基本不等式的證明第1課時教學設計

1、基本不等式的證明（1）重慶市兼善中學 胡正勇教學目標：一、知識與技能1探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；2會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；3學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；4理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋二、過程與方法1.通過實例探究抽象基本不等式；2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎兩個定理的

2、證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質(zhì) 三、情感、態(tài)度與價值觀1通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣；2培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結(jié)合的想象力教學重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程教學難點：理解基本不等式等號成立條件及 “當且僅當時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵 教學方法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式；從生活中實際問題還原出數(shù)學本質(zhì)，可積極調(diào)動學生的學習熱情；定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案 教學過程

3、：一、問題情景1.提問：與哪個大？ 2.基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）二、學生活動問題1我們把“風車”造型抽象成上圖在正方形中有4個全等的直角三角形設直角三角形的長為，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？生答：.問題2那4個直角三角形的面積和呢？生答問題3好，根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，.什么時候這兩部分面積相等呢？生答：

4、當直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有.三、建構(gòu)數(shù)學1重要不等式：一般地，對于任意實數(shù) ，我們有，當且僅當時，等號成立問題4：你能給出它的證明嗎？(學生嘗試證明后口答,老師板書)證明：所以 注意強調(diào)：當且僅當時, 注意：（1）等號成立的條件，“當且僅當”指充要條件；（2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復雜的變量式，因此應用范圍比較廣泛 問題5：將降次為,降次為,則由這個不等式可以得出什么結(jié)論？2基本不等式：對任意正數(shù)，有當且僅當時等號成立（學生討論回答證明方法）證法1：當且僅當即時，取“”證法2：要證，只要證，只要證，只要證因為最后一個不等式成

5、立，所以成立，當且僅當即時，取“=”號證法3：對于正數(shù)有， 說明： 把和分別叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 注意：（1）基本不等式成立的條件是：；（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；（圖1）（3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點， 過作弦，則，從而，而半徑基本不等式幾何意義是：“半徑不小于半弦”；（4）當且僅當時，取“”的含義：一方面是當時取等號，即；另一方面是僅當時取等號，即；（5）如果，那么（當且僅當時取“”）；（6）如果把看作是正數(shù)、的等差中項，看作是正數(shù)，的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項四、數(shù)學運用 1例題例1 設為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）；（2）.證明（1）為正數(shù)，也為正數(shù)，由基本不等式得,當且僅當時取“=”，原不等式成立（2）均為正數(shù)，由基本不等式得，當且僅當時取“=”原不等式成立例2 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：.證明為兩兩不相等的實數(shù)，以上三式相加：，所以，例3 已知都是正數(shù)，求證.證明由都是正數(shù)，得： ， ，當且僅當時取“=”，即.2練習（1）已知都是正數(shù)，求證： ；（2）已知都是正數(shù)，求證：；（3）思考題：若，求的最大值.五、要點歸納與方法小結(jié)本節(jié)課