應(yīng)力波理論復習資料

1、復習內(nèi)容：概念：應(yīng)力波；物質(zhì)坐標，空間坐標，物質(zhì)微商，空間微商，物質(zhì)波速；特征線；強間斷，弱間斷，沖擊波，波的彌散效應(yīng)；層裂；彈性卸載假設(shè)；卸載邊界；應(yīng)變間斷面；應(yīng)力松弛；蠕變；粘性彌散；Hugoniot彈性極限；固體高壓狀態(tài)方程；沖擊絕熱線；主要內(nèi)容：、Lagrange方法推導一維應(yīng)力縱波的波動方程。解:F(X,t)F(X+dX,t)dXXX+dXX在Lagrange坐標中建立圖示一維應(yīng)力波長度為dX的微元的受力圖,截面X上作用有總力F(X,t),截面X+dX上作用有總力F(X+dx,t),有F(X+dX)=F(X,t)+"(X't)dX6X根據(jù)牛頓第二定律,有竺PAdX=

2、F(X+dX)-F(X,t)=°F(X'°dXQtoo'3X解之,有QF(X,t)QXdX=pAdX00Qt而F(X,t)二bA0，故上式可以化為(a)QvQbp=0QtQX對于一維應(yīng)力縱波，b(8)連續(xù)可微，記C=丄空Vp0d8則db=pC2d80代入(a)式，可得QvQs=C2QtQX(b)因為v=¥，S=QX，代入式，則得到了一維應(yīng)力波在Lagrange坐標系中的波動方程:Q2uQ2u一C2=0Qt2QX2二、用方向?qū)?shù)法求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系"QpQpQv+v丄+p=0QtQxQxQvQvQpp(+v)+c2=

3、0QtQxQx解:對一階偏微分方程組進行線性組合，X入+其中九為待定系數(shù)，整理可得:（九v+c2）空+九空+（九p+pv）色+P竺=0QXQtQXQt根據(jù)特征線求解方法，特征線特征方程為(a)dx九v+c2Xp+pv()=dtrXpdx解之，得x=±c，方=v土c，即特征線的微分方程為:dx=(v土c)dt將其積分即可得到特征線方程。由（a）式，整理有v+c2QpQp人('+)+p(九+v)九QXQtQXQvQv+-QXQtdpdv九+p=0dtdt將九值代入上式，可得特征線上的相容關(guān)系為：dp=dv=dv九c"QsQQv+v(1+s)=0QtQxQxQvQv、QS

4、介、QtQxQx解：對一階偏微分方程組進行線性組合，X入+，其中X為待定系數(shù)，整理可得:(a)Av-（1+s）c23+丐+-A（1+s）+v3x£=0根據(jù)特征線求解方法，特征線特征方程為dxAv-(1+s)c2-A(1+s)+vF=dx解之，得九=±c，（）=v+（1+s）c，即特征線的微分方程為:dtrdx=v+(1+s)cdt將其積分即可得到特征線方程。由（a）式，整理有+-3x3t+_九(1+s)+咚+弓=0dsdv即九一+=0dtdt將九值代入上式，可得特征線上的相容關(guān)系為：dv=-九ds=+cds3p3p3v小v門+v-+p+2p=03t3r3rr3v3v3pp(

5、+v)+c2=03t3r3r對一階偏微分方程組進行線性組合，+X入，其中九為待定系數(shù)，整理可得:¥(a)3p3p3v3vvv+入c2+(p+Apv)+Ap+2p=03r3t3r3tr根據(jù)特征線求解方法，特征線特征方程為drv+Ac2p+Apv()=dtr11dr解之，得"土c，方=v土c，即特征線的微分方程為:dr=(v土c)dt將其積分即可得到特征線方程。由（a）式，整理有1+九v3v3v+-A3r3tdpdvv+Ap+2p=0dtdtr將九值代入上式，可得特征線上的相容關(guān)系為：dp土匕dv+dt=0crQt(4)解：QXQeQtpC2Qt01QtpQX0=0=0對一階偏

