第7章參數(shù)估計

1、統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院1.參數(shù)估計的基本問題（矩估計和極大似然估計）；參數(shù)估計的基本問題（矩估計和極大似然估計）；2.單個總體均值、比率、方差的區(qū)間估計；單個總體均值、比率、方差的區(qū)間估計；3. 樣本容量的確定；樣本容量的確定；4.兩個總體均值、比率、方差差異的區(qū)間估計。兩個總體均值、比率、方差差異的區(qū)間估計。1.區(qū)間估計的原理；區(qū)間估計的原理；2.抽樣精確度與置信度之間的關系。抽樣精確度與置信度之間的關系。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院它們構成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式它們構成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式. .這兩這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支.概括起來可以歸納成兩大類概括起來可

2、以歸納成兩大類:參數(shù)估計參數(shù)估計根據(jù)數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的用一些方法對分布的未知參數(shù)進行估計未知參數(shù)進行估計.假設檢驗假設檢驗根據(jù)數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的用一些方法對分布的未知參數(shù)進行檢驗未知參數(shù)進行檢驗. 數(shù)理統(tǒng)計的核心問題數(shù)理統(tǒng)計的核心問題由樣本推斷總體由樣本推斷總體 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院XP(),XE(),XN(,2)用所獲得的樣本值去估計參數(shù)取值稱為參數(shù)估計參數(shù)估計.參參數(shù)數(shù)估估計計點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計用某一數(shù)值作為參數(shù)的用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值近似值在要求的精度范圍內指出參在要求的精度范圍內指出參數(shù)所在的區(qū)間數(shù)所在的區(qū)間 參數(shù)估計的基本思想參數(shù)

3、估計的基本思想統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院點估計問題的一般提法點估計問題的一般提法.,.,);(2121為相應的一個樣本值為相應的一個樣本值本本的一個樣的一個樣是是是待估參數(shù)是待估參數(shù)知知的形式為已的形式為已的分布函數(shù)的分布函數(shù)設總體設總體nnxxxXXXXxFX .),(),(2121 來估計未知參數(shù)來估計未知參數(shù)用它的觀察值用它的觀察值一個適當?shù)慕y(tǒng)計量一個適當?shù)慕y(tǒng)計量點估計問題就是要構造點估計問題就是要構造nnxxxXXX.),(21的估計量的估計量稱為稱為 nXXX.),(21的估計值的估計值稱為稱為 nxxx., 簡記為簡記為通稱估計通稱估計 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院估計量的求法估計量的求

4、法 由于估計量是樣本的函數(shù)由于估計量是樣本的函數(shù), 是隨機變量是隨機變量, 故故對不同的樣本值對不同的樣本值, 得到的參數(shù)值往往不同得到的參數(shù)值往往不同, 如如何求估計量是關鍵問題何求估計量是關鍵問題.常用構造估計量的方法常用構造估計量的方法: (兩種兩種)矩估計法和最大似然估計法矩估計法和最大似然估計法.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院1 1、矩估計法、矩估計法 它是基于一種簡單的它是基于一種簡單的“替換替換”思思想建立起來的一種估計方法想建立起來的一種估計方法 .是英國統(tǒng)計學家是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜皮爾遜最早提出的最早提出的 .統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院矩估計的原理矩估計的原理: 樣本來自總體，必然帶著總體的相關

5、信息樣本來自總體，必然帶著總體的相關信息,因此因此可用樣本矩作為總體相應矩的估計，用可用樣本矩作為總體相應矩的估計，用樣本矩的函樣本矩的函數(shù)數(shù)作為作為總體相應矩的函數(shù)總體相應矩的函數(shù)的估計，而總體各階矩都的估計，而總體各階矩都是總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)，從而通過估計總體是總體分布中未知參數(shù)的函數(shù)，從而通過估計總體矩來達到估計總體分布中未知參數(shù)的目的矩來達到估計總體分布中未知參數(shù)的目的.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院的的一一個個樣樣本本為為來來自自總總體體設設XXXXn),(21X對對總總體體kkEX 1 kkEXXE)( 2 ),(21nXXX對對樣樣本本 nikikXn11 1 nikikXXn1)(1

6、2 階階原原點點矩矩樣樣本本k階階原原點點矩矩k階階中中心心矩矩k階階中中心心矩矩樣樣本本kX 2S EX DX 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院例例1),(2 NX設設某某種種奶奶粉粉每每包包凈凈重重,2未未知知參參數(shù)數(shù) 隨機抽測隨機抽測8包包,測得凈重測得凈重(g)分別為分別為453 457 454 452.5 453.5 455 456 451.,2的的矩矩估估計計試試求求參參數(shù)數(shù) 解解檢測的檢測的8包奶粉顯然為一個樣本包奶粉顯然為一個樣本設樣本均值和樣本方差觀測值分別為設樣本均值和樣本方差觀測值分別為 niixnx11 niixxns122)(145431. 3 2 DX EX由于由于即即DX 2 E

