稱為簡約布里淵區(qū)。在此范圍內(nèi)的波矢，我們I 22丿稱為簡約波矢。6試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特點(diǎn)？答：晶體中的原子之所以能夠結(jié)合成具有一定幾何結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定晶體,是由于原子之間存在著結(jié)合力，而這種結(jié)合力與原子的結(jié)構(gòu)有關(guān),不同類型的原子之間具有不同性質(zhì)的結(jié)合力,由于結(jié)合力的性質(zhì)不同,晶體會(huì)具有不同類型的結(jié)合。一般晶體的結(jié)合可以概括為離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合和范

17、德瓦爾斯結(jié)合四種基本形式。離子晶體的典型晶格中，正、負(fù)離子相間排列，作用力的總效果為庫侖引力,具有結(jié)構(gòu)很穩(wěn)定、導(dǎo)電性能差、熔點(diǎn)高、硬度高、膨脹系數(shù)小的特點(diǎn);共價(jià)結(jié)合的晶體是一對近鄰原子相互靠近，波函數(shù)交疊,形成共價(jià)鍵,具有飽和性和方向性；金屬性結(jié)合是共有化的價(jià)電子與離子實(shí)之間的價(jià)鍵結(jié)合,結(jié)構(gòu)密排,具有熔點(diǎn)高、硬度高、導(dǎo)電、導(dǎo)熱性能好、無飽和性和方向性等特點(diǎn);范德瓦爾斯結(jié)合產(chǎn)生在原來穩(wěn)定電子結(jié)構(gòu)的原子或分子之間，結(jié)合后仍保持原來的電子結(jié)構(gòu)，具有結(jié)合力小、熔點(diǎn)很低、硬度很小的特點(diǎn)。7共價(jià)結(jié)合中為什么有”飽和性”和”方向性”?答：設(shè)N為一個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目，對于WA,VA,WA,WA族元素，價(jià)電子殼

18、層一共有8個(gè)量子態(tài)，最多能接納(8N)個(gè)電子，形成(8-N)個(gè)共價(jià)鍵。這就是共價(jià)結(jié)合的“飽和性”。共價(jià)鍵的形成只能在特定的方向上,這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱軸方向,在這個(gè)方向上交迭的電子云密度最大。這就是共價(jià)結(jié)合的“方向性”。8什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型?比較其主要結(jié)果。答：愛因斯坦模型是假設(shè)晶體中的所有原子都以相同的頻率®0，作相互獨(dú)立的振動(dòng)。德拜模型是把晶體看作各向同性的連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波,色散關(guān)系為直線。愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別，假設(shè)過于簡單，理論值的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)值不符。德拜模型在低溫時(shí),熱容決定于最低頻率的振動(dòng)，理論值與實(shí)驗(yàn)值相符。9. 什么是晶

19、體振動(dòng)光學(xué)支和聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別？答：在一維雙原子的簡單復(fù)式晶格中，求解原子的運(yùn)動(dòng)方程。對應(yīng)于每一個(gè)q值，都有頻率和®的兩類振動(dòng)，且，對應(yīng)于的格波稱為光-+-+學(xué)分支的格波。對應(yīng)于的格波稱為聲學(xué)分支的格波。對于光學(xué)分支的格波,相鄰兩不同原子的振動(dòng)方向相反。而對于聲學(xué)分支的格波，相鄰兩原子的振動(dòng)方向相一致,且在長波情況下,聲學(xué)分支的格波與彈性波相一致。10. 近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)?它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況,而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子附近時(shí),將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這

20、兩種模型的相同之處是：選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集,然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程,利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值,由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。11. 答：金屬晶體的結(jié)合力為原子實(shí)與電子云之間的靜電庫侖力,其一般具有面心立方結(jié)構(gòu)及六角密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為12。12答：它忽略了晶體的各向異性;忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對熱容的貢獻(xiàn)，光學(xué)波和高頻聲學(xué)波是色散波，它們的關(guān)系式比彈