6、微分方程組進行線性組合，+X入,其中九為待定系數(shù)，整理可得:QeaQe九Qt1Qt+入一QXQt=0pQXpC2Qt00(a)根據(jù)特征線求解方法，特征線特征方程為/dX、九九p()=0-dtr11pC20解之，得X=±,()=±C，即特征線的微分方程為:CdtrdX=±Cdt將其積分即可得到特征線方程。由(a)式，整理有1QeQe1X(+)XQxQtpC20即X迥dT=0dtpC2dt0將X值代入上式，可得特征線上的相容關(guān)系為:1de=dT=±XpC20dTpC0=0三、用特征線法求解波的傳播。設(shè)半無限長彈性桿初始狀態(tài)為a(X,0)=*,v(X,0)=v

7、*,8(X,0)=s*,t=0時刻桿左端X=0處受到一沖擊載荷，即邊界條件為v(0,t)=v0(t)，用特征線法求解(X，t)平面上A0X和Aot區(qū)域的物理量。解:OA為經(jīng)0(0,0)點作的右傳波的特征線，將(X,t)平面劃分為外加載荷產(chǎn)生的彈性波尚未到達的AOX區(qū)和彈性波已傳到的Aot區(qū)。對于彈性波，特征線和特征線上相容條件對應(yīng)于：dX=±Cdt0<dv=±Cds0do=±pCdvv00引入積分常數(shù)g、g、a、0、K、K后，可寫成1212'X-Ct=g_01右行波有：5vCs=a01opCv=KV001'X+Ct=g_01左行波有：5v+C

8、s=a02o+pCv=KV002AOX區(qū)在該區(qū)任一點P,作正向特征線PQ和負向特征線PR,分別交OX軸于Q點和R點,沿著特征線PQ和PR分別有vCs=vCs=aP0PQ0Q1v+Cs=v+Cs=a(2)P0PR0R2opCv=opCv=KP00PQ00Q1o+pCv=o+pCv=KP00PR00R2v=1,p2由(1)(2)可得：s=p2C0v+v)+C(ss)QR0RQv)+C(s+s)RQ0RQ由初始條件，有o=o=o*RQo=o*Pv(X,0)=v*,s(X,0)=s*,則可解得<v=v*ps=s*-p由于P點位AOX區(qū)域中的任意點，因此該解適合用于整個AOX區(qū)。對于Aot區(qū)<

9、;該區(qū)任一點B,作正向特征線BC交Ot軸于C點，負向特征線BD,交OX軸于D點,再過C點作負向特征線CE交特征線OA于E點，沿著特征線BC、BD和CE分別有vC£=vC£=pB0BC0C1v+C£=v+C£=pB0BD0D2gpCv=gpCv=kB00BC00C11g+pCv=g+pCv=kB00BD00D22v+C£=v+C£=P=vG=pCv00+C£*C0CE0E30g+pCv=g+pCv=kC00CE00E23沿著特征線OA,其上各點與AOX區(qū)具有相同的參數(shù)值，即有G=G=G*,v=v=G*,£=£

10、;=£*DEDEDE此外，v由邊界條件已給出，即v=v(t)Cc0于是可解得v*v(t)£=£=0+£*BCC0<v=v=v(t)BC0G=G=pCv*v(T)+G*BC000（可以看出，在T時刻，施加于桿端部的擾動v（T）和£以C的速度沿桿傳播，并且0C0沿著特征線BC,對應(yīng)的參數(shù)值保持不變。X特征線BC的特征方程可表示為X=C（tT），則有T=t一。0C0由于B點Aot區(qū)中任意選取的，那么，對于Aot區(qū)任意一點，其解為（X）v*v（t）0C£=0+£*C0（X、v=v（t尸）0C0X+v(t)0C0四、波形曲線和時