7、X 得得的的估估計計作作為為總總體體矩矩分分別別用用樣樣本本矩矩,2DXEXSX2M M X 2S 的的矩矩估估計計量量參參數(shù)數(shù)2, 2M M 故得到矩估計值故得到矩估計值454 31. 3 頂標頂標“”表示估計表示估計 下標下標“M”表示矩法表示矩法統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院例例2 其其它它010)1()(xxxf 的的分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)為為設設總總體體X的的矩矩估估計計量量試試求求未未知知參參數(shù)數(shù) 解解EX dxxxf)( 10)1(dxxx 10221 x21 的的矩矩估估計計量量得得的的估估計計作作為為分分別別用用樣樣本本矩矩 ,EXXEXEX 112 M XX 112統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院例例

8、3 常見分布未知參數(shù)的矩估計量常見分布未知參數(shù)的矩估計量)()2( PXEXmp Mp mX EX ),()1(pmBX)(已已知知mM X ),()3(2 NXEX DX2 M2 M X 2S 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院)()4( EXEX 1 M X1 ),()5(baUXEX2ba DX12)(2ab DXEXa3 DXEXb3 23SXaM 23SXbM SX3 SX3 矩法直觀而又便于計算，但其精確度通常較別的方矩法直觀而又便于計算，但其精確度通常較別的方法（如最大似然估計方法）低。法（如最大似然估計方法）低。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院2 2、最大似然估計法、最大似然估計法是在總體類型已知條件下使用的一

9、種參數(shù)估計方法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 .它首先是由德國數(shù)學家它首先是由德國數(shù)學家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 , GaussFisher然而，這個方法常歸功于英國然而，這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家統(tǒng)計學家費歇費歇 .費歇費歇在在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法方法，并首先研究了這種方法的一些性質的一些性質 .統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院最大最大似然估計法的基本思想似然估計法的基本思想 先看一個簡單例子：先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過一只野兔從前方竄過 .是誰打中的呢？是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵某位同學與一位獵人一起外出

10、打獵 .如果要你推測，如果要你推測，你會如何想呢你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 .統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 你就會想，只發(fā)一槍便打中你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率一般大于這位同學命中的概率. 看來這一槍是獵人看來這一槍是獵人射中的射中的 . 這個例子所作的推斷已經體現(xiàn)了這個例子所作的推斷已經體現(xiàn)了最大最大似然似然估計估計法的基本思想法的基本思想 .最大似然估計法的思想：最大似然估計法的思想：在已得到試驗結果的情況下在已得到試驗結果的情況下應尋找使這個結果出現(xiàn)的可能性最大的那個應尋找使這個結果出現(xiàn)的可能性最大的那個 值

11、作為值作為 的估計的估計. 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院的的一一個個樣樣本本為為來來自自總總體體設設XXXXn),(21miXi, 2 , 1, 的的未未知知參參數(shù)數(shù)為為總總體體 為為樣樣本本的的一一組組觀觀測測值值),(21nxxxmii, 2 , 1, 選選擇擇適適當當?shù)牡陌l(fā)發(fā)生生的的概概率率最最大大),(),(2121nnxxxXXX 最最大大即即),(),(2121nnxxxXXXP 即即統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院相相互互獨獨立立因因為為nXXX,21),(),(2121nnxxxXXXP ),(2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiixXP1),(21mL 記記-(1)m,21

12、稱稱(1)式為式為 的的似然函數(shù)似然函數(shù) niiixXP1統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院最最大大使使最最大大似似然然估估計計即即求求),(,2121 Lm并并令令它它們們等等于于零零的的偏偏導導數(shù)數(shù)對對求求,),(21imL 0),(121 mL0),(221 mL0),(21 mmL -(2)似然方程組似然方程組稱稱(2)式的解為式的解為 的的最大似然估計值最大似然估計值m ,21m,21得得 的的似然方程組似然方程組統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院求解時求解時,若將若將(1)式兩邊取對數(shù)式兩邊取對數(shù),則有則有),(ln21mL niiixXP1ln-(3)對數(shù)似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)因此似然方程組化為因此似然方程組化為mi

13、Lim, 2 , 1, 0),(ln21 -(4)其解為其解為 的的最大似然估計值最大似然估計值, m ,21LmLL ,21記記為為統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院則則似似然然方方程程組組為為為為離離散散型型若若總總體體,XimL ),(ln21 niiiixXP1ln 0 -(5)則則似似然然方方程程組組為為為為連連續(xù)續(xù)型型若若總總體體,XimL ),(ln21 niiixf1)(ln 0-(6)則則得得最最大大似似然然估估計計量量換換成成若若,2121nnXXXxxx統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院)()1( PX例例4 求未知參數(shù)的最大似然估計量求未知參數(shù)的最大似然估計量. ,21的的一一個個樣樣本本為為來來自自下下

