第九章 矩陣位移法

1、1v基本概念v單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)(整體坐標(biāo)系)v整體剛度矩陣(連續(xù)梁)(平面剛架)v等效結(jié)點(diǎn)荷載v計(jì)算步驟和算例v忽略軸向變形的矩形剛架的整體分析v上機(jī)作業(yè)（連續(xù)梁程序設(shè)計(jì)）29-1 概述 矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段，三位一體的方法。 手算與電算的不同：手算：怕繁，討厭重復(fù)性的大量運(yùn)算，追求機(jī)靈的計(jì)算技巧， 運(yùn)算次數(shù)較少的方法。電算：怕亂，討厭頭緒太多，零敲碎打的算法，追求計(jì)算過(guò) 程程序化，通用性強(qiáng)的方法。39-1 概述 矩陣位移法（有限單元法）的基本思路是： 先將結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，然后再將這些單元按一定條件集合成整體。

2、這樣，就使一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)簡(jiǎn)單單元的分析與集成問(wèn)題。有限單元法的兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：1）單元分析：建立單元?jiǎng)偠确匠蹋纬蓡卧獎(jiǎng)偠染仃?物理關(guān)系)2）整體分析：由單元?jiǎng)偠染仃囆渭烧w剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的 位移法基本方程(幾何關(guān)系、平衡條件)4 單元?jiǎng)偠染仃囀怯脕?lái)表示桿端力與桿端位移之間的物理關(guān)系的，不是新東西，但有幾點(diǎn)新考慮：重新規(guī)定正負(fù)規(guī)則，以矩陣的形式表示，討論桿件單元的一般情況。桿端局部編碼與局部坐標(biāo)系桿端局部編碼與局部坐標(biāo)系eE，A，Il局部坐標(biāo)系中的桿端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐標(biāo)系中的桿端力分量 = F222111MYXMYXee22

3、2111qqvuvue= De12yx9-2 單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）5單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠蘁D方程1q 1u1v2v2q 2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv -=D()212212212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq6222111MYXMYX

4、e222111qqvuvue-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323= kee（95）單元?jiǎng)偠确匠蹋?6）單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì) 1）單元?jiǎng)偠染仃囀菞U端力用桿端位移來(lái)表達(dá)的聯(lián)系矩陣。 2）其中每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。63k如 第 個(gè)桿端位移分量 =1時(shí)引起的第 個(gè)桿端力2M1q三六ijkji jDjiijkk=?反力互等定理e21e22211211e21DD

5、=kkkkFFeeeD= kF7 3）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。 4）第k列元素分別表示當(dāng)?shù)趉個(gè)桿端位移=1時(shí)引起的六個(gè)桿端力分量。 5）一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚒?不存在逆矩陣0=k De Fe正問(wèn)題力學(xué)模型將單元視為“兩端有六個(gè)人工控制的附加約束的桿件” De控制附加約束加以指定。解的性質(zhì)為任何值時(shí)， De Fe 都有唯一的解答。且總是一個(gè)平衡力系，不可能是不平 衡力系。 De Fe反問(wèn)題將單元視為“兩端自由的桿件”。 Fe直接加在自由端作為指定的桿端力 Fe 為不平衡力系時(shí) 沒(méi)有靜力解。 De Fe 為平衡力系時(shí) 有無(wú)窮多組解。 De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M

6、D= kF82v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e 第二列元素第二列元素變符號(hào)即第五列變符號(hào)即第五列 第一列元素第一列元素變符號(hào)即第四列變符號(hào)即第四列 第二行元素第二行元素變符號(hào)即第五行變符號(hào)即第五行 第一行元素第一行元素變符號(hào)即第四行變符號(hào)即第四行9特殊單元特殊單元單元的某個(gè)或某些桿端位移的

