(完整版)函數(shù)圖像的切線問(wèn)題

1、1 函數(shù)圖像的切線問(wèn)題 要點(diǎn)梳理歸納 1.1.求曲線求曲線 y=f(x)y=f(x)的切線方程的三種類型及其方法的切線方程的三種類型及其方法 (1) 已知切點(diǎn) P(x,f(x)，求 y=f(x)在點(diǎn) P 處的切線方程： 00 切線方程為 yf(x0)=f(x0)(xx0). (2) 已知切線的斜率為 k,求 y=f(x)的切線方程： 設(shè)切點(diǎn)為 P(x0,y0),通過(guò)方程 k=f(x0)解得 x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程. 已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))A(s,t),求 y=f(x)的切線方程： 設(shè)切點(diǎn)為 P(x0，y0)， 利用導(dǎo)數(shù)將切線方程表示為 yf(x0)=f(x0)(xx0)， 再將 A(s,t

2、)代入求出 x0. 2兩個(gè)函數(shù)圖像的公切線兩個(gè)函數(shù)圖像的公切線 函數(shù) y=f(x)與函數(shù) y=g(x)存在公切線， 若切點(diǎn)為同一點(diǎn) P(x0,y0),則有 f f 顯 00fxfx0)=g g(x x0). 若切點(diǎn)分別為利仏八小匕)，則有八X1)=g(x2)= 題型分類解析 題型一已知切線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求切線方程題型一已知切線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求切線方程 例例 1.1.求過(guò)點(diǎn) P(2,2)與已知曲線S:y=3x-x3相切的切線方程. 解：點(diǎn)P不在曲線S上. 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，則y二3x-x3，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y=33x2, 00000 切線方程為 y-y=(3-3x2)(x-x), 000 f(x)-g(x

3、) 12 x-x 12 切線的斜率為k=y=3-3x2, x=x00 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 2 Q點(diǎn) P(2,2)在切線上，2-y=(3-3x2)(2-x)，又y=3x-x3，二者聯(lián)立 000000 3 可得x=1,或x=13相應(yīng)的斜率為k=0或k=96*3 00 切線方程為y=2或y=(96看3)(x-2)+2. 例例 2.2.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為 y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)G,f(1)處的切線方程為 解析：由切線過(guò)G,g(1)可得：g(1)=3，所以f(1)=g(1)+12=4，另一方面，g(1)=2，且f(x)=g(x)+

4、2x，所以f(1)=g(1)+2=4，從而切線方程為：y-4=4(x-1)ny=4x 例例 3.3.已知直線 y=kx+1與曲線y=x3+ax+b切于點(diǎn)(1,3)，則b的值為 解析：代入(1,3)可得：k=2，f(x)=3x2+a 題型二已知切線方程題型二已知切線方程( (或斜率或斜率) )，求切點(diǎn)坐標(biāo)，求切點(diǎn)坐標(biāo)( (或方程、參數(shù)或方程、參數(shù)) ) 例例 4.4.已知函數(shù)f(x)=Inx+2x，貝y： (1) 在曲線f(x)上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線4x-y-2=0平行 (2) 在曲線f(x)上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線 x-y-3=0垂直 1 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)f

5、(x)=+2由切線與4xy2=0平行可得: 000 x 0 廣(x0)=I+2=4-x0=2 0 所以有 Jf(1)=a+b+1=3f(1)=3+a=2 解得 a=-1b=3 y0 =In+1 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 4 切線方程為：y-1+ln2=4(x-y=4x-ln2-1 k2丿 1 (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x,y):.f(x)=+2，直線 xy3=0的斜率為1 000 x 0 11.:f(x)=+2=1nx= 0 x03 0 1 x0=-3不在定義域中，舍去 ：不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線x-y-3=0垂直 例例 5 5.函數(shù)f(x)=alnx 一 bx2上一點(diǎn)P(2,f(2)處的切線方程為

6、y=-3x+2ln2+2，求a,b的值 思路：本題中求a,b的值，考慮尋找兩個(gè)等量條件進(jìn)行求解，P在直線y=-3x+2ln2+2上，:y=-3-2+2ln2+2=2ln24，即f(2)=2ln24，得到a,b的一個(gè)等量關(guān)系,在從切線斜率中得到x=2的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到a,b的另一個(gè)等量關(guān)系，從而求出a,b解：QP在y=-3x+2ln2+2上,:f(2)=3-2+2ln2+2=2ln24 :f(2)=aln2-4b=2ln2-4 又因?yàn)镻處的切線斜率為-3f(x)=-2bx x |aln24b=2ln24rn Ia=2an a-4b=-3lb=1 2i 而xw(0,+s) 0 :f(2)=-4b=