14、列列總總體體若若XXXXnnxxx,21設設樣樣本本的的一一組組觀觀測測值值為為的的似似然然函函數(shù)數(shù)為為則則 )( L niiixXP1 niixexi1! nniixexnii 1!1兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù),得得)(ln L niinxxenii1!lnlnln1 niiniixnx11!lnln 0,.2 , 1 , 0,! kkekXPk統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院并并令令其其為為零零求求導導兩兩邊邊對對, dLd)(lnnxnii 110 niiLxn11 得得x 的的最最大大似似然然估估計計量量為為即即 niiLXn11 X 與矩估計結果一樣與矩估計結果一樣)(ln L niiniixnx11!l

15、nln 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院),()2(2 NXnxxx,21設設樣樣本本的的一一組組觀觀測測值值為為的的似似然然函函數(shù)數(shù)為為則則2, ),(2 L niixf1)(),(2 L222)(121 ixnie2122)()21( niixne兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù),得得),(ln2 L)21ln( n 2122)( niix2ln22ln nn 2122)( niixRxexfx 222)(21)( 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院22),(ln L ),(ln2L0并并令令其其為為零零求求偏偏導導兩兩邊邊分分別別對對,2 212 n 21)( niix2212)(21)( niix0 即即01 niinx 01)(

16、212 niixn niiLxn11 x niiLxxn122)(1 2s的的最最大大似似然然估估計計量量為為所所以以2, XL 22SL 與矩估計結果一樣與矩估計結果一樣),(ln2 L2ln22ln nn 2122)( niix統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院),()3(baUXnxxx,21設設樣樣本本的的一一組組觀觀測測值值為為的的似似然然函函數(shù)數(shù)為為則則ba,),(baL 其其他他011niibxaababaL ),(0)(1 nabn無駐點無駐點 其它其它01)(bxaabxf 其其他他0)(1bxaabin顯然顯然 的最大值點一定是的最大值點一定是),(baLbxaabbaLin )(1),(1

17、的最大值點的最大值點而而統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院的的最最大大似似然然估估計計量量為為因因此此ba,min21nLXXXa ,max21nLXXXb Ma MbSX3 SX3 的的矩矩估估計計量量為為而而ba,未知參數(shù)的最大似然估計和矩估計的結果并不都未知參數(shù)的最大似然估計和矩估計的結果并不都是一樣的是一樣的bxxxan ,21由由于于越越小小且且ab 越越大大),(baL,min21nLxxxa ,max21nLxxxb 取取最最大大),(baL 其其他他0)(1),(bxaabbaLin統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院,2121的一個樣本值的一個樣本值為相應于樣本為相應于樣本設設nnXXXxxx,1 , 0,)1(

18、1 xppxXPXxx的分布律為的分布律為似然函數(shù)似然函數(shù)iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp), 1()4(pBX),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpxpLpniinii令令統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院的最大似然估計值的最大似然估計值解得解得 pxxnpniiL 11的最大似然估計量為的最大似然估計量為pXXnpniiL 11這一估計量與矩估計量是相同的這一估計量與矩估計量是相同的.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 ,0, 00,)(xxexfx 其它其它, 00,)(1ixnxeLnii )()5( EX,2121的一個樣本值的

19、一個樣本值為相應于樣本為相應于樣本設設nnXXXxxx的的似似然然函函數(shù)數(shù)為為則則 niixnL11ln)(ln 對其取對數(shù)對其取對數(shù)由由 niixndLd110)(ln 可得參數(shù)可得參數(shù) 的最大似然估計值的最大似然估計值xxnniiL11 顯然顯然 的最大值點一定是的最大值點一定是)( L0)(11 ixnxeLnii 的最大值點的最大值點統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院最大似然估計的性質最大似然估計的性質.)()(,),()(的的最最大大似似然然估估計計量量是是則則的的最最大大似似然然估估計計量量是是具具有有單單值值反反函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)設設 uuuuuu 此性質可以推廣到總體分布中含有多個未知此性質可

20、以推廣到總體分布中含有多個未知參數(shù)的情況參數(shù)的情況.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院的最大似然估計值為的最大似然估計值為2 ,)(1212xxnniiL ),0()(2222 uuuu 有單值反函數(shù)有單值反函數(shù)函數(shù)函數(shù)的最大似然估計值為的最大似然估計值為故標準差故標準差 .)(1212xxnniiLL 中中如如),(2 NX 在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法, 在最大似然估計法使用不方便時在最大似然估計法使用不方便時, 再用矩估計法再用矩估計法.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院341,0:( ; )(0)0,xexXp xother今取得一組樣本今取得一組樣本Xk數(shù)據(jù)如下，問如何估計數(shù)