7、值已知為零。如梁?jiǎn)卧?、柱單元。特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃?，可由一般單元的單元?jiǎng)偠染仃噭h除 與零桿端位移對(duì)應(yīng)的行和列得到。02211=vuvu-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323 =lEIlEIlEIlEIk4224為了使計(jì)算過(guò)程程序化、標(biāo)準(zhǔn)化、自動(dòng)化，只采用一般單元 的剛度矩陣作為標(biāo)準(zhǔn)形式。各種特殊單元的剛度矩陣有計(jì)算 機(jī)程序去自動(dòng)形成。某些特殊單元的剛度矩陣是可逆的。121q2q122M1M10選局部坐標(biāo)系推導(dǎo)單元?jiǎng)?/p>

8、度矩陣方便且單元?jiǎng)偠染仃嚨男问胶?jiǎn)單。選整體坐標(biāo)系是為進(jìn)行整體分析。按一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系來(lái)建立各 單元的剛度矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx1111111111111111cossinsincoscossinsincosMMYXYYXXMMYXYYXX=+-=+=+-=+=9-3 單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄕw坐標(biāo)系）11=222111MYXMYX222111MYXMYX-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos =T單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T是一正交矩陣。TTT1=-同理：（a）（b）

9、FTF=FTFT=D=DTD=DTT12整體坐標(biāo)系中的整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嘍= kF設(shè)：將（a）、（b）代入D=TkFTD=TkTFTTTTD= kFFTFT=D=DTT（a）（b）與 比較 D= kFD=TkTFTTTTk，k 同階,性質(zhì)類似：131）ijk 表示在整體坐標(biāo)系第j個(gè)桿端位移分量=1時(shí)引起的第i個(gè)桿端力分量。 2）k 是對(duì)稱矩陣。3）一般單元的k是奇異矩陣。 I k，k 同階,性質(zhì)類似：=0000221122211211221122211211TTkkkkTTkkkkTT14 例13-1 求圖示剛架中各單元在整體標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l=

10、5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m2441025,10300=lEIlEA21 I 15解：（1）求kek1k2=503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104（2）求 ke kkIT=,11單元 =9021單元 =0 -=100000001000010000000100000001000010Tk2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104-=100001010100300301200

11、030010000101011111111TkTkT16結(jié)點(diǎn)力、結(jié)點(diǎn)位移、形成總剛度矩陣結(jié)點(diǎn)力、結(jié)點(diǎn)位移、形成總剛度矩陣(傳統(tǒng)位移法傳統(tǒng)位移法)123F1F2F3123F1F2F31=11K11K21K31 K12 K22K32 2=12K13 K23K33 3=13333232131332322212123132121111D+D+D=D+D+D=D+D+D=KKKFKKKFKKKFF = KK 為整體剛度矩陣，簡(jiǎn)稱總剛。9-4 連續(xù)梁的整體剛度矩陣17整體剛度矩陣的性質(zhì) 1）總剛是結(jié)點(diǎn)力用結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)的聯(lián)系矩陣。 2）K中的元素Kij表示第j個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量j=1（其它結(jié)點(diǎn) 位移分量=0）

12、時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力。 3）K是對(duì)稱矩陣。 4）如果引入支承條件，K是可逆矩陣。形成整體剛度矩陣形成整體剛度矩陣2=1K12 K22K32 112=D112k121k221211=D2k112k212結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移桿端發(fā)生單位位移變形協(xié)調(diào)條件產(chǎn)生附加約束中約束力(總剛元素)產(chǎn)生桿端力(單剛元素)平衡條件總剛元素是由單剛元素集合而成K22k221k112k212K3218（1）直接剛度法形成總剛(剛度集成法) 首先要注意同一個(gè)結(jié)點(diǎn)位移在整體中與在各單元中編碼不同。單元結(jié)點(diǎn)位移總碼按局部碼順序排列而成的向量稱為“單元定位向量”。e單元對(duì)應(yīng)關(guān)系：局部碼總碼單元定位向量e12A （1） 1B （2

