概率統(tǒng)計(jì)第六章

1、概率統(tǒng)計(jì)(probability and statistics)寧波工程學(xué)院 理學(xué)院第六章第六章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 6.1 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法點(diǎn)估計(jì)的幾種方法6.2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)6.3 最小方差無(wú)偏估計(jì)最小方差無(wú)偏估計(jì)6.4 貝葉斯估計(jì)貝葉斯估計(jì)6.5 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 隨機(jī)問(wèn)題研究的三種狀態(tài)隨機(jī)問(wèn)題研究的三種狀態(tài)1. 1. 分布（含參數(shù)）已知分布（含參數(shù)）已知2. 2. 分布形式已知（參數(shù)未知）分布形式已知（參數(shù)未知）3. 3. 分布形式、參數(shù)皆未知分布形式、參數(shù)皆未知. .假定總體分布形式已知，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是參數(shù)未知的僅僅是參數(shù). . 利用利用樣本樣本

2、來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)來(lái)估計(jì)總體的參數(shù) 就就是參數(shù)估計(jì)是參數(shù)估計(jì). .參數(shù)估計(jì)的形式有兩種：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)的形式有兩種：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)設(shè)設(shè)x1, x2, xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體X X 的一個(gè)樣本，我們的一個(gè)樣本，我們用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 的取值作為的取值作為 的估的估計(jì)值，稱(chēng)為計(jì)值，稱(chēng)為 的點(diǎn)估計(jì)（量）的點(diǎn)估計(jì)（量）估計(jì)估計(jì) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi)稱(chēng)為稱(chēng)為 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)1(,)nxx L12, 參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的提法參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的提法 構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù) 是當(dāng)務(wù)之急。是當(dāng)務(wù)之急。如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 并沒(méi)有明確的規(guī)定，并沒(méi)有明確的規(guī)定，只要它滿(mǎn)足一

3、定的合理性即可。這就只要它滿(mǎn)足一定的合理性即可。這就涉及到兩個(gè)問(wèn)題：涉及到兩個(gè)問(wèn)題： 其一其一 如何選定統(tǒng)計(jì)量，即估計(jì)的如何選定統(tǒng)計(jì)量，即估計(jì)的方法問(wèn)題方法問(wèn)題； 其二其二 如何對(duì)不同的估計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)，即估計(jì)的如何對(duì)不同的估計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)，即估計(jì)的 好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)。1(,)nxx L例如：例如：使用什么樣的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體均值使用什么樣的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體均值 ？可以用樣本均值可以用樣本均值; ;也可以用樣本中位數(shù)也可以用樣本中位數(shù); ;還可以用還可以用別的統(tǒng)計(jì)量別的統(tǒng)計(jì)量注意：注意：被估計(jì)的參數(shù)被估計(jì)的參數(shù) 是一個(gè)未知常數(shù)，而估計(jì)是一個(gè)未知常數(shù)，而估計(jì)量量 是一個(gè)隨機(jī)變量，是樣本的是一個(gè)隨

4、機(jī)變量，是樣本的函數(shù)函數(shù), ,當(dāng)當(dāng)樣本取定樣本取定后，它是個(gè)已知的數(shù)值后，它是個(gè)已知的數(shù)值, ,這個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)就是就是 的一個(gè)估計(jì)值的一個(gè)估計(jì)值 . .1(,)nxx L6.1 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法點(diǎn)估計(jì)的幾種方法 一、一、替換原理和矩法估計(jì)替換原理和矩法估計(jì) 1、矩法估計(jì)矩法估計(jì) 替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換替換相應(yīng)的相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，譬如：總體矩及其函數(shù)，譬如： 用樣本均值估計(jì)總體均值用樣本均值估計(jì)總體均值E(X)，即即 ； 用樣本方差估計(jì)總體方差用樣本方差估計(jì)總體方差Var(X)，即即 用樣本的用樣本的 p 分位數(shù)估計(jì)總體的分位數(shù)估計(jì)總體的 p 分位數(shù)分