21、據(jù)如下，問如何估計？162950681001301402702803404104505206201902108001100 例例5: 某電子管的使用壽命某電子管的使用壽命 X (單位單位:小時小時) 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 分析分析 可用兩種方法：矩法估計可用兩種方法：矩法估計 和極大似然估計和極大似然估計.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院351）矩法估計）矩法估計01xEXxedx.XX則計為：令可得 的矩法估量數(shù)計為：代入具體值可得的估值).(318572318111小時niixn1,0:( ; )(0)0,xexXp xother統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院362）極大似然估計）極大似然估計 構造似然函數(shù)構造似然

22、函數(shù) 當當xi0,（i=1,2, ,n) 時，似然函數(shù)為時，似然函數(shù)為1111( )niiinxxniLee niixnL11lnln 取對數(shù)取對數(shù) 建立似然方程建立似然方程. 01ln12 niixndLd1,0:( ; )(0)0,xexXp xother統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院37 得極大似然估計量：得極大似然估計量：,11XXnnii 代 入 具 體 數(shù) 值 可 得的 估 計 值 為 ： 求解得極大似然估計值求解得極大似然估計值,11xxnnii ).(318572318111小小時時 niixn. 01ln12 niixndLd niiixnxnineexxL11111);,.,( niix

23、nL11lnln統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院38求極大似然估計的求極大似然估計的一般步驟一般步驟： 寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù) nimin),.,;x(p);x,.,x,x(L12121 nimi),.,;x(plnLln121 對似然函數(shù)取對數(shù)對似然函數(shù)取對數(shù)ln0,(1,2,.,)iLim 對對 i (i =1, m)分別求偏導分別求偏導, ,建立似然方程建立似然方程( (組組) )m,., 1 解得解得 分別為分別為 的極大估計值的極大估計值. .m,., 1統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院39例例 6 設總體概率密度為設總體概率密度為(1),01;( , )0,.xxp x其他求參數(shù)求參數(shù)的極大似然估計的極大似然估

24、計, 并用矩法估計并用矩法估計.解解 1) 極大似然估計法極大似然估計法構造似然函數(shù)構造似然函數(shù)01)0nniiinxxL xx11(1),;( ,.,;,其它統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院40niixnL1ln) 1ln(ln 建立似然方程建立似然方程, 0ln1ln1niixndLd 求解得極大似然估計值為求解得極大似然估計值為11,lnniinx 極大似然估計極大似然估計 量為量為11.lnniinX 取對數(shù)取對數(shù)：當當 0 xi1, (i=1,2, ,n) 時時統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院41,21) 1(2) 1(10210 xdxxxEX2) 矩估計法矩估計法1, 2X計為令可 得 的 矩 法 估量1212

25、.11XXX統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院3. 點估計量的評價標準點估計量的評價標準無偏性無偏性有效性有效性一致性一致性統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院本節(jié)介紹三種常用的標準本節(jié)介紹三種常用的標準:無偏性、有效性和一致性無偏性、有效性和一致性 從前一節(jié)可以看到從前一節(jié)可以看到, 對于同一個參數(shù)對于同一個參數(shù), 用不用不同的估計方法求出的估計量可能不相同同的估計方法求出的估計量可能不相同. 例如例如問題問題(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標準是什么評價估計量的標準是什么?),(baUXSXaM3 SXbM3 ,min21nLxxxa ,max21nLxxxb

26、統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院（1 1）無偏性）無偏性點估計量點估計量是隨機變量是隨機變量對于不同的樣本觀測對于不同的樣本觀測值有不同的估計值值有不同的估計值估計值與待估參估計值與待估參數(shù)不會完全一致數(shù)不會完全一致希望點估計量以待估參數(shù)為中心波動希望點估計量以待估參數(shù)為中心波動即估計值的平均值應當?shù)扔诖绤?shù)即估計值的平均值應當?shù)扔诖绤?shù) E即即定義定義若若的的點點估估計計量量為為設設,),(21 nXXX E的的無無偏偏估估計計量量為為則則稱稱 lim En若若的的漸漸進進無無偏偏估估計計量量為為則則稱稱 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院例例7試試證證的的樣樣本本為為來來自自總總體體設設,21XXXXn

27、;)1(的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體均均值值樣樣本本均均值值 X;)2(1的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體均均值值樣樣本本加加權權均均值值 niiiX11 nii 其其中中;)3(22的的無無偏偏估估計計量量不不是是總總體體方方差差樣樣本本方方差差 S;)4(22*的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體方方差差樣樣本本修修正正方方差差 S統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院證明證明XE)1(1 niiXnE niiEXn11 nin11 EX由由于于 iEX所所以以而而的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體均均值值因因此此樣樣本本均均值值 X;)1(的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體均均值值樣樣本本均均