21、性波的要復(fù)雜的多。13答:兩部分原因：帶正電荷的原子核之間的庫侖排斥力;原子或正負(fù)離子的閉合電子殼層相互交疊時(shí)，由泡利不相容原理而產(chǎn)生的排斥力。14.答：晶體中的電子除受外場力，還和晶格相互作用，設(shè)外場力為F,晶格對電子的作用力為F，電子的加速度a=丄（F+件），F(xiàn)的具體形式難以得知，為lmllF了不顯含f，則只有a=，晶格作用越小，有效質(zhì)量與真實(shí)質(zhì)量相差越小，lm*當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子散射作用最強(qiáng)烈。使得加速度與外場力的方向相反，有效質(zhì)量為負(fù)。15.答：固體物理學(xué)原胞是只考慮周期性的最小的重復(fù)單元，而晶胞是同時(shí)計(jì)及周期性與對稱性的盡可能小的重復(fù)單

22、元。兩者都體現(xiàn)了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，但是結(jié)晶學(xué)原胞還要考慮到對稱性，所以其體積往往是固體物理學(xué)原胞的幾倍。固體物理學(xué)原胞原子都在頂點(diǎn)，而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點(diǎn)也可以在面心、體心即存在于原胞內(nèi)部。16答：晶體根據(jù)結(jié)合力不同分為五種晶體類型。離子晶體（正負(fù)離子間靜電庫侖力）分子晶體（范德瓦爾斯力）金屬晶體（電子云和原子實(shí)之間的靜電庫侖力）共價(jià)晶體（共價(jià)鍵）氫鍵晶體（氫鍵作用）17.答:愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認(rèn)為所有的格波都以相同的頻率振動(dòng)，忽略了頻率間的差別，沒有考慮格波的色散關(guān)系。18.答：空穴：空缺一個(gè)狀態(tài)的能帶的電流猶如由一個(gè)帶正電荷e，具有空缺態(tài)電子的速度的“粒子”對電流的貢獻(xiàn)。這一粒子

23、稱為“空穴”空穴的屬性：帶正電荷e速度為缺失狀態(tài)電子的速度,有效質(zhì)量為正,數(shù)值等于該電子有效質(zhì)量的絕對值。四、推導(dǎo)題1.解:德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為：二cq,dq=_doedo內(nèi)包含的振動(dòng)模式數(shù)目為:dZ=2xdq=do2兀兀e模式密度：g(o)=壟=do兀e利用：3g(o)do=丁土如=NN是原子總數(shù)得兀e00兀=一ea晶格熱容：ho令x=一kTBomhoeho/kBTo=kJ()2Bg(o)doBKT(eho/kBT1)20BBkLomhoeho/kBTo=-bJ()2BdoeKT(eho/kBT1)20BBLk2T吋/texx2,=bdx兀he(ex1)20其中©=竺m

24、DkB2解:德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為八q，在二維波矢空間內(nèi)，格波等頻線是一個(gè)個(gè)圓周，在qTq+dq區(qū)間內(nèi)波矢數(shù)為:dZ=亠2叭二匹do(2兀)22兀V2模式密度：dg(o)=d-=羔二維介質(zhì)由兩支格波，總模式密度：g()=衛(wèi)塁KV2晶格熱容：Cv二軋&k（Kt）20e加/kTde(e方/kT1)2其中：Tg(®)d®="Kde=2N兀V200heSk1/kT、弔exx3令x=,C=k()2JdxkTvnv2h(ex1)20其中0=竺Dk高溫極限：exu1+xCu2Nk，與經(jīng)典理論一致。v低溫極限：0/TDjexx3(ex1)20dx=6g（常數(shù)）C