5、位數(shù)， 用樣本中位數(shù)估計(jì)總體中位數(shù)用樣本中位數(shù)估計(jì)總體中位數(shù)。 ()E Xx Var2()nXs 例例1 對(duì)某型號(hào)的對(duì)某型號(hào)的20輛汽車(chē)記錄其每加侖汽油的行駛里輛汽車(chē)記錄其每加侖汽油的行駛里程程( (km) )，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 經(jīng)計(jì)算有經(jīng)計(jì)算有 由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計(jì)分別為由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計(jì)分別為: : 28.695, 0.9185 和和 28.6。

6、 矩法估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)去替換總體分布，矩法估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)去替換總體分布，其理論基礎(chǔ)是其理論基礎(chǔ)是格里紋科定理格里紋科定理。20.528.695,0.9185,28.6nxsm 設(shè)總體的分布含有設(shè)總體的分布含有k k個(gè)未知參數(shù)個(gè)未知參數(shù) ，那么那么總體前總體前k k階矩階矩 都可計(jì)算并且形式為都可計(jì)算并且形式為1,kL1(,)iikg L從這從這k k個(gè)方程中解出個(gè)方程中解出1(,)jjk L12, ,k L2 2、概率函數(shù)概率函數(shù)P P( (x x, ,) )已知時(shí)未知參數(shù)的矩法估計(jì)已知時(shí)未知參數(shù)的矩法估計(jì) 則可給出則可給出諸諸j 的矩法估計(jì)的矩法估計(jì)為為 回顧：回顧：其

7、中其中 （已知）（已知）1(,),1, ,jjkaajkLL11njjiiaxn 例例2 設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于EX=1/ ， 即即 =1/ EX，故，故 的矩法估計(jì)為的矩法估計(jì)為 另外，由于另外，由于Var(X)=1/ 2，其反函數(shù)為，其反函數(shù)為 因此，從替換原理來(lái)看，因此，從替換原理來(lái)看， 的矩法估計(jì)也可取為的矩法估計(jì)也可取為 s 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說(shuō)明矩估計(jì)可能是不唯一的，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說(shuō)明矩估計(jì)可能是不唯一的，這是矩法估計(jì)的一個(gè)缺點(diǎn)，此時(shí)通常應(yīng)該盡量采這是矩法估計(jì)的一個(gè)缺點(diǎn)，此時(shí)通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計(jì)。用低階矩給出未知參數(shù)的估計(jì)。11/ x

8、Var1/( )X 21/ s 例例3 x1, x2, , xn是來(lái)自是來(lái)自(a,b)上的均勻分布上的均勻分布U(a,b)的樣本，的樣本，a與與b均是未知參數(shù)，這里均是未知參數(shù)，這里k=2，由于，由于 不難推出不難推出 由此即可得到由此即可得到a, b的矩估計(jì)：的矩估計(jì)：Var2(),(),212abbaEXX VarVar3(),3(),aEXXbEXX3 ,3axsbxsl 矩法的矩法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是：簡(jiǎn)單易行是：簡(jiǎn)單易行, ,并不需要事先知并不需要事先知道總體是什么分布道總體是什么分布. .l 矩法的矩法的缺點(diǎn)缺點(diǎn)是：當(dāng)總體類(lèi)型已知時(shí)，沒(méi)有是：當(dāng)總體類(lèi)型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息充分

9、利用分布提供的信息. . l 矩估計(jì)量不具有唯一性矩估計(jì)量不具有唯一性 . .其主要原因在于其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性樣本矩代替帶有一定的隨意性. .3 3、矩估計(jì)方法點(diǎn)評(píng)矩估計(jì)方法點(diǎn)評(píng) 直觀想法：直觀想法：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn) 實(shí)例：實(shí)例：某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵 . .一只野一只野兔從前方竄過(guò)。只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下。如兔從前方竄過(guò)。只聽(tīng)一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下。如果要你推測(cè)，是誰(shuí)打中的呢？果要你推測(cè)，是誰(shuí)打中的呢？ 猜