28、值值 X統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 niiiXEE1 由由于于 niiiEX1)( nii1)( nii1的的無無偏偏估估計計量量也也是是總總體體均均值值所所以以樣樣本本加加權權均均值值 niiiX1;)2(1的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體均均值值樣樣本本加加權權均均值值 niiiX11 nii 其其中中統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院2 DX由由于于2iDX所以所以,根據(jù)樣本方差的特性根據(jù)樣本方差的特性,有有221 nnES 的的無無偏偏估估計計量量不不是是總總體體方方差差即即樣樣本本方方差差22 S22* ES由由于于的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體方方差差所所以以樣樣本本修修正正方方差差22* S;)3

29、(22的的無無偏偏估估計計量量不不是是總總體體方方差差樣樣本本方方差差 S;)4(22*的的無無偏偏估估計計量量是是總總體體方方差差樣樣本本修修正正方方差差 S統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院.),max(12, 0,0, 2121的的無無偏偏估估計計量量都都是是和和的的樣樣本本，試試證證明明是是來來自自總總體體參參數(shù)數(shù)上上服服從從均均勻勻分分布布在在設設總總體體 nnXXXnnXXXXXX 證證)(2)2(XEXE 因為因為)(2XE ,22 . 2的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以 X的概率密度為的概率密度為因為因為),max( 21nhXXXX 其他其他, 0,0,)(1 xnxxfnn例例8統(tǒng)計學院

30、統(tǒng)計學院xnxxXEnnhd)(01 所以所以,1 nn,1 hXnnE故有故有.),max(121的無偏估計量的無偏估計量也是也是故故 nXXXnn 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院.),min(, 0, ., 0, 0,e1);(, 2121的的無無偏偏估估計計量量都都是是和和試試證證樣樣本本的的是是來來自自總總體體又又設設其其中中參參數(shù)數(shù)其其他他概概率率密密度度的的指指數(shù)數(shù)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為設設總總體體 nnxXXXnnZXXXXXxxfX 證明證明)(XE因為因為,)( XE. 的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以 X例例9統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院, ),min( 21的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為

31、服從參數(shù)為而而nXXXZn ., 0, 0,e);(min其他其他概率密度概率密度xnxfnx ,)( nZE 故知故知,)( nZE. 的無偏估計量的無偏估計量也是也是所以所以 nZ 由以上兩例可知由以上兩例可知,一個參數(shù)可以有不同的無一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量偏估計量.統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院（2）有效性. ,212121有效有效較較則認為則認為更密集更密集的附近較的附近較的觀察值在真值的觀察值在真值相同的情況下相同的情況下樣本容量樣本容量如果在如果在和和的兩個無偏估計量的兩個無偏估計量比較參數(shù)比較參數(shù) n 由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏離程度離程

32、度, 所以無偏估計以方差小者為好所以無偏估計以方差小者為好.,.),()( ,),(),(11212121222111的的最最小小方方差差無無偏偏估估計計量量未未知知參參數(shù)數(shù)是是則則稱稱最最小小的的所所有有無無偏偏估估計計量量中中方方差差如如果果有有效效較較則則稱稱若若有有的的無無偏偏估估計計量量都都是是與與設設 DDXXXXXXnn 簡稱有效估計量簡稱有效估計量統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院例例9試試證證的的樣樣本本為為來來自自總總體體設設,),(,221 NXXXXn是是最最優(yōu)優(yōu)的的中中的的線線性性無無偏偏估估計計量量在在XXniii 1 ).1(1 nii 證明證明:),(2 NX由由

33、niNXi, 2 , 1, ),(2 可可知知niDXi, 2 , 1,2 )(1 niiiXDD )(12 niiiDX )(122 nii nii122 212)(1 niin n2 XD 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院221)(n )(22221nn njiji12 22221n 221)(n njiji12 22221)1()1()1(nnnn njiji12)( 0 時時等等號號成成立立當當且且僅僅當當ji 越越大大越越好好且且n是是最最優(yōu)優(yōu)的的中中的的線線性性無無偏偏估估計計量量在在XXniii 1 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 .,1有效有效較較的無偏估計量的無偏估計量時時試證當試證當nZXn 證明證明,

