有限差分法解熱傳導(dǎo)問題

1、傅里葉定律：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。導(dǎo)熱微分方程：定解條件：使微分方程獲得適合某一問題的的解的附加條件。邊界條件：NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2+x,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=Sinx*Sinx,Derivative1,

2、0u0,t=0,Derivative1,0uPi,t=0,u,x,0,Pi,t,0,1NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=-x*(1-x),Derivative1,0u0,t=0,Derivative1,0u1,t=3-u1,t,u,x,0,1,t,0,0.3建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進初場是否x xy yxyn nmm(m,n)(m,n)MMN N泰勒級數(shù)展開法： 若若取上面式右邊的前三項，并取上面式右邊的前三項，并將兩式相加將兩式相加移項整理移項整理即即二二階

3、導(dǎo)數(shù)的中心差分：階導(dǎo)數(shù)的中心差分： 同樣同樣可得：可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：微分方程為：其節(jié)點方程為：其節(jié)點方程為：0ytt 2txtt 2tj , i ,v21j , ij , i1j , i2j , 1ij , ij , 1i0ytxtv2222熱平衡法基本思想：基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定而

4、獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和FourierFourier導(dǎo)熱定律即可。導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量內(nèi)部節(jié)點：01,1, 1, 1nmnmnmnm0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)0v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnm

5、nmnmnm042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4yx171.1.邊界節(jié)點離散方程的建立：邊界節(jié)點離散方程的建立：q qw wx xy yq qw w(1) (1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的節(jié)點2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx18(2) (2) 外部角點外部角點2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxx xy y

6、q qw w19(3) (3) 內(nèi)部角點內(nèi)部角點)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxx xy yq qw w寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：個代數(shù)方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111)(1)(1)(1)1(11 )1(11)1(2)(1)(323)1(

7、12122)1(21)(1)(21211)1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaax)(11)(11)1()1(inijkjijijkjijiikibxaxaax)()()1(1)1(bUxLxDxkkkbDUxDxLDIkk1)(1)1(1)(bDLDIUxDLDIxkk111)(111)1()()(bLDUxLDxkk1)(1)1()()(bLDfULDB11)( , )( 200100100Tf=0 k=1W/(m*K)h=10W/(m2* ) (qw=h*(Tw-Tf)t1t2t3t18t17t16Ax=bb=300,200,200

8、,300,100,0,0,100,100,0,0,100,100,0,0,100,0,0 x=t1,t2,t3,.t18Step 1 “Draw模式”繪制平面有界區(qū)域 ，通過公式把Matlab系統(tǒng)提供的實體模型：矩形、圓、橢圓和多邊形，組合起來，生成需要的平面區(qū)域.Step 2 “Boundary模式”定義邊界，聲明不同邊界段的邊界條件.Step 3 “PDE模式”定義偏微分方程，確定方程類型和方程系數(shù)c,a,f,d，根據(jù)具體情況，還可以在不同子區(qū)域聲明不同系數(shù).Step 4 “Mesh模式”網(wǎng)格化區(qū)域 ，可以控制自動生成網(wǎng)格的參數(shù)，對生成的網(wǎng)格進行多次細(xì)化，使網(wǎng)格分割更細(xì)更合理.Step 5 “Solve模式”解偏微分方程，對于橢圓型方程可以激活并控制非線性自適應(yīng)解題器來處理非線性方程；對于拋物線型方程和雙曲型方程，設(shè)置初始邊界條件后可以求出給定時刻t的解；對于特征值問題，可以求出給定區(qū)