高中數(shù)學(xué)典型例題分析與解答：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求函數(shù)f (x)0的導(dǎo)數(shù)2 . 1 x sin ,x x0, x 0分析：當(dāng)x 0時(shí)因?yàn)閒 (0)存在，所以應(yīng)當(dāng)用導(dǎo)數(shù)定義求f (0)，當(dāng) x 0 時(shí),f (x)的關(guān)系式是初等函數(shù)x解:當(dāng) x 0時(shí)，f (0) lim f(x) f(0)x 02 - 1 x sin lim xx 0 xlim xsin10x 0 xf (x)12 1112xsinx ( geos-) 2xsinxxxx212121(x sin ) (x ) sin x (sin ) xxx說(shuō)明：如果一個(gè)函數(shù)g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，那么有g(shù)(x0)lim g(x)，但如果我們不能斷定f (x)的導(dǎo)

2、數(shù)x x1 cos-x2 si n1，可以按各種求導(dǎo)法同求它的導(dǎo)數(shù).xf (x)是否在點(diǎn)x° 0連續(xù)，不能認(rèn)為f(0) ym f (x).指出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系例指出以下函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.n、m3 f x1.y(a bx )； 2. y In #e2 ；說(shuō)明：分不清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，無(wú)視最外層和中間變量都是根本函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，而最內(nèi)層可以 是關(guān)于自變量x的根本函數(shù)，也可以是關(guān)于自變量的根本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四那么運(yùn)算而得到的函數(shù)，導(dǎo)致 陷入解題誤區(qū)，達(dá)不到預(yù)期的效果.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1 11 - y (2x.y3log2(x2x 3) ； 4. ysin(x)。x分析：由復(fù)

3、合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是根本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成假設(shè)干個(gè)常見(jiàn)的 根本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程.解：函數(shù)的復(fù)合關(guān)系分別是mn1. y u , u a bx ；2. y ln u, u 3 . v,v ex 2 ；3. y 3u, u log2 v,v x2 3 2x 3 ; x -)1_2x2Cx2 ：廠x2 ； 2. y 2 ;xV1 2x23 y sin 2(2x) ； 4. y x .1 x2。3分析：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些根本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順

4、序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系要善于把一局部量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體，就 是中間變量求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)求 導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).解：1 解法一：設(shè)u 2x332yx yu ux 4u (6x1x -,yx12)x，那么4(2x31 32)(6xx1).解法二：y2x34 2x32x36x22 解法一：設(shè)12,u 12x2，那么4xYxYu 5A2x4x解法二：y.1 2x22x22x(1(12x2) 22x2x2)、12x2 '3 解法一:設(shè)y2u ,u sinv,v2x，那么3yxyu iu

5、v vx 2u cosv :22 sin2x -cos 2x2332 sin4x 23解法二：ysi n22x 2 sin2x sin 2x332 si n2x cos2x2x 3332 si n2x -cos2x2332 si n4x 2314 解法一y x 1x2、X24 x .設(shè)y2 2 u , u x(4x)33322x2)x4，那么1(11(12x2)2x2yxyu 山12 (2x4x3)1 z 22(xx 2x3_x4x2解法二：yx4)12 (2x4x3)x(1 2x2)2x2 扌1 x2(x 1 xx2 X(.1 x2)-1 x2x2說(shuō)明：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具

6、體特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量，不可機(jī)械照搬 某種固定的模式，否那么會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算學(xué)生易犯錯(cuò)誤是混淆變量 或忘記中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)其中 fx是可導(dǎo)函數(shù)121. y丄；2. y f( ._x21).x分析：對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)，一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的 求導(dǎo)法那么。先設(shè)出中間變量，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。一般地，假設(shè)中間變量以直 接可對(duì)所設(shè)變量求導(dǎo)，不需要再次假設(shè)，如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)，就不必再選中間變量。1解：1 解法一：設(shè)y fU,U ，那么X1yx yu ux f (u)x解法二：y1111 -2 f xxxx2 .解法一：設(shè) y f(u), u x v,v x21,那么1 -YxYu 山 Vxf (u) v 2 2x2f (x 1) 2 - 2x2 Ux2 1 :4 f ( X?1).- x 1解法二：y fC.x2 1) f (x2 1) C.X2 1) 12 1 2 f ( X 1) (x 1) 2 (x 1)2 1f ( . x2 1) (x2 1) 2 2x.說(shuō)明：理解概念應(yīng)準(zhǔn)確全面，對(duì)抽象函