概率Ch4-1數(shù)學(xué)期望

1、一、數(shù)學(xué)期望的概念一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的概率性隨機(jī)變量的概率分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，從中可以了解到隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率，但質(zhì)，從中可以了解到隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率，但是這還不足以給人留下直觀的總體印象是這還不足以給人留下直觀的總體印象另外，在一些實(shí)際問題中，常常不需要去全面考察隨機(jī)另外，在一些實(shí)際問題中，常常不需要去全面考察隨機(jī)變量的整體變化情況

2、，只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特變量的整體變化情況，只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特征就可以了征就可以了例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，只需要注意纖維的平例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，只需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，以及纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，如果平均長(zhǎng)度，以及纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，如果平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)、偏離程度越小，質(zhì)量就越好均長(zhǎng)度越長(zhǎng)、偏離程度越小，質(zhì)量就越好第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的概率性隨機(jī)變量的概率分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，從中可以了解到隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率，但質(zhì)，從中可以了解到隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率

3、，但是這還不足以給人留下直觀的總體印象是這還不足以給人留下直觀的總體印象另外，在一些實(shí)際問題中，常常不需要去全面考察隨機(jī)另外，在一些實(shí)際問題中，常常不需要去全面考察隨機(jī)變量的整體變化情況，只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特變量的整體變化情況，只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特征就可以了征就可以了再如，在評(píng)定一批燈泡的質(zhì)量時(shí)，主要看這批燈泡的平再如，在評(píng)定一批燈泡的質(zhì)量時(shí)，主要看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差，平均壽命越均壽命和燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差，平均壽命越長(zhǎng)，燈泡質(zhì)量越好，燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差越長(zhǎng)，燈泡質(zhì)量越好，燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差越小，燈泡的質(zhì)量就越穩(wěn)定小，燈

4、泡的質(zhì)量就越穩(wěn)定第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征從這兩個(gè)例子可以看到，某些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)字，從這兩個(gè)例子可以看到，某些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但卻可以概括描述它在雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但卻可以概括描述它在某些方面的特征某些方面的特征這些能代表隨機(jī)變量主要特征的數(shù)字，稱為隨機(jī)變量的這些能代表隨機(jī)變量主要特征的數(shù)字，稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章介紹隨機(jī)變量的幾個(gè)常用數(shù)字特征：數(shù)數(shù)字特征本章介紹隨機(jī)變量的幾個(gè)常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1

5、4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望某年級(jí)有某年級(jí)有100名學(xué)生，名學(xué)生，17歲的有歲的有20人，人，18歲的有歲的有30人，人，19歲的有歲的有50人，則該年級(jí)學(xué)生的平均年齡為人，則該年級(jí)學(xué)生的平均年齡為事實(shí)上，平均年齡是以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均值事實(shí)上，平均年齡是以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均值100501930182017 3 .18100501910030181002017 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)

6、學(xué)期望【例例4-1】(擲骰子游戲擲骰子游戲)規(guī)定擲出規(guī)定擲出1點(diǎn)得點(diǎn)得1分；擲出分；擲出2點(diǎn)或點(diǎn)或3點(diǎn)得點(diǎn)得2分；擲出分；擲出4點(diǎn)、或點(diǎn)、或5點(diǎn)、或點(diǎn)、或6點(diǎn)得點(diǎn)得4分，共擲分，共擲n次投次投擲一次所得的分?jǐn)?shù)擲一次所得的分?jǐn)?shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則是一個(gè)隨機(jī)變量，則X的分布律為的分布律為試問：預(yù)期平均投擲一次能得多少分？試問：預(yù)期平均投擲一次能得多少分？解：解：若在若在n次投擲中，得次投擲中，得1分的共分的共n1次，得次，得2分的共分的共n2次，次，得得4分的共分的共n3次，次，X124pi1/62/63/64.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概

7、念數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【定義定義4.1】 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為PX = xi = pi，i = 1, 2, , 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱絕對(duì)收斂，則稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望或或均值均值記為記為E(X)或或EX，即，即 (4.1)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 發(fā)散，則稱隨機(jī)變量發(fā)散，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)是一個(gè)常量，與一是一個(gè)常量，與一般的平均值不同，它是從概率的角度計(jì)算隨機(jī)變量般的平均值不同，它是從概率的角度

8、計(jì)算隨機(jī)變量X所有所有可能取值的平均值，具有重要的統(tǒng)計(jì)意義可能取值的平均值，具有重要的統(tǒng)計(jì)意義 1iiipx 1iiipx 1)(iiipxXE 1iiipx4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【定義定義4.1】 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為PX = xi = pi，i = 1, 2, , 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱絕對(duì)收斂，則稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望或或均值均值記為記為E(X)或或EX，即，即 (4.1)若級(jí)數(shù)若級(jí)

9、數(shù) 發(fā)散，則稱隨機(jī)變量發(fā)散，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在說(shuō)明：說(shuō)明：(2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變各項(xiàng)次序的改變而改變. 1iiipx 1)(iiipxXE 1iiipx 1iiipx例例1 甲甲, , 乙兩人進(jìn)行打靶乙兩人進(jìn)行打靶, ,所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為,1X,2X它們的分布律分別為它們的分布律分別為,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.解解 我們來(lái)計(jì)算我們來(lái)計(jì)算1X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望, , 得得

