基本不等式的證明第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、基本不等式的證明（1）重慶市兼善中學(xué) 胡正勇教學(xué)目標(biāo)：一、知識(shí)與技能1探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題；3學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；4理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋二、過(guò)程與方法1.通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)兩個(gè)定理的

2、證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì) 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；2培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)：理解基本不等式等號(hào)成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 教學(xué)方法：先讓學(xué)生觀察常見(jiàn)的圖形，通過(guò)面積的直觀比較抽象出基本不等式；從生活中實(shí)際問(wèn)題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過(guò)類比得到答案 教學(xué)過(guò)程

3、：一、問(wèn)題情景1.提問(wèn)：與哪個(gè)大？ 2.基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）二、學(xué)生活動(dòng)問(wèn)題1我們把“風(fēng)車”造型抽象成上圖在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢？生答：.問(wèn)題2那4個(gè)直角三角形的面積和呢？生答問(wèn)題3好，根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式，.什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？生答：

4、當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時(shí)，正方形EFGH變成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立問(wèn)題4：你能給出它的證明嗎？(學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書(shū))證明：所以 注意強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 注意：（1）等號(hào)成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；（2） 公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛 問(wèn)題5：將降次為,降次為,則由這個(gè)不等式可以得出什么結(jié)論？2基本不等式：對(duì)任意正數(shù)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（學(xué)生討論回答證明方法）證法1：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”證法2：要證，只要證，只要證，只要證因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成

5、立，所以成立，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“=”號(hào)證法3：對(duì)于正數(shù)有， 說(shuō)明： 把和分別叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 注意：（1）基本不等式成立的條件是：；（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；（圖1）（3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點(diǎn)， 過(guò)作弦，則，從而，而半徑基本不等式幾何意義是：“半徑不小于半弦”；（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”的含義：一方面是當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即；另一方面是僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即；（5）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；（6）如果把看作是正數(shù)、的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)，的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1例題例1 設(shè)為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）；（2）.證明（1）為正數(shù)，也為正數(shù)，由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，原不等式成立（2）均為正數(shù)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”原不等式成立例2 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：.證明為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，以上三式相加：，所以，例3 已知都是正數(shù)，求證.證明由都是正數(shù)，得： ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即.2練習(xí)（1）已知都是正數(shù)，求證： ；（2）已知都是正數(shù)，求證：；（3）思考題：若，求的最大值.五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)本節(jié)課