13、） 2 =112B （1） 2B （2） 3 =223 將各單元的單剛的行列局部碼（i）、（j）換成對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移總碼i、 j，按此行列總碼將單剛元素送入總剛。即:k(i)(j)jiK2112213ABC(1)(2) (1)(2)19（2）單剛）單剛k eKe和單元貢獻(xiàn)和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元單元單元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2) 1=21K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2) 2=32K =20000000004i22i24i22i2123123單元貢獻(xiàn)矩陣是單

14、元?jiǎng)倖卧暙I(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?，利用度矩陣，利用“單元定單元定位向量位向量”進(jìn)行進(jìn)行“換碼重?fù)Q碼重排位排位”。2112213ABC(1)(2) (1)(2)20（3 3） 單元集成法的實(shí)施單元集成法的實(shí)施（定位（定位 累加）累加）K123123000000000k 1 10000000004i12i12i14i1123123k 2 24i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將）將K置零，得置零，得K=0；（2）將）將k的元素在的元素在K中按中按 定位并進(jìn)行累加，得定位并進(jìn)行累加，得K=K；（3）將）將k的元素在的元素在K中按中按 定位并進(jìn)行累加，得定

15、位并進(jìn)行累加，得K=K+K；按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣K。21例13-2 試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。i1i2i31230123解：1）編碼凡給定 為零的結(jié)點(diǎn)位移分 量,其總碼均編為零。 =112 =2232）單元定位向量 =3303）求單剛并集成總剛k =14i1 2i12i1 4i1(1) (2) 1 2 =K4i1 2i12i1 4i1k =24i2 2i22i2 4i2(1) (2) 2 3+ 4i2 2i22i2 4i2k =34i3 2i32i3 4i3(1) (2) 3 0+ 4i31 2 31 2300在

16、給節(jié)點(diǎn)位移編碼時(shí)已經(jīng)考慮了支承條件。(先處理法)22四、整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣 K 的性質(zhì)的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義）整體剛度系數(shù)的意義: KijD Dj=1 (其余其余D D=0)時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力Fi（2）K是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣（3）對(duì)幾何不變體系，）對(duì)幾何不變體系，K是可逆矩陣，如連續(xù)梁是可逆矩陣，如連續(xù)梁i1i2D1D2D3F1F2F3F=KD DD=K-1F（4）K是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁D1D2D3F1F2F3123nDnFnDn+1Fn+1000000000000000000000000000000000000=+1321n

17、FFFFDDDD+1321n4i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in231n2312n+1對(duì)于n跨連續(xù)梁，有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，不難導(dǎo)出整體剛度矩陣如下：4i12i12i14(i1+ i2)02i24(i1+ i2)02i22i3002in-14(In-1+ in) 2in2in4in000K=Kn+1，n+1是稀疏矩陣和帶狀矩陣。) 1, 3 , 2(2), 3 , 2(44,4,411111, 1111+ = =+=-+njiKKnjiiKiKiKjjjjjjjjjnnn1n2324情況復(fù)雜：1）結(jié)點(diǎn)位移分量增加到三個(gè)；2）各桿方向不盡相同，要進(jìn)行坐標(biāo)變換；3

18、）除了剛結(jié)點(diǎn)，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其它情況。9-5 剛架的整體剛架矩陣思路要點(diǎn)思路要點(diǎn)：（：（1）設(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕┰O(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；ek（2）各）各 經(jīng)由經(jīng)由e 進(jìn)行累加集成進(jìn)行累加集成K。與連續(xù)梁相比：與連續(xù)梁相比： (1)各單元考慮軸向變形各單元考慮軸向變形；(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移； (3)要采用整體座標(biāo)要采用整體座標(biāo)；(4)要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。25情況復(fù)雜：1）結(jié)點(diǎn)位移分量增加到三個(gè)；2）各桿方向不盡相同，要進(jìn)行坐標(biāo)變換；3）除了剛結(jié)點(diǎn)，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其它情況。1、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一

19、編碼總碼yx000123040結(jié)點(diǎn)位移列陣:=1 2 3 4T =uA vA A CT結(jié)點(diǎn)力列陣:F=F1 F2 F3 F4T2、單元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6) (5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6) =11 2 3 0 0 4T =21 2 3 0 0 0TACB9-5 剛架的整體剛架矩陣263、單元集成過(guò)程503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k =1 1 2 3 0 0 4K=1 2 3 4300 00001230100030100500305030104k2=500