25、=AT2v在低溫下二維晶格的熱容量與溫度的平方成正比。3. 解：只考慮臨近原子相互作用，第n個(gè)原子所受的總作用力du=-B(2uuu)n-1n+1第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程d2udt2n=-B(2uuu)nn1n+1設(shè)解的形式為：u=Aei（qnaet）n運(yùn)動(dòng)方程Me2=eiqaeiqae2=2MG-cos(qa)=e=em.qasm2Xm格波振動(dòng)能：emSeheE=Jdenv2(ehe/kT1)04. 解：質(zhì)量為M的原子位于2n-l,2n+l,2n+3質(zhì)量為m的原子位于2n,2n+2,2n+4運(yùn)動(dòng)方程為：MR=-B(2卩-卩-卩)；2n+12n+12n+22n23mo2-23cosaqM1-(3(

26、2R-R-R)2n2n2n+12n-1設(shè)方程解的形式：RAeibt-(2na)q和RBeibt-(2n+1)aq2n2n+1因?yàn)镸>m，復(fù)式格子中不同原子振動(dòng)的振幅一般來說是不同的。將AeiLot一(2na)q2nRBeitot-(2n+1)aq2n+1帶回到運(yùn)動(dòng)方程得到：-mo2A3(eiaq+e-iaq)B-23A(23-mo2)A-(23cosaq)B0Mo2B3(eiaq+e-iaq)A23B(23cosaq)A+(23Mo2)B0j若A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足:23cosaq0時(shí)1土1-4mM(m+M)2sin2aq1/2時(shí)1+1-4mM(m+M)2sin2aq1/223

27、-Mo2(m+M)4mM11mM(m+M)2sin2aq1/2五、計(jì)算題1解:由題設(shè)可得金屬鋁的電子濃度為：2.7n=3x(x6.02x1023)=1.8x1O23(cm-3)=1.8x1O29(m-3)27K=(3兀2n)i/3=(3x兀2x1.8x1029)1/3=1.75x1O1o(m-1)F=沁=(1.°546x10-34xx1010)2=1.87x10-18J=11.7ev2m2x9.11x10-31=生=(1.°546x10-34x"5x1O1o)=2.03x106m/sm9.11x10-312.解：(1)該周期場的勢能曲線如下所示:其勢能平均值為:J

28、U(x)dxU=-g+gJdx=-3bdx£m®2(b2一x2)dxb=m®2b24b6g3b(2)根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為AE=2|UI11其中U和U表示周期場U(x)的展開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。12于是有U=Je-i2K4?U(g)dg=Je-i2K4?1m®2(b2-g2)dg=4m®?加14b4b2兀3U=Jel2k4b匚U(g)dg=Je2 4b4b-3b-b二me2(b2-g2)dg=竺竺22兀2AE=2U|=沁2&2AE:2'2，兀2故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為3.解：

29、(1)利用緊束縛模型計(jì)算能帶Es(k)=+Cs-Jelk氏,對Rn于面心立方點(diǎn)陣，S態(tài)電子波函數(shù)來說，交迭積分相等，原點(diǎn)的最近鄰位于R=冷(±1,±1,0),(±1,0,±1),(0,±1,±1)(3分)222將最近鄰的12個(gè)格點(diǎn)的格矢代入公式：近鄰E(k)=Eat+C-JHel疋RsssRn11=Eat+C-4J(coskacos_kass2x2y1111+cos_kacos_ka+cos_kacos_ka)2y2z2z2x7(2) 在k<<1的極限下，將cos-ka等用泰勒級(jí)數(shù)展開2x111coska=1-(ka)2+

30、取一級(jí)近似，得2x22xE(k)=Eat+C-12J+Jk2a2ssS顯然，E(k)與k的方向無關(guān)，即等能面為球形。sd2E2Ja2dk24.解：1)聲學(xué)波的最大頻率：eAmax,ea=3x1014radsMmax光學(xué)波的最大頻率：eo=：生，maxl|Ll15=6.7x1014radsMeO=max=込=o.2mm+M光學(xué)波的最小頻率：3Omin'2R=6x1014radsm2）相應(yīng)聲子的能量3Amax3OmaxOmin2B=,Ea=力a,Ea=0.198eVmaxmaxmax=,Eo二力o,Eo二0.442eV.|LXmaxmaxmax'2R='，Eo=方®

