波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋

1、量子力學(xué)初步你身邊的高考專家波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋引言 量子力學(xué)是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。它是現(xiàn)代物理學(xué)的理論支柱之一，被廣泛地應(yīng)用于化學(xué)、生物學(xué)、電子學(xué)及高新技術(shù)等許多領(lǐng)域。 本章主要介紹量子力學(xué)的基本概念及原理，并通過幾個(gè)具體事例的討論來說明量子力學(xué)處理問題的一般方法。波函數(shù)回顧：德布羅意關(guān)于物質(zhì)的波粒二象性假設(shè)速度為質(zhì)量為的自由粒子一方面可用 能量 和 動(dòng)量 來描述它的粒子性另一方面可用 頻率 和 波長 來描述它的波動(dòng)性 波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識(shí)。下面從量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。

2、自由粒子波函數(shù)在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運(yùn)動(dòng) 在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動(dòng)方程沿 方向勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)為續(xù)上在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部 應(yīng)用德布羅意公式即即即沿 方向勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子的波函數(shù)為的自由粒子的波函數(shù)為沿 X方向勻速直線運(yùn)動(dòng) 在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿 X 軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動(dòng)方程自由粒子的波函數(shù) 自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意

3、波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對(duì)于處在外場作用下運(yùn)動(dòng)的非自由粒子，其能量和動(dòng)量外場不同，粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。概率密度 設(shè)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)為 ，則 空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱 概率波概率波波函數(shù)又稱 概率幅概率幅取比例系數(shù)為1，即1926 年提出了對(duì) 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)歸一化因概率密度故在 矢端的體積元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 在波函數(shù)存在的全部空間 V 中必

4、能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現(xiàn)的概率為1。此條件稱為 波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為 歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：概率波與經(jīng)典波德布羅意波（概率波）不同于 經(jīng)典波（如機(jī)械波、電磁波）德布羅意波經(jīng) 典 波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強(qiáng)（振幅的平方）代表通過某點(diǎn)的能流密度波強(qiáng)（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點(diǎn)波強(qiáng)的比例，并非取決于波強(qiáng)的絕對(duì)值。能流密度分布取決于空間各點(diǎn)的波強(qiáng)的絕對(duì)值。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態(tài)相同

5、。 因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大 C倍，則個(gè)處的能流密度增大 C 倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。波函數(shù)存在歸一化問題。波動(dòng)方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)因概率不會(huì)在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件符合不符合不符合不符合算例某粒子的波函數(shù)為歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置令求積分得：積分得：得得 到到 歸歸 一一 化化 波波 函函 數(shù)數(shù) ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標(biāo)坐標(biāo)解得解得另外兩個(gè)解另外兩個(gè)解處題設(shè)處題設(shè)處處最大隨堂小議結(jié)束選擇結(jié)束選