7、-3, 2 5 例例 6.6.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax2一9x 一1(a0)，若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 6 線12x+y二6平行，求 a 的值 思路：切線斜率最小值即為導(dǎo)函數(shù)的最小值，已知直線的斜率為-12，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)的 最小值為-12，便可求出a的值 解：f(x)=3x22ax9=3 f(x) min 1 a29=12a=3Qa0a=33 題型三公切線問(wèn)題題型三公切線問(wèn)題 例例 7.7.若存在過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線與曲線y=x3和y=ax2+x9都相切，則a等于（） 思路：本題兩條曲線上的切點(diǎn)均不知道，且曲線y=ax2+15X9含有參數(shù)，所以考慮 先從常系

8、數(shù)的曲線y=x3入手求出切線方程，再考慮在利用切線與曲線 y=ax2+x9求出a的值.設(shè)過(guò)（1,0）的直線與曲線y=x3切于點(diǎn)C,x3），切線方 400 程為yx3=3x2(xx)，即y=3x2x2x3，因?yàn)?1,0)在切線上，所以解得：x=0 000000 (21) 1 ( 1 -一 a29=3 x-a 139丿 3 3丿 依題意可得： -9 A.-1或-H 64 725 4或64 7 D.-4或7 或x0=2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（00）或 .當(dāng)切點(diǎn)（0,0）時(shí)，由y=0與 -1a2-9 3 Q直線12x+y=6的斜率為12, 7 y=ax2+145x9相切可得高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 8 同理，切點(diǎn)為f

9、3,287解得a=-1 k28丿 答案：A 小煉有話說(shuō)：（1 1）涉及到多個(gè)函數(shù)公切線的問(wèn)題時(shí)，這條切線是鏈接多個(gè)函數(shù)的橋梁.所 以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來(lái)，再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系 （2 2）在利用切線與y二 ax2+ x9求 a 的過(guò)程中，由于曲線y二 ax2+手 x9為拋物 線，所以并沒(méi)有利用導(dǎo)數(shù)的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的 A=0來(lái)求解，減少了運(yùn)算量.通過(guò)例7 7，例8 8可以體會(huì)到導(dǎo)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一 方面，求有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題時(shí)可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切線問(wèn)題時(shí)，若 曲線可寫成函數(shù)的形式，那么也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行處理，

10、（尤其是拋物線） 例例 8.8.若曲線C:y=x2與曲線C:y=aex存在公切線，則 a 的最值情況為（） 12 8484 A.最大值為一 B.最大值為一 C.最小值為一 D.最小值為一 e2e2e2e2 解析：設(shè)公切線與曲線C切于點(diǎn)C,x2），與曲線 C 切于點(diǎn)C,aex2），由y2X可得: 11122y=aex 2xx2 2x=T 一Hnx=2x2 1xx12，所以aex2=4x4， 212 設(shè)f(x)=，則f(x)=.可知f(x)在(1,2)單調(diào)遞 即a=_，增，在（2,+8）單調(diào)遞減，所以a=f（2）=- maxe2-4a(-9)=0=a一初, 小aex2x2 2x=aex2=H，所以

11、有0解得0 x1所以g(x)在(8,0),(1,+8)單調(diào)遞減，在(0,1)單調(diào)遞 g(x)二g(1)=-1,g(x)二g(0)=-3 極大值極小值 所以若有三個(gè)交點(diǎn)，則tw(-3,-1) 所以當(dāng)tw(-3,-1)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在 3 條直線與曲線y=f(x)相切 例例 13.13.已知曲線 C:x2=y,P 為曲線 C 上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，過(guò) P 作斜率為 k(kMO)的直線交 C于另一點(diǎn) Q，交 x 軸于 M,過(guò)點(diǎn) Q 且與 PQ 垂直的直線與 C 交于另一點(diǎn) N,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) k,使得直線 MN 與曲線 C 相切？若存在，求出 K 的值，若不存在，說(shuō)明理由. 思路：本題描述的過(guò)程

