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1、2、不等式恒成立常見處理方法有三種:第一種:分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種:變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-(已知誰的范圍就把誰作為主元);(請同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測2)例1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,若在區(qū)間D上,恒成立,則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”,已知實(shí)數(shù)m是常數(shù),(1)若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,求m的取值范圍;(2)若對滿足的任何一個實(shí)數(shù),函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”,求的最大值.例2:設(shè)函數(shù) ()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; ()若對任意的不等式恒成立,求a的取值范圍. (二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)
2、第三種:構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征:恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3;已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為,()求的值;()當(dāng)時,求的值域;()當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。二、題型一:已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立, 回歸基礎(chǔ)題型解法2:利用子區(qū)間(即子集思想);首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集; 做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”,要弄清楚兩句話的區(qū)別:前者是后者的子集例4:已知,函數(shù)()如果函數(shù)是偶函數(shù),求的極大值和極小值;()如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),求的取
3、值范圍例5、已知函數(shù) (I)求的單調(diào)區(qū)間; (II)若在0,1上單調(diào)遞增,求a的取值范圍。子集思想三、題型二:根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點(diǎn)=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步:畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;第二步:由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;第三步:解不等式(組)即可;例6、已知函數(shù),且在區(qū)間上為增函數(shù)(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2) 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍根的個數(shù)知道,部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)(1)若
4、是的極值點(diǎn)且的圖像過原點(diǎn),求的極值;(2)若,在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)題2:切線的條數(shù)問題=以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為,求:(1)的解析式;(2)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍題3:已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法:根分布或判別式法例8、例9、已知函數(shù),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)令x4f(x)(xR)有且僅有3個極值點(diǎn),求a的取值范圍其它例題:1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定
5、義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是11.()求函數(shù)的解析式;()若時,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)() 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式;() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解: (). 由, 函數(shù)在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的
6、方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點(diǎn)為: , , 所求直線方程為: 或 3、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)的圖象如
7、圖所示。()求的值;()若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)f ( x )的解析式;()若方程有三個不同的根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:由題知:()由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 ),且= 0得 ()依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3()依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根,當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 當(dāng)a3時,方程f ( x ) = 8a有三個不同的根。 12分4、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù) (1)若函數(shù)在處取得極值,且,求的值及的單調(diào)區(qū)間; (2)若,討論曲線與的交點(diǎn)個數(shù) 解:(1)2分令得令得的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為5分(2)由題得即令6分令得或7分當(dāng)即時此時,有一個交點(diǎn);9分當(dāng)即時, ,當(dāng)即時,有一個交點(diǎn);當(dāng)即時,有兩個交點(diǎn); 當(dāng)時
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