20、300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121041 2 3 0 0 0 +12+030+0+300+030+0+100求單剛27四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理K 求單元常數(shù)T單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚦绦蛟O(shè)計(jì)框圖（局部：集成整體剛度矩陣）程序設(shè)計(jì)框圖（局部：集成整體剛度矩陣） 1122剛結(jié)點(diǎn)剛結(jié)點(diǎn)：變形連續(xù)，：變形連續(xù)，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同具有相同的結(jié)點(diǎn)位移。的結(jié)點(diǎn)位移。鉸結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)點(diǎn)：部分變形連續(xù)，：部分變形連續(xù)，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同的結(jié)點(diǎn)具有相同的結(jié)點(diǎn)線位移；而其角位移不相

21、等。線位移；而其角位移不相等。281）結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 鉸結(jié)點(diǎn)處的兩桿端結(jié)點(diǎn)應(yīng)看 作半獨(dú)立的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)（C1和 C2） 它們的線位移相同， 角位移不同，00012321A C1B D000456475C234、鉸結(jié)點(diǎn)的處理線位移采用同碼，角位移采用異碼。2）單元定位向量： =11 2 3 4 5 6T =21 2 3 0 0 0T =34 5 7 0 0 0T3）按次序進(jìn)行單元集成：29503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k =1 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 73005

22、00-3010030000-30000 01230 0-12300301000-30500-12-30012-30K=104 -30000300001 2 3 0 0 0k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104+12+030+0+300+030+0+100k3=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121044 5 7 0 0 0 +12+030+0+300+030+0+10030?30F= KD D (1)結(jié)

23、構(gòu)體系剛度方程：結(jié)構(gòu)體系剛度方程：一、位移法基本方程一、位移法基本方程k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 KD +FP =0 .(2)F +FP =0 .(3)將將(1)式代入式代入(2)式：式： 表示結(jié)點(diǎn)位移表示結(jié)點(diǎn)位移D D和結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)力F之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載實(shí)際荷載，并不是原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。，并不是原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程?；倔w系在

24、荷載單獨(dú)作用下基本體系在荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力。產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力?；倔w系在結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作基本體系在結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力。用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力。9-6 9-6 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載311、整體剛度方程、整體剛度方程 F=K （a） 表示由表示由F結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系式。反映了結(jié)點(diǎn)的剛度性質(zhì)，結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系式。反映了結(jié)點(diǎn)的剛度性質(zhì)， 不涉及結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載。不涉及結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載。2、位移法基本方程、位移法基本方程 在給結(jié)點(diǎn)位移分量編總碼時(shí)，已考慮了結(jié)構(gòu)的支承連接情況，在給結(jié)點(diǎn)位移分量編總碼時(shí)，已考慮了結(jié)構(gòu)的支承連接情況， K是非奇異矩陣。是非奇異矩陣。 如果已知結(jié)構(gòu)上的結(jié)點(diǎn)荷載

25、如果已知結(jié)構(gòu)上的結(jié)點(diǎn)荷載P，（，（a）就是求結(jié)點(diǎn)位移就是求結(jié)點(diǎn)位移的位移法基本方程。的位移法基本方程。P=K （b）注：結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)荷載的不同。結(jié)點(diǎn)力是發(fā)生給定的結(jié)點(diǎn)位移，注：結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)荷載的不同。結(jié)點(diǎn)力是發(fā)生給定的結(jié)點(diǎn)位移， 在結(jié)點(diǎn)上所需施加的力，它與體系的剛度有關(guān)，由剛度方在結(jié)點(diǎn)上所需施加的力，它與體系的剛度有關(guān)，由剛度方 程確定。而結(jié)點(diǎn)荷載是給定的與體系無(wú)關(guān)。由程確定。而結(jié)點(diǎn)荷載是給定的與體系無(wú)關(guān)。由結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn) 生的未知結(jié)點(diǎn)位移由位移法基本方程求解生的未知結(jié)點(diǎn)位移由位移法基本方程求解。3、等效結(jié)點(diǎn)荷載、等效結(jié)點(diǎn)荷載 平衡方程的荷載平衡方程的荷載P是作用在結(jié)點(diǎn)上的集中荷載，當(dāng)荷