11、程曲線一線性硬化材料半無限長桿X>0，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖所示，其中E=100GPa,E=E/25,Y=200MPa,p=4g/cm3。在桿的左端X=0處施加如圖所示10的載荷。（1）畫出Xt圖；（2）畫出t=0.4ms時刻的波形曲線；（3）畫出X=0.5m位置的時程曲線。/£解：半無限長桿中彈性波波速：Co晉r40帶=55i03m/s¥0塑性波速：C=1E_p°=1C=1x103m/s25p5o0YYPC=00點的坐標表示清楚，X-1圖、產(chǎn)生塑性波的速度v5二10m/s，時間t=0.1ms。(圖上把關(guān)鍵4x103x5x103Y波形圖和時程圖盡量畫在一起五、彈性

12、波的相互作用處理原則：在撞擊面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料彈性桿的共軸撞擊圖如圖所示，作出X-t圖和b-v圖，并確定其撞擊結(jié)束時間及兩桿脫開時間（做a、b）v=8m/sv二8m/s3v=8m/s3解：作圖說明：兩彈性桿材料相同，故在X-1圖中，由于兩桿波速相等，同方向的特征線斜率相同；在o-v狀態(tài)圖中同方向的波傳播o-V關(guān)系曲線斜率相同。a）2L由波系圖和O-v狀態(tài)圖可得，兩桿撞擊結(jié)束時間為t二O，對應(yīng)于M點，此時兩C0桿在撞擊界面上質(zhì)點速度均為°，此后一直到時間t二菩時（N點），兩桿界面上質(zhì)點0保持靜止，并未相互脫離。而應(yīng)力波在被撞擊桿右端反射后，使該桿逐漸獲得了正向

13、速度，當t二6Lo時，被撞桿的左端面得介質(zhì)速度由0躍為v>0，與早已處于靜止狀C70態(tài)的撞擊桿脫離，向右飛出。(b)L2LL2L由波系圖和a-v狀態(tài)圖可得,2桿和3桿撞擊結(jié)束時間t二一，對應(yīng)于M點，此C0后,2桿和3桿都保持靜止狀態(tài)，但不相互脫離。而1桿由于應(yīng)力波在右端面的反射,4L桿內(nèi)逐漸獲得了正向速度。當t二-0時，1桿和2桿界面對應(yīng)于N點，1桿的左端面C0的介質(zhì)速度由v>0提高至v>0，而此時2桿右端面的介質(zhì)速度剛好由v>0下降為4640，1桿和2桿脫離(之前，1桿和2桿界面兩端的介質(zhì)始終保持相同的質(zhì)點速度)。2、已知兩種材料質(zhì)的彈性桿A和B的Young模量，密度

14、和屈服極限分別為：E=60GPa、p-2.4g/cm3、Y-100MPa、E=180GPa、p-7.2g/cm3、AAABBY二240MPa，試對圖中所示情況分別畫出X-t圖和a-v圖，并確定其撞擊結(jié)束時間、B兩桿脫開時間。以及分離之后各自的整體飛行速度。50cm(a)100cm解：C=AEa=P2.4x103A60x109=5000m/s,C=：EB=5000m/sBPC=1.2x107Kg.s/m2,AAPC=3.6x107Kg.s/m2BBv=a沁8.33m/s,v=b沁6.67m/sYAPCYBPCAABB可見A、B兩桿彈性波速相同，但波阻抗值不同，即兩桿在波系圖中特征線的斜率相同，而