34、)( 2 XD由于由于,)( 2nXD 故有故有,)( 22nZD 又因為又因為,)( 2 nZD故有故有 ,1時時當當 n),()(XDnZD . 有效有效較較的無偏估計量的無偏估計量故故nZX 例例10 (續(xù)例續(xù)例8)統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 . ,2, ,max122122121有效有效較較時時現(xiàn)證當現(xiàn)證當計量計量的無偏估的無偏估都是都是和和中已證明中已證明在例在例 nXXXnnXn證明證明)(4)( 1XDD 由于由于,3)(42nXDn hXnnDD1)( 2 ,12hXDnn (),1hnE Xn例例11 (續(xù)例續(xù)例7)統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院xxnXEnnhd)(102 ,22 nn22)()(

35、)(hhhXEXEXD ,)2()1(22 nnn,)2(1)( 22 nnD故故 ),()( , 212 DDn 所以所以又又 .12有效有效較較 nD3)(21 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 估計量的一致性只有當樣本容量相當大時估計量的一致性只有當樣本容量相當大時,才能才能顯示出優(yōu)越性顯示出優(yōu)越性, 這在實際中往往難以做到這在實際中往往難以做到,因此因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標準在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標準.（3）一致性）一致性n一致性是指隨著樣本容量的增大，估計量的一致性是指隨著樣本容量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù)值越來越接近被估計的總體參數(shù)的一致估計量

36、。為則稱如果）對于任意的（1lim,01Pn統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度確程度 區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量計總體參數(shù)的可能區(qū)間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差得到加減抽樣誤差得到 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 抽樣誤差：一個無偏估計與其對應的總體參數(shù)之差抽樣誤差：一個無偏估計與其對應的總體參數(shù)之差的絕對值。的絕對值。xEx抽樣誤差xxE變形后：7.1.2 區(qū)間估計的基本原理區(qū)間估計的基本原理xE若能將極限誤差求解，則總體的區(qū)間可表示為：,

37、xxxExE可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小可以利用樣本均值的抽樣分布對抽樣誤差的大小進行描述。進行描述。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例1212】LANS公司是一家專營體育設備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務質量,LANS公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調查以了解顧客的滿意分數(shù)。根據(jù)以往的調查，滿意分數(shù)的標準差穩(wěn)定在12分左右。最近一次對49名顧客的抽樣顯示，滿意分數(shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分數(shù)的區(qū)間。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 上例中，樣本容量n=49，總體標準差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，標準差 的正態(tài)分布。即：12121.7149xn2( ,1.71 )

38、xN統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院x 的抽樣分布1.71x95%x的所有 的值 x2 2xxE基于 區(qū)間圖圖1 區(qū)間估計原理示意圖區(qū)間估計原理示意圖xExE1x 1xxE基于 區(qū)間3x3xxE基于 區(qū)間統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 服從標準正態(tài)分布，即 ，有以下關系式成立： 為置信水平、可靠程度等，反映估計結果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標準正態(tài)分布找到其對應的臨界值 。進而計算抽樣誤差：xxZ) 1 , 0( NZ1)(2ZxPx12Z2xxEZ統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 則查標準正態(tài)分布表可得， 抽樣極限誤差： 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的正負3.35的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，

39、樣本均值產生的抽樣誤差是3.35或更小的概率是0.95。195%在例12中，若給定21.96Z21.961.96 1.713.35xxxEZ統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應的臨界值分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應的精確程度和把握程度。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在LANS公司的例子中，在置信水平為95%時 ，可計算極限誤差為3.35，因此，可以構建總體均值的區(qū)間為：,823.35,823.3578.65,85.35xxxExE 通常稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應的置信水平為95%。 總體均值的置信區(qū)間的含義為，以樣本均值為中心所總體均值

40、的置信區(qū)間的含義為，以樣本均值為中心所構造的所有區(qū)間中有構造的所有區(qū)間中有95%的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值。的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。 總結：已知時的大樣本下的區(qū)間估計nZx221Z2Z 式中，（）為置信系數(shù)；為在標準正態(tài)分布的右側尾部中所提供的面積為的 值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院7.2 7.2 單個總體均值和比例的區(qū)單個總體均值和比例的區(qū)間估計間估計統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 樣本均值的抽樣分布與總體分布的

41、關系可概括樣本均值的抽樣分布與總體分布的關系可概括為下圖為下圖747.2.1 7.2.1 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在方差為已知時，在方差為已知時，大樣本大樣本情形下的樣本均值服從于正態(tài)分布，情形下的樣本均值服從于正態(tài)分布，因而構建因而構建Z Z統(tǒng)計量，有統(tǒng)計量，有 （7-77-7）根據(jù)區(qū)間估計的定義，構造總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)根據(jù)區(qū)間估計的定義，構造總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間，對于給定的顯著性水平間，對于給定的顯著性水平 ，由（，由（7-77-7）可得）可得 （7-8）nxZ1222222nZxnZxPZnxZPZZZP1.總體均值的區(qū)間估計：大樣本情