10、測(cè)：猜測(cè)：你會(huì)如何想呢你會(huì)如何想呢? ? 只發(fā)一槍便打中只發(fā)一槍便打中, ,獵人命中獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率。的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率。 推斷：推斷：看來(lái)這一槍是獵人射中的看來(lái)這一槍是獵人射中的 此例體現(xiàn)了極大似然法的基本思想此例體現(xiàn)了極大似然法的基本思想. . 二、二、 極極( (最最) )大似然估計(jì)大似然估計(jì) 2 2、極極( (最最) )大似然估計(jì)大似然估計(jì) 定義定義6.1.1 設(shè)總體的概率函數(shù)為設(shè)總體的概率函數(shù)為P(x; )，將樣將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成本的聯(lián)合概率函數(shù)看成的函數(shù)的函數(shù) 稱(chēng)為樣本的稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)似然函數(shù)。112( )( ;,)(; )(; )(

11、; )nnLLxxp xp xp x LL 如果某統(tǒng)計(jì)量如果某統(tǒng)計(jì)量 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 則稱(chēng)則稱(chēng) 是是的的極極( (最最) )大似然估計(jì)大似然估計(jì)，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為MLE1( , ,)nxx L()max()LL l因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)( )、 lnL( )在同處取得極值，故經(jīng)在同處取得極值，故經(jīng)常用常用對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL( )進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)行估計(jì)。l當(dāng)當(dāng)L( )是可微函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)是求極大似然估計(jì)是可微函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)是求極大似然估計(jì)最常用的方法，對(duì)最常用的方法，對(duì)lnL( )求導(dǎo)更加簡(jiǎn)單些。求導(dǎo)更加簡(jiǎn)單些。l在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中往往先使用最大似然估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中往往先使用最大似然估計(jì)法, , 在在最大似然估計(jì)法

12、使用不方便時(shí)最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí), , 再用矩估計(jì)法再用矩估計(jì)法. .3 3、極極( (最最) )大似然估計(jì)大似然估計(jì)簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 例例1 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分別為別為 現(xiàn)做了現(xiàn)做了n次試驗(yàn)，觀測(cè)到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分次試驗(yàn)，觀測(cè)到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為別為 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，則似然函數(shù)為則似然函數(shù)為 其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為22123,2 (1),(1)ppp 312322122222( )() 2 (1) (1) 2(1)nnnnnnnnL 12322ln( )(2)ln(2)ln

13、(1)ln2Lnnnnn 將之關(guān)于將之關(guān)于求導(dǎo)，并令其為求導(dǎo)，并令其為0得到似然方程得到似然方程解之，得解之，得由于由于所以所以 是極大值點(diǎn)。是極大值點(diǎn)。 32122201nnnn 1212123222()2nnnnnnnn 2321222222ln( )0(1)nnnnL 例例2 對(duì)正態(tài)總體對(duì)正態(tài)總體N( , 2)，=( , 2)是二維參數(shù)，設(shè)有是二維參數(shù)，設(shè)有樣本樣本 x1, x2 , , xn，則似然函數(shù)及其對(duì)數(shù)分別為，則似然函數(shù)及其對(duì)數(shù)分別為22212/222122221()1( ,)exp221(2)exp()21ln ( ,)()lnln(2 )222niinniiniixLxnn

14、Lx 將將 lnL( , 2) 分別關(guān)于兩個(gè)分量求偏導(dǎo)并令其為分別關(guān)于兩個(gè)分量求偏導(dǎo)并令其為0, 即得到似然方程組即得到似然方程組221222421ln ( ,)1()0ln ( ,)1()022niiniiLxLnx 解此方程組，得解此方程組，得 的極大似然估計(jì)為的極大似然估計(jì)為 得出得出 2 2的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì)11niixxn 2221*1()niixxsn 注：注：極大似然估計(jì)有一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的性質(zhì)：如極大似然估計(jì)有一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的性質(zhì)：如果果 是是的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù)的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù) g()，其極大似然估計(jì)為，其極大似然估計(jì)為 。該性質(zhì)稱(chēng)為極大似然估計(jì)的