12、較多，可以一步步的拆解分析.點(diǎn)P(1,1)，則可求出 PQ:y=kx-k+1，從而與拋物線方程聯(lián)立可解得Q(-1,(k-1)2),以及M點(diǎn)坐標(biāo)， 從而可寫出 QN 的方程， 再與拋物線聯(lián)立得到 N點(diǎn)坐標(biāo)如果從M,N坐標(biāo)入手得到 MN方程， 再根據(jù)相切(A=0)求k，方法可以但計(jì)算量較大.此時(shí)可以著眼于N為切點(diǎn)，考 慮拋物線x2=y本身也可視為函數(shù)y=x2，從而可以N為入手點(diǎn)先求出切線， 再利用切線過(guò)M代入M點(diǎn)坐標(biāo)求k，計(jì)算量會(huì)相對(duì)小些. 解：由P在拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為 1 可解得P(1,1) g 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 13 設(shè)PQ:y1=k(x1)化簡(jiǎn)可得：y=kx-k+1二M,0 Ik丿 高

13、二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 14 Y=x2 消去 Y:x2Kx+K1=0Y=Kx-K+1 x=1,x=K-1:.QC-1,(K-1)2) 12 設(shè)直線QN:Y-（K-1）2二- (-1)1即.丄1)2-K: x-(K-1) .聯(lián)立方程： 、Y=(K-1)2-K: x-(K-1) X2Hx(K1)|K1H 丿 .X-X QN 1A nX=- f -1+丿N k丿 由Y=x2可得：y=2x .切線MN的斜率K= MN y| =-2fK-1+- fK-1+1 2 =-2 fk-1+1 x+ Ik-1+1丿 kk丿 kk丿 kk丿_ f1A 2 f1A 1 f1A k-1+ =-2 k-1+ 11-_+ k-1+

14、 kk丿 kk丿 Lk kk丿 =丄-1)(K-1+1 MN:Y- x=X 代入M 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 15 1-1+J5 k1+二2knk2+k1二0,k=k2 小煉有話說(shuō)：(1)1)如果曲線的方程可以視為一個(gè)函數(shù)(比如開(kāi)口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部分)，則處理切線問(wèn)題時(shí)可以考慮使用導(dǎo)數(shù)的方法，在計(jì)算量上有時(shí)要比聯(lián)立方程計(jì)算A=0簡(jiǎn)便 (2)(2)本題在求 N 點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，并沒(méi)有對(duì)方程進(jìn)行因式分解，而是利用韋達(dá)定理，已知 Q 的 橫坐標(biāo)求出 N的橫坐標(biāo).這種利用韋達(dá)定理求點(diǎn)坐標(biāo)的方法在解析幾何中常解決已知一交點(diǎn)求另一交點(diǎn)的問(wèn)題. 例例 1 14.4.設(shè)函數(shù) f(x)=x3+2ax2+b

15、x+a,g(x)=x23x+2,其中 xWR,a、b 為常數(shù)，已知曲線 y=f(x)與 y=g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線 l. (1)求 a、b 的值，并寫出切線 l 的方程； (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三個(gè)互不相同的實(shí)根 0、x、x，其中 x0，即 m一 4. 又 對(duì) 任 意 的xWX,xj,f(x)+g(x) m(x1) 恒 成 立 . 特 別 地 ， 取x=x時(shí),f(xi)+g(xi)mxim 成立，得 m0,xx=2m0,故 0 xx. 121212 對(duì)任意的 xx,x,有 xxW0,xx20,x0, 122188a2ba=0， 128ab=1， 3=2, 解得

16、 b=5. 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 16 貝 f(x)+g(x)mx=x(xx)(xx)W0, 12 又 f(X)+g(X)mX=O, 所以函數(shù) f(x)+g(x)mx 在 xWX,x2的最大值為 0. 于是當(dāng)一 4m B |BE|= 1 =14t2， =4 七2+七+1. 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 17 S(t)=孑 t1)2+產(chǎn) 2，當(dāng) t=1 時(shí)，S(t)=2, 故 S(t)的最大值為 2.5,此時(shí)|AF|=0.75,|BE|=1.75. 高二數(shù)學(xué)學(xué)案編號(hào) 18 答：當(dāng) AF=0.75m,BE=1.75m 時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為 2.5m2. 解法二：以 A 為原點(diǎn)，直線 AD 為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線的方程為 y=ax2+l(0WxW2). 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(2,2),.：22a+l=2,a=4，故邊緣線 OC 的方程為 y=4x2+l(OWxW2). 要使梯形 ABEF 的面積最大，則 EF 所在的直線必與拋物線弧 0C 相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 pt,十2+lj(0t, 直線EF的方程可表示為 yt2i=2t(xt) 即 y=1tx-11 汁 1, 由此可求得 E(2,tt2+lj,F(0,_4t2+lj. |AF|=14七2,|BE|=”2+1+1,