31、;o,Eo二0.396eVmminminminmax3）因?yàn)镋o=0.442eV，對應(yīng)電磁波的波長為九=2.8pmmax要激發(fā)3o的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段max5.Ga原子門As原子解：（1）由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心立方晶格，其原胞包含一個(gè)Ga原子和一個(gè)As原子,其中Gd原子處于面心立方位置上，而As原子則處于立方單元體對角線上距離Ga原子1/4體對角線長的位置上，如左圖所示：,.'3由此可知：d='a444故a=d=x2.45x10-10m=5.59x10-10m冷3Q3(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為:a=-(j+

32、k)=2.795x10-10(j+k)12a=a(k+i)=2.795x10-i0(k+i)2 2a=-(i+j)=2.795x10-10(i+j)3 2其倒格子基矢為：2兀b=(-i+j+k)=1.124x1010(-i+j+k)1 a2兀<b=一(i-j+k)=1.124x10-10(i-j+k)2 a2兀b=一(i+j一k)=1.124x10-10(i+j一k)、3a(3) 密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：“110k'1101=2=2.795x10-10m（4）根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為（110）和（111）晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢K110和K1-之間

33、的夾角設(shè)為則有:K-K-a=arccos110K110(1-b+1-b+0-b)-(1-b一1-b+1-b)12.1231111-b+1-b+0-b-1-b-1-b+1-b123當(dāng)k=n/a,E(k)=ma218?ma2Emax2h2ma2能帶寬度：AE=E-Emin2h2maxma2dE(k)1h2(2)V=1VE(k)=-hdkhma2.a.)asinka-sin2ka4丿hma(1)sinka-sin2kaI4丿hk=arccos(-0.3015)=107.55。6.解(1)dE(k)=0dkasinka+丄(-2a)sin2kama28sinka-sin2ka=04sinka-sink

34、acoska=02sinka二0k二0,兀/aE二0min當(dāng)k二0,E(k)=7.解：（1）根據(jù)緊束縛模型,S帶的能量：E（k）=£-A-J工eRnR為最近鄰格點(diǎn)sssnn對體心立方，最近鄰的原子有8個(gè)，即土纟，土纟，土纟I222丿代入上式，有：E(k)=£-A-Jsss/kk_kiIsa+ya+zaeI222/kkyk-iIxa+ya+za+eI222/kk_diI-xa+ya+za+eI222+exa+ya+za222+e上JJ-xa一ya+za222kJk-xa一ya+za222kk_dxa+yaza222kJk-xa+ya一za2221+cos2-A-2J1()co

35、ska+ka+ka+cos2xyz21(ka+ka+ka)xyzka-ka+ka)+cos(ka+ka-ka)xyz2xyz2cos2)111a+kacoska+2coskacos22x2xf1)f1)f1)-A-8JcoskacoskacoskaS12x丿12y丿12z丿zss(2)根據(jù)E(k)=£ssf1)fl一f1一coskacoskacoska12x丿12y丿12z丿-A-8JSxyz即r(0,0,0)處，E()最小s為能帶底Emin=£A8JssS在Hf王,0,0處，E(k)最大Ia丿s為能帶頂Emax=£A+8JssSfkafka|ka)4Jasinx

36、cosycossI2丿v2丿V2丿6E()OkxO2E()Ok2fkafka)|ka)xcoscosV2丿12丿V2丿2Ja2cossO2E(k)OkOkxy-4Ja2sinsfka|ka)sincosv2丿V2丿fka、xI2丿在帶底r(o,o,o)處，有h2h2m*二二一xxO2E/Ok22Ja2xsh2xyO2E/OkOkm*=gyyzzxx2Ja2sm*=m*=gyzxz(2兀在帶頂H2-,0,0處，有Va丿力2力2m*=xxd2E/Qk22Ja2xsh2m*=gxyQ2E/QkQkxyh2m*=m*=m*=yyzzxx2Ja2sm*=m*=gyzxz六、證明題1.證明：倒格子基矢為:axa23aaxaaxa_31