15、該性質(zhì)稱(chēng)為極大似然估計(jì)的不變性不變性，從而使，從而使一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的極大似然估計(jì)的獲得一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的極大似然估計(jì)的獲得變得容易了。變得容易了。 ( )g 例例3 設(shè)設(shè) x1 , x2 , , xn是來(lái)自均勻總體是來(lái)自均勻總體U(0 , ) 的樣本，的樣本，則則 的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì)證明：證明： U(0 , ) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f(x)=1/ , (0 x0，有，有 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為參數(shù)的相合估計(jì)。參數(shù)的相合估計(jì)。 6.2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 一、一、相合性相合性1(, ,)nnnxx Llim(|)0nnPn 注：注：點(diǎn)估計(jì)量不唯一，存在擇優(yōu)選擇點(diǎn)估計(jì)量

16、不唯一，存在擇優(yōu)選擇 相合性是根據(jù)格里紋科定理，使得估計(jì)量逼相合性是根據(jù)格里紋科定理，使得估計(jì)量逼近參數(shù)真值，精度任意近參數(shù)真值，精度任意 相合性是擇優(yōu)選擇的一個(gè)最基本要求相合性是擇優(yōu)選擇的一個(gè)最基本要求 相合性就是相合性就是 依概率收斂于依概率收斂于n 024(|)(|/ 2)()nnnnPPEVar 2 2、定理定理6.2.1 設(shè)設(shè) 是是的一個(gè)估計(jì)量，若的一個(gè)估計(jì)量，若 則則 是是的相合估計(jì)的相合估計(jì)1(,)nnnxx Llim(),lim()0nnnnEVar n 證明：證明：24(|/ 2)()nnnPEVar lim,|/ 2nnnEEQ2|/| |nnnnnnEEEQ 22|/|/

17、|nnnnnnEE或或3 3、定理定理6.2.2 若若 分別是分別是1, , k 的相合估的相合估 計(jì)，計(jì)， =g(1 , , k) 是是1, , k 的連續(xù)函數(shù)，則的連續(xù)函數(shù)，則 是是 的的相合估計(jì)相合估計(jì)。1,nnkL1(,)nnnkg L注：注：該性質(zhì)稱(chēng)為相合估計(jì)的該性質(zhì)稱(chēng)為相合估計(jì)的不變性不變性，從而使一些，從而使一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的相合估計(jì)的獲得變得容易了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的相合估計(jì)的獲得變得容易了注：矩估計(jì)一般都具有相合性。比如：注：矩估計(jì)一般都具有相合性。比如： 樣本均值是總體均值的相合估計(jì)；樣本均值是總體均值的相合估計(jì)； 樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的相合估計(jì)；樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的相

18、合估計(jì)； 樣本變異系數(shù)是總體變異系數(shù)的相合估計(jì)。樣本變異系數(shù)是總體變異系數(shù)的相合估計(jì)。例例1 設(shè)設(shè) x1, x2 , , xn 是來(lái)自均勻總體是來(lái)自均勻總體U(0, )的樣本，的樣本，證明證明 的極大似然估計(jì)是相合估計(jì)。的極大似然估計(jì)是相合估計(jì)。0 -1( ),( )/()/()01nnnnnnnnXp ynynEnydyVarn Q證證明明：其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為，二、二、無(wú)偏性無(wú)偏性 1 1、定義定義6.2.2 設(shè)設(shè) 是是的一個(gè)估計(jì)，的一個(gè)估計(jì)， 若若 ，則稱(chēng)則稱(chēng) 是是的的無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)1(,)nxx L( )E 注：注：樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì) 樣本樣

19、本k階矩階矩ak是總體是總體k k階矩階矩 k的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì) 中心矩則不一樣，譬如，樣本方差中心矩則不一樣，譬如，樣本方差s*2不是總體不是總體方差方差 2的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)22*1()nE sn (1) 當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮時(shí)，有當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮時(shí)，有E(s*2) 2， 我們稱(chēng)我們稱(chēng) s*2 為為 2的漸近無(wú)偏估計(jì)。的漸近無(wú)偏估計(jì)。 (2) 若對(duì)若對(duì)s*2作如下修正：作如下修正： 則則 s2 是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。 注：注：特別是小樣本時(shí)宜使用特別是小樣本時(shí)宜使用s2 無(wú)偏性不滿(mǎn)足不變性，例如無(wú)偏性不滿(mǎn)足不變性，例如 s 是是 的漸近無(wú)偏估計(jì)的漸近無(wú)偏估計(jì)2221*