42、形統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在方差未知時，標準化時使用在方差未知時，標準化時使用 s s 代替代替 ，因而構建，因而構建Z Z統(tǒng)計統(tǒng)計量，有量，有 （7-97-9）根據(jù)區(qū)間估計的定義，構造總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)根據(jù)區(qū)間估計的定義，構造總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間，對于給定的顯著性水平間，對于給定的顯著性水平 ，由（，由（7-97-9）可得）可得 （7-8）xZsn2222221xPZZZPZZsnssP xZxZnn 1.總體均值的區(qū)間估計：大樣本情形統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院因而，大樣本情形下，樣本均值因而，大樣本情形下，樣本均值 的估計區(qū)間為：的估計區(qū)間為：22 n30 xxZnsxxZn總體標準差

43、 已知的估計區(qū)間為總體標準差 未知的估計區(qū)間為1.總體均值的區(qū)間估計：大樣本情形x21Z 2Z 其中，（）為置信系數(shù)；為在標準正態(tài)分布的右側尾部中所提供的面積為的值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例1 1】N市環(huán)境部門為了對城市的空氣質量進行監(jiān)測，定期公布該市居民每天小汽車的平均里程數(shù)，現(xiàn)抽取36個居民作為一個簡單隨機樣本，得到資料如下表。試構造該市居民每天小汽車平均里程的95.45%的置信區(qū)間。居民居民汽車里汽車里程數(shù)程數(shù)居民居民汽車里汽車里程數(shù)程數(shù)居民居民汽車里汽車里程數(shù)程數(shù)居民居民汽車里汽車里程數(shù)程數(shù)123456789325040243344454844101112131415161718473

44、1363946453938451920shi2122232425262727435436344823364228 2930313233343536343934354253284939統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 分析：區(qū)間估計包括兩個部分點估計和極限誤差，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。 解：已知 （1）樣本的平均里程 （2）極限誤差236195.45%2nZ，5 .393636405032 nxx2xEZn總體標準差（未知）樣本標準差s替代統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 樣本標準差 極限誤差 （3）總體平均里程的90%的置信區(qū)間為39.5 2.59，即（36.91，42.09）里。 77. 71)(2nxxs27

45、.7722.5936xsEZn統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 注意注意 （1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，根據(jù)所有可能樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率為 ； （2）置信區(qū)間的長度（準確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準確度，可以擴大樣本容量來達到。1統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 例2 在某一企業(yè)職工收入情況的調查中，從該企業(yè)隨機抽取100個職工個人的收入狀況數(shù)據(jù)構成樣本，并且已知該企業(yè)職工平均月收入的總體標準差為250元，樣本均值為1985元。試計算給定置信水平為95%的該企業(yè)職工平均月收入的總體均值的置信區(qū)間。 解 由本例給出的條件可知，這是一個雙側的區(qū)間估計問題。根據(jù)雙側區(qū)間

46、估計的式（7-7），可計算得總體均值的置信區(qū)間為 即根據(jù)這次抽樣調查的樣本信息，可以認為該企業(yè)職工平均月收入的真實數(shù)值將依95%的概率落在1936元到2034元之間。1025096. 11985,1025096. 11985,22nZxnZx統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。若總體并非服從假設分布，唯一的方法是將樣本容量增分布。若總體并非服從假設分布，唯一的方法是將樣本容量增加到加到30以上。我們這里只討論總體服從正態(tài)分布、且小樣本的以上。我們這里只討論總體服從正態(tài)分布、且小樣本的情況。情況。 n30

47、-/xxsn已知服從正態(tài)分布 未知服從自由度為n-1的t分布 2.總體均值的區(qū)間估計：小樣本情形統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院0標準正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖2 標準正態(tài)分布與t分布的比較統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查在分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應的臨界值，利用臨界值也可計算區(qū)表找到其對應的臨界值，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的極限誤差間估計的極限誤差 因此，在正態(tài)總體條件下，總體均值的區(qū)間估計在因此，在正態(tài)總體條件下，總體均值的區(qū)間估計在總體標準差未知總體標準差未知的的小樣本情況小樣本情況下可采用下式進行：下可采用下式進行：2

48、tnst22sxtn21 n1t t 2st式中,()為置信系數(shù); 為樣本的標準差; 為在自由度為()的 分布的右側尾部中所提供的面積為 的值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例3 3】某模具制作公司擬引進一套新型的培訓員工程序，以減少培訓工人所需要的時間。為了評價這種培訓方法，培訓部需要對這種程序所需要的平均時間進行估計。以下是利用新方法對20名職員進行培訓的培訓天數(shù)資料。 根據(jù)上述資料建立置信度為0的總體均值的區(qū)間估計（假定培訓時間總體服從正態(tài)分布）。 5353 5858 6161 4949 6 6 5757統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 解：依題意，總體服從正態(tài)分布，20（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥?/p>