15、在a-v狀態(tài)平面上a-v關(guān)系曲線斜率不相等?！救鐖D示波系圖及狀態(tài)平面圖，由于A、B兩桿均為彈性桿，故在桿中傳播的為彈性波。A桿撞擊B桿后由界面處向左傳播一彈性波，對于被撞的B桿，向右傳播一彈性波，在碰撞面處兩端應(yīng)力相等，質(zhì)點速度相等。由圖可知，當t=2CCA=20ms時，A桿中應(yīng)力波由自由界面反射至兩桿界面處，A使界面處質(zhì)點速度小于零（-0.4m/s）,A將脫離B桿向左飛離，B桿左端變?yōu)樽杂啥嗣?，從而B桿左端應(yīng)力卸為0,速度也減為0,兩桿碰撞也結(jié)束了。兩桿分離后，A桿的速度為-0.4m/s,B桿的平均速度為2.0m/s。根據(jù)碰撞界面上速度相等、應(yīng)力相等條件，波陣面上的守恒條件，求解方程及結(jié)果為

16、：自然靜止區(qū)a=0:<2*v=8m/s21區(qū)2區(qū)3、3區(qū):4區(qū):5區(qū):6區(qū):假定Q=pCv<3BB3QQ=pC(vv)j3-''-2AA32Q=04QQ=pC(vv)43AA43Q=05QQ=pC(vv)5-Q3Q=06=pC(vv)BB63A和B均為線性硬化材料,q=72MPa3V3=2m/sQ=04=-4m/sQ=0V5v=0i5Q=06v=4m/s、6已知其=2.4g/cm3、Y=lOOMPa、E=18OGPa、AB材料常數(shù)分別為：E=60GPa、A=7.2g/cm3、Y=240MPa。試確B定圖A所示兩種情況下使圖中被撞擊桿1屈服的最低打擊速度v2為多大v1

17、=0解：C=AE基=PA臨=5000m/=1.2X107，PCBB二3.6X107BAPBB=5000m/sYa8.33m/s，pCAAA、B兩桿彈性波速相同，則兩桿在波系圖中的特征線的斜率相等。B桿撞擊A桿，如圖（1）所示，撞擊桿B屈服極限值較大，要使被撞擊的A桿屈服,VYAVYBY=BpCBB6.67m/s只需圖3區(qū)解對應(yīng)于Y和v即可，這是一種臨界狀態(tài)。AYAt圖(1)則應(yīng)有=pC(v-v)3BB329=-Y3Av=vV3YA可解得，使得被撞擊桿的A桿屈服，最小打擊速度為v=11m/s。2匕乃二°*AA(c)A桿撞擊A桿，兩桿會同時達到屈服，仍如圖(1)所示，有=pC(v-v)3

18、AA32<=-Y3Av=vv3YA可解得：v=16.67m/s。25、相同材料的彈性桿,A桿以vA=8m''s的速度撞擊初始靜止靠在一起的B,C,D桿，如圖所示，試作出X-1圖，確定撞擊結(jié)束時間，脫開時間及撞擊后各桿的運動狀態(tài)。卩衛(wèi)=8Itl/s吃=Cl=0臨=oABCD%解：作出X-1圖和b-v如下圖所示.X-1圖中各區(qū)域中的狀態(tài)量可得:1區(qū)：B,C,D桿初始狀態(tài)為b=0,v=0，在波陣面未達到之前，為未擾動區(qū)域，應(yīng)有b=0,V=0；1 12區(qū):A桿初始狀態(tài)b=0,v=8m/s;對應(yīng)b-v圖上b=0,v=8m/s2 23區(qū):b-b=pC(v-v)32032nb-b=-pC(v-v)31031b=-4pC3 0v=4m/s34區(qū)：左行壓縮波在A桿左端自由面反射，反射波經(jīng)過后桿的狀態(tài)Ib=0sL5L靜止自然狀態(tài)；B桿左端從t=開始,應(yīng)力卸載到零，速度也卸載到零；到t=時BCC00nlb-b=-pC(v-v)V430435區(qū):右行壓縮波在D桿右端自由面反射，反射波經(jīng)過后桿的狀態(tài)b=05nb-b=pC(v-v)53053或者從b-v圖也可以得到各桿最終的運動狀態(tài).撞擊結(jié)束時間t=4L,A桿處于C0桿整體處于應(yīng)