20、1()11niinssxxnn 2 2、總體方差總體方差 2的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)三、三、有效性有效性 1 1、定義定義6.2.3 設(shè)設(shè) 是是的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，如果的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，如果 則稱(chēng)則稱(chēng) 比比 有效。有效。 12, VarVar12()(), 1 2 2 2、例、例1 設(shè)設(shè) x1, x2 , , xn 是取自某總體的樣本，記總是取自某總體的樣本，記總體均值為體均值為 ，總體方差為，總體方差為 2，則，則 , , , , 都是都是 的無(wú)偏估計(jì)，但的無(wú)偏估計(jì)，但 顯然，顯然， 比比 有效有效11x 2x VarVar2212(),()/ n2 1 6.5 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 一、一、區(qū)間估計(jì)的概

21、念區(qū)間估計(jì)的概念 定義定義6.5.1 設(shè)設(shè) 是總體的一個(gè)參數(shù)，對(duì)給定的一個(gè)是總體的一個(gè)參數(shù)，對(duì)給定的一個(gè) (0 1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 和和 ，有，有 （6.5.1）1( ,)LLnxx1(, ,)UUnxx L()1,LUP 則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間 為為 的的置信水平為置信水平為1- - 的置的置信區(qū)間信區(qū)間，或簡(jiǎn)稱(chēng)，或簡(jiǎn)稱(chēng) 是是 的的1- - 置信區(qū)間置信區(qū)間. . 和和 分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為 的（雙側(cè)）的（雙側(cè)）置信下限和置信上限置信下限和置信上限. . ,LU 注：注：這里置信水平這里置信水平1- - 的含義是指在大量使用該置信的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時(shí)，至少有區(qū)間時(shí)

22、，至少有100(1- - )%的區(qū)間含有的區(qū)間含有 。 ,LU L U 二、二、樞軸量法樞軸量法 1 1、構(gòu)造置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法構(gòu)造置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法，其步驟，其步驟為如下三步：為如下三步： 1. 設(shè)法構(gòu)造一個(gè)樣本的函數(shù)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)樣本的函數(shù) G=G(x1, x2 , , xn, ) 含有含有未知參數(shù)未知參數(shù) ，其，其分布已知分布已知。稱(chēng)。稱(chēng)G為為樞軸量樞軸量 2. 適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù)適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù)c,d，使對(duì)給定的，使對(duì)給定的 (0 1) 有有 P(cGd)=1- 3. 假如能將假如能將cG d 進(jìn)行不等式等價(jià)變形化為進(jìn)行不等式等價(jià)變形化為 則則 是是 的的1

23、-1- 同等置信區(qū)間同等置信區(qū)間2 2、樞軸量與統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別樞軸量與統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別LU,LU 這時(shí)可用這時(shí)可用t 統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?， 的的1- - 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 此處此處 是是 2的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。 1 1、 已知時(shí)已知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 在這種情況下，樞軸量可選為在這種情況下，樞軸量可選為 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 ， 。三、三、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間 (0,1)xGNn 12xun 12xun 2 2、 2未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 () (1)n xtt ns 1212(1),(1)x tnsnx tnsn 221()1isx

24、xn 例例6.5.3 用天平秤某物體的重量用天平秤某物體的重量9 9次，得平均值為次，得平均值為 （克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其（克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.10.1克。試求該物體重量的克。試求該物體重量的0.950.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：解：查表知查表知u0.975=1.96，于是該物體于是該物體重量重量 的的0.95置信區(qū)間置信區(qū)間 15.3347，15.4653。 15.4x 1215.4 1.96 0.1 9 15.4 0.0653x un (0,1)xGNn 例例6.5.5 假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計(jì)某假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估