49、為19（n-1）的t分布進行總體均值的區(qū)間估計。 樣本平均數(shù) 樣本標準差 極限誤差 95%的置信區(qū)間為5244555754.320 xxn2()749.336.28119xxsn26.281.7292.4320 xsEtn（51.87，56.73）天。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 對總體比例P的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來進行估計。 若 ，則樣本比例近似服從正態(tài)分布。 類似地，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差p5)1 (, 5,30pnnpn222(1)ppPPEZZZnn7.2.2 總體比例的區(qū)間估計統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 上式中， 是正待估計的總體參數(shù)，其

50、值一般是未知，總體方差無法求解，一般用樣方差 替代總體方差 。 則極限誤差的計算公式為：P(1)PP)1 (pp2(1)pppEZn統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院1總體比例的的置信區(qū)間可由下式構造：2(1)pppZn21Z2Z 式中，（）為置信系數(shù)；為在標準正態(tài)分布的右側尾部中所提供的面積為的 值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例4】某手機制造商開發(fā)了一個女性專用手機系列，投放市場1年后公司想了解該系列手機的市場占有情況，公司市場部于2013年12月 抽取了全國范圍內的900名女性消費者進行調查。調查發(fā)現(xiàn)有162名女性消費者正在使用該系列的手機。試在95%的置信水平下估計總體比例的區(qū)間。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 解：依題意

51、已知 （1）樣本比例 （2）極限誤差2900195%1.96162(1)738nZnpnp（大樣本），16218%900mpn2(1)0.18 0.821.962.51%900pppEZn （3）女性消費者該系列手機所占比例的95%的置信區(qū)間0.18 0.0251， 即（15.49%，20.51%）。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 一家研究機構想估計在網絡公司工作的員工每周加班的平均時間，為此隨機抽取了18名員工，得到他們每周加班的時間數(shù)據(jù)如下：課堂練習課堂練習 假定員工每周加班的時間服從正態(tài)分布，估計網絡公司員工平均每周加班時間的90%的置信區(qū)間。62117207081629381211921251516

52、統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 解：依題意，總體服從正態(tài)分布，18（小樣本），此時總體方差未知。可用自由度為17（n-1）的t分布進行總體均值的區(qū)間估計。 樣本平均數(shù) 樣本標準差 極限誤差 90%的置信區(qū)間為621 171613.5618xxn2()7.801xxsn27.8(17)1.743.2018xsEtn（10.36，16.76）小時。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院總體參數(shù)區(qū)間估計的步驟總結總體參數(shù)區(qū)間估計的步驟總結（1）依題意確定待估參數(shù)；（2）依題設條件構造與待估參數(shù)相對應的估計量；（3）確定估計量的抽樣分布；（4）依估計量的抽樣分布，由給定的置信度計算待估參數(shù)置信區(qū)間的上、下限。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院統(tǒng)計

53、學院7.3 樣本容量的確定統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院（1）極限誤差；（2）總體方差；（3）置信水平；（4）抽樣組織形式；樣本容量的影響因素（5）抽樣方法。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院2xEZn極限誤差：2nZ其計算需要已知， 和樣本容量 。21Z若置信系數(shù)在研究前就已經給定，就可以確定，2Zn 在已知 和后，我們可以求出極限誤差為任何數(shù)值時的樣本容量 。7.3.1總體均值估計時樣本容量的確定統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：等于期望的誤差邊際。令E)(222222EZnEZnnZE2222222()()N ZnNEZ若采用不重復抽樣方法，則統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例5】據(jù)某網站有關調查數(shù)據(jù)顯示，2

54、013年上海地區(qū)的平均工資為7112元，標準差為2025元。假定該網站想重新估計2014年第一季度上海地區(qū)的平均工資，如果研究者期望估計的誤差不超過400元，置信水平為95%，樣本容量應當有多大？ 解：依題意， 可得2195%1.962025400ZE，22222222025()1.9698.46400nZE將以上結果取下一個整數(shù)（99）即為必要的樣本容量。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 說明： 由于總體標準差 在大多數(shù)情況下 是未知的，可以有以下方法取得 的值： （1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標準差； （2）抽取一個預備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的標準差作為 的估計值； （3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎萌嗟?/4作為 的近似值。統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣本容量的原理與為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。22222(1)E(1)(1)()ppEZnppppnZnZEE令 等于期望的誤差邊際7.3.2 總體比例估計時樣本容量的確定統(tǒng)計學院統(tǒng)計學院 【例例6】據(jù)RUIL雜志對女性行政人員所進行的一項調查表明，35%的被調查者認為她們所在的公司十分適合女性行政人員。假定該雜志想對該比例進行新的調查，如果研究者希望極限誤差不超過8%，應選