26、載不是作用在結(jié)點(diǎn)上的集中荷載，當(dāng)荷載不是結(jié)點(diǎn)集中荷載時(shí)，應(yīng)化成等效結(jié)點(diǎn)荷載。是結(jié)點(diǎn)集中荷載時(shí)，應(yīng)化成等效結(jié)點(diǎn)荷載。9-6 9-6 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載32（1）設(shè)荷載單獨(dú)作用（結(jié)點(diǎn)位移為零）設(shè)荷載單獨(dú)作用（結(jié)點(diǎn)位移為零）此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力，記為中引起的結(jié)點(diǎn)約束力，記為FP。（2）設(shè)結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用（荷載設(shè)為零）設(shè)結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用（荷載設(shè)為零）此時(shí)在基本結(jié)此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力為構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力為F=K。 位移法基本方程應(yīng)為位移法基本方程應(yīng)為 F+FP=0即即 K+FP=0 （9-47）9-6 9-6 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載33123FP2FP1F

27、P3P2P1P3結(jié)點(diǎn)約束力FP =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1等效結(jié)點(diǎn)荷載P=FP可由位移法基本方程可由位移法基本方程(b)求得求得.注意：注意：（1）非結(jié)點(diǎn)荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載等效的條件是，兩者產(chǎn)生相同）非結(jié)點(diǎn)荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載等效的條件是，兩者產(chǎn)生相同 結(jié)點(diǎn)位移。結(jié)點(diǎn)位移。（2）除了結(jié)點(diǎn)位移外，等效結(jié)點(diǎn)荷載與原荷載產(chǎn)生的其它位移）除了結(jié)點(diǎn)位移外，等效結(jié)點(diǎn)荷載與原荷載產(chǎn)生的其它位移 和內(nèi)力并不相同。和內(nèi)力并不相同。（3）等效結(jié)點(diǎn)荷載為位移法基本體系附加約束中約束力的負(fù)值）等效結(jié)點(diǎn)荷載為位移法基本體系附加約束中約束力的負(fù)值 而約束力為各固端力之和。所以求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載應(yīng)該而約

28、束力為各固端力之和。所以求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載應(yīng)該 先求出單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載，它是先求出單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載，它是單元固端力單元固端力的負(fù)值。的負(fù)值。0=+PFP位移法方程：位移法方程：D= KP344、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載局部坐標(biāo)系中在單元兩端加六個(gè)附加約束，在給定荷載作用下，求出單元固端約束力向量PFe整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 PTFTP-=ee整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P 由各單元P 中的元素按在P中進(jìn)行定位并累加。e等效結(jié)點(diǎn)荷載與直接結(jié)點(diǎn)荷載疊加，即得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載。=eP單元等效結(jié)點(diǎn)荷載（局部坐標(biāo)系）PFe354.8kN/m2.5m2

29、.5m5m8kN12yx例9-3 求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P.PFe解:1)求單元,.10120111mkNMkNYXPPP-=-=mkNMkNYXPPP.10120222=-=單元,.540111mkNMkNYXPPP=mkNMkNYXPPP.540222-= TPF1012010120-= TPF540540-=362)求 PTFTP-=單元的傾角1=01 2 3 0 0 4單元的傾角2=90123000P=123401210-10+4 +05 -=-=-=504504540540100000001000010000000100000001000010PTFTP TPPTFIFTP1012

30、010120-=-=-=4 125-10 TPF1012010120-= TPF540540-=371）整理原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行局部編碼和整體編碼。2）用式（9-6）形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?）用式（9-21）形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?）用單元集成法形成整體剛度矩陣K5）形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載6）解方程K=P， 求出結(jié)點(diǎn)位移。7）求各桿桿端力123FP2FP1FP3P2P1P3 =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1固端力FP桿端位移產(chǎn)生的桿端力PkkFDkPFTkF+D=計(jì)算步驟9-7 計(jì)算步驟和算例38000123000456例13-4:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m

31、1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m.6m12m1kN/m213xy.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼39.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094.