25、計(jì)某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，只輪胎試用，測(cè)得它們的壽命（單位：萬(wàn)公里）如下：測(cè)得它們的壽命（單位：萬(wàn)公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此處此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t t分布求均值分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有的置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有 =4.7092，s2=0.0615。取取 =0.05，查表知，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽，于是平均壽命的命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬(wàn)公里）置信區(qū)間為（單位：萬(wàn)公里）

26、x4.70922.20100.0615 /124.5516, 4.86683 3、 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間 取樞軸量取樞軸量 ，由于由于 2分布是偏態(tài)分布，分布是偏態(tài)分布，尋找平均長(zhǎng)度最短區(qū)間很難實(shí)現(xiàn)，一般都用等尾置尋找平均長(zhǎng)度最短區(qū)間很難實(shí)現(xiàn)，一般都用等尾置信區(qū)間信區(qū)間：采用：采用 2的兩個(gè)分位數(shù)的兩個(gè)分位數(shù) 2 /2(n-1) 和和 21- /2(n-1)，在，在 2分布兩側(cè)各截面積為分布兩側(cè)各截面積為 /2的部分，的部分， 使得使得 由此給出由此給出 2的的1- - 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 222(1)1nsGn 222/ 21/ 2211nsP 2222121211 ,11nsnnsn

27、例例6.5.6 某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布某廠生產(chǎn)的零件重量服從正態(tài)分布N( , 2)，現(xiàn)，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中抽從該廠生產(chǎn)的零件中抽取取9個(gè)，測(cè)得其重量為（單位：個(gè)，測(cè)得其重量為（單位：克）克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 試求總體標(biāo)準(zhǔn)差試求總體標(biāo)準(zhǔn)差 的的0.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：解： 查表知查表知 2 0.025(8) =2.1797， 20.975(8)=17.5345， 代入可得代入可得 的的0.95置信區(qū)間為置信區(qū)間為 : : 0.1218，0.3454。 222222/21/22(1)111nsGnnsP 四、

28、四、兩個(gè)正態(tài)總體下的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下的置信區(qū)間 設(shè)設(shè)x1 , , xm是來(lái)自是來(lái)自N( 1, 12)的樣本，的樣本，y1 , , yn是來(lái)自是來(lái)自N( 2, 22)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。立。 與與 分別是它們的樣本均值，分別是它們的樣本均值， 和和 分別是它們的分別是它們的樣本方差。下面討論兩個(gè)均值差和兩個(gè)方差樣本方差。下面討論兩個(gè)均值差和兩個(gè)方差比的置信區(qū)間。比的置信區(qū)間。 xy 22111mxiisxxm 22111nyiisyyn 1 1、 1 - 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間、 12和和 22已知時(shí)的已知時(shí)的兩樣本兩樣本u區(qū)間區(qū)間 、 12 = 22 =

29、2未知時(shí)的未知時(shí)的兩樣本兩樣本t區(qū)間區(qū)間 222212121212,xyuxyumnmn 12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn 、 22 / 12= 已知時(shí)的已知時(shí)的兩樣本兩樣本t區(qū)間區(qū)間 12122 ,2ttmnmnxys tmnxys tmnmnmn 2 2、 12/ 22的置信區(qū)間的置信區(qū)間 由于由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且且sx2與與sy2相互獨(dú)立，故可仿照相互獨(dú)立，故可仿照F變量構(gòu)造如下樞變量構(gòu)造如下樞 軸量軸量 , ,對(duì)給定的對(duì)給定的1- ，由，由 經(jīng)不等式變形即給出經(jīng)不等式變形即給出 12

30、/ 22的如下的置信區(qū)間的如下的置信區(qū)間 2212221,1xysFF mns 2222122211,11,11xysP FmnFmns 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn 例例6.5.10 某車(chē)間有兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一類(lèi)套筒，假某車(chē)間有兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一類(lèi)套筒，假設(shè)套筒直徑服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從兩個(gè)班次的產(chǎn)品設(shè)套筒直徑服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從兩個(gè)班次的產(chǎn)品中分別檢查了中分別檢查了5個(gè)和個(gè)和6個(gè)套筒，得其直徑數(shù)據(jù)如下個(gè)套筒，得其直徑數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）：（單位：厘米）： 甲班：甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02