32、6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047.

33、36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k403) 形成k 單元、(=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 60

34、94. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224) 形成K=00032112=654321=0006543+11k+11k=22211211kkkkK41-=6 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047.

35、 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54K1035) 求等效節(jié)點(diǎn)荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PPTFT11單元在整體坐標(biāo)系中的等效節(jié)點(diǎn)荷載000321集 成 等效 節(jié) 點(diǎn)荷載=0003-03P426) 解基本方程-=DDDDDD-0003036 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547.

36、394. 647. 388.83094. 6081.54106543213-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 584765432143-=D5 .9613. 58244 .2813. 58477) 求桿端力 單元T0004 .2813. 5847-=D1=+D= PFTkF-=-+-49. 876. 443. 009. 224. 143. 03303300004 .2813. 58471000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .83

37、9 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D= PFTkF-=-04. 343. 024. 109. 243. 024. 15 .9613. 58244 .2813. 58478 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .5210344=D0005 .9613. 5824=+D= PFTkF-=-38. 424. 143. 004.

38、 324. 143. 00005 .9613. 58241000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=8.492.093.044.38

39、M圖(kN.m)4.761.240.43 1.241.24Q圖(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N圖(kN)451）結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 在剛結(jié)點(diǎn)A鉸結(jié)點(diǎn)C1和C2處， 豎向位移均為零，故其編碼 也應(yīng)為零，另外它們的水平 位移分量都相等，因此它們 的水平位移應(yīng)采用同碼。00010221A C1B D000103140C232）單元定位向量： =11 0 2 1 0 3T =21 0 2 0 0 0T =31 0 4 0 0 0T3）按次序進(jìn)行單元集成：13-8 忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析46503003012000300-1003003012000300503003012

40、000300-1003003012000300-104k =1 1 0 2 1 0 31 2 3 4 1234102103300030001000 +050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121041020000 0 00 100 500 50 100+123030+100k3=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121041 0 4 0 0 0104

41、000+123030+100K=104 47例13-5:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m 忽略軸向變形的影響。.6m12m1kN/m.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼0001

42、02000103213xy48.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794.

43、609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k493) 形成k 單元、(=90o)坐標(biāo)

44、轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224) 形成K=00020112=301201=000301350 1 0 2 0

45、 0 0-=-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2103k1020002.316.9427.86.94-=-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2103k 1 0 3 0 0 0103000+2.316.946

46、.9427.8-=-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103k 1 0 2 1 0 3102103+52.5 52.5+0+0+52.552.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+0 4.62 6.94 6.946.94 55.6 13.96.94 13.9 55.61 2 3 123K=103515) 求等效節(jié)點(diǎn)荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PPTF

47、T11單元在整體坐標(biāo)系中的等效節(jié)點(diǎn)荷載000201集 成 等效 節(jié) 點(diǎn)荷載=03-3P6) 解基本方程=-=-9 .971 .26838:0336 .559 .1394. 69 .136 .5594. 694. 694. 662. 4103BAABAAuuqqqq解得52=D9 .9708381 .2608387) 求桿端力 單元T0001 .260838=D1=+D= PFTkF-=-+-41. 875. 4009. 225. 103303300001 .2608381000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .

48、839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D= PFTkF-=-09. 343. 0009. 243. 009 .9708381 .2608388 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .5210353=D0009 .970838=+D= PFTkF-=-47. 425

49、. 1009. 325. 100009 .9708381000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T47. 425. 1009. 325. 10-TF09. 343. 0009. 243. 00-=TF41. 875. 4009. 225. 10-=8.412.093.094.47M圖(kN.m)4.751.250.43 1.251

50、.25Q圖(kN)N=0.43N=1.25N=0.43N圖(kN) 由單元?jiǎng)偠确匠糖蟪龅臈U端軸 力為零。為什么？ 根據(jù)節(jié)點(diǎn)平衡由剪力求軸力。TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=TF38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-= 軸向變形影響不大。54單元的剛度方程(局部坐標(biāo)）u1u2X1X2e12)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=-=21211111uulEAXXX1X2Y2Y1X1X2yxx-=221122110000010100000101vuvulE

51、AYXYX -=cossin00sincos0000cossin00sincosT注意：桁架單元的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角不是基本未知量。無(wú)須求等效結(jié)點(diǎn)荷載。桿端力是由結(jié)點(diǎn)位移產(chǎn)生的。D=TkF13-9 桁架及組合結(jié)構(gòu)的整體分析坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元的剛度方程(整體坐標(biāo)）55 3ll 10kN10kN例13-6 求圖示桁架內(nèi)力(EA=常數(shù))。解：1、編碼如圖 ；124002、形成k6 , 5,000001010000010124 , 3 , 2 , 1,0000010100000101=-=-=lEAklEAk3、形成kk=k=k=k單元=90-=011011Tk=k=lEA-=011000010110111111

52、11lEATkTkT1000-1000-1000100056單元=45-=11112111Tk=lEA22- -=1111000111112211111111lEATkTkT1111-11111111-1111單元=135-=11112111Tk=lEA22-=1111000111112211111111lEATkTkT1111-1111-1111-1111- 3ll 10kN10kN124004、集成總剛KTT4321 ,0021 =TT00000043=TT00430021 =lEAK-=35. 135. 00035. 035. 1010035. 135. 00135. 035. 15、節(jié)

53、點(diǎn)荷載T0010-10=P57-=-00101035. 135. 00035. 035. 1010035. 135. 00135. 035. 1DDCCvuvulEA6、解基本方程lEAvuvuDDCC-=58. 536.2142.1494.267、桿端力計(jì)算=D.-=-=D=042.14042.140042.1494.2601001000000100100000010100000101TkF-=-=D=058. 5058. 558. 536.2142.1494.2610000100001000010000010100000101TkF0021lEA-=D0042.1494.26 4321.=

54、D lEA-=D58. 536.2142.1494.2658節(jié)點(diǎn)位移分量自由節(jié)點(diǎn)位移分量(基本未知量，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)荷載已知)受約束的位移分量(已知量，相應(yīng)的約束反力未知)先處理法1、節(jié)點(diǎn)位移分量中不含受約束的支座位移，節(jié)點(diǎn)力分量中不 含未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件K3、對(duì)于具有非剛性連接、支承節(jié)點(diǎn)較多且分散、不考慮軸向 變形的結(jié)構(gòu)最為方便?？蓽p少內(nèi)存，提高計(jì)算速度。但要 對(duì)各節(jié)位移進(jìn)行統(tǒng)一編碼，形成各單元的定位向量。后處理法1、節(jié)點(diǎn)位移分量中含有受約束的支座位移，節(jié)點(diǎn)力分量中含 有未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件KK(原始剛度矩陣,奇異)3、每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量數(shù)相同， 的階數(shù)是節(jié)點(diǎn)總數(shù)乘節(jié)點(diǎn)位 移 分量數(shù)，整個(gè)分析過(guò)程便于編制通用程序。適用于節(jié)點(diǎn) 多支座約束少，考慮軸向變形的結(jié)構(gòu)。但占用內(nèi)存大。K59后處理法邊界條件的處理 在后處理法中，由于沒(méi)有考慮邊界條件，由k集成的 是奇異矩陣，由單元集合成的體系是自由體，具有剛體位移。 KPK=D沒(méi)有確定的位移解。位移邊界條件處理的三種方法：1、劃行劃列法 編制程序較復(fù)雜，不常采用。2、主對(duì)角元置大數(shù)法設(shè)第 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量 (已知)0di=D =D D DD nininnninn