10、8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).這意味著這意味著, ,如果甲進(jìn)行很多次的射擊如果甲進(jìn)行很多次的射擊, , 那么那么, , 所所得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近 1.8, ,4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明顯很明顯, , 乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī)乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī). .而乙所得分?jǐn)?shù)的而乙所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望為4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期

11、望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例例4-3】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，求，求E(X)解：解：由于由于 k = 1, 2, , n. 所以所以由由,)1(knkknppCkXP nkknkknppCnpXE1)1()1(111)1()( nkkXkPXE0)( 10)1(1)1(nkknkknppCnpnpppnpn 1)1(,11 knknCknC nkknkknppkC0)1(4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念1. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例

12、例4-4】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XP( )( 0)的泊松分布，求的泊松分布，求E(X)解：解：由于由于 k = 0, 1, 2, , 因而因而,! ekkXPk 0)(kkXkPXE 1)!1(kkek 11)!1(kkke 0!kkke ee 0!kkekk 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念2. 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【定義定義4.2】 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為f(x)，若，若積分積分 絕對(duì)收斂，則稱其為絕對(duì)收斂，則稱其為X的數(shù)學(xué)期望或均值的數(shù)學(xué)期望或均值

13、記為記為E(X)或或EX，即，即 (4.2)若積分若積分 不收斂，則稱不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在著名的柯西分布是數(shù)學(xué)期望不存在的經(jīng)典例子：著名的柯西分布是數(shù)學(xué)期望不存在的經(jīng)典例子：dxxxf )(dxxxfXE )()(dxxxf )(4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念2. 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布，其概率密度為服從柯西分布，其概率密度為由于積分由于積分發(fā)散，因而發(fā)散，因而E(X)不存在不存在)1(1)(2xxf )1(|2xdxx dxx

14、xf )( 02)1(2xxdx 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念2. 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例例4-6】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XU(a，b) ，求，求E(X)解：解：由于均勻分布的概率密度為，由于均勻分布的概率密度為，因而因而 其其它它 , 0,1)(bxaabxf)(222abab dxxxfXE )()( badxabx2ba 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.1 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念2. 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的

15、數(shù)學(xué)期望【例例4-7】設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,求求E(X)解：解：由于指數(shù)分布的概率密度為，由于指數(shù)分布的概率密度為，因而因而 ,00,xexf xelse E Xxfx dx0 xxedx1 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2NX 2221,2xf xex 22212xE Xxedx作代換作代換,xtxt于是于是2212tE Xt edt22221122ttedttedt4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際中，我們常需求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際中，我們常需求隨機(jī)變量函

16、數(shù)的數(shù)學(xué)期望例如，一個(gè)零件的橫截面為一個(gè)圓，圓的直徑例如，一個(gè)零件的橫截面為一個(gè)圓，圓的直徑X是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量，則截面面積也是隨機(jī)變量，如果我們知道隨機(jī)變量，則截面面積也是隨機(jī)變量，如果我們知道X的的概率分布，而現(xiàn)在需要求的是概率分布，而現(xiàn)在需要求的是Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望像這樣已知隨機(jī)變量像這樣已知隨機(jī)變量X的概率分布，如何計(jì)算的概率分布，如何計(jì)算X的某個(gè)的某個(gè)函數(shù)函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望？的數(shù)學(xué)期望？當(dāng)然，由于當(dāng)然，由于g(X)也是隨機(jī)變量，它的概率分布可以通過(guò)也是隨機(jī)變量，它的概率分布可以通過(guò)X的概率分布求出來(lái)，然后再用數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算的概率分布求出來(lái)，然后再用數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算g(

17、X)的數(shù)學(xué)期望，這個(gè)方法似乎有些麻煩的數(shù)學(xué)期望，這個(gè)方法似乎有些麻煩.4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際中，我們常需求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際中，我們常需求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例如，一個(gè)零件的橫截面為一個(gè)圓，圓的直徑例如，一個(gè)零件的橫截面為一個(gè)圓，圓的直徑X是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量，則截面面積也是隨機(jī)變量，如果我們知道隨機(jī)變量，則截面面積也是隨機(jī)變量，如果我們知道X的的概率分布，而現(xiàn)在需要求的是概率分布，而現(xiàn)在需要求的是Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望像這樣已知隨機(jī)變量像這樣已知隨機(jī)變量X的概率分布，如何計(jì)算

18、的概率分布，如何計(jì)算X的某個(gè)的某個(gè)函數(shù)函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望？的數(shù)學(xué)期望？那么是否可以不通過(guò)求那么是否可以不通過(guò)求g(X)的概率分布，而根據(jù)的概率分布，而根據(jù)X的概的概率分布直接求得率分布直接求得g(X)的數(shù)學(xué)期望呢？答案是肯定的，我們的數(shù)學(xué)期望呢？答案是肯定的，我們不加證明地給出以下定理：不加證明地給出以下定理：4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【定理定理4.1】 設(shè)設(shè)Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的函數(shù)：的函數(shù)：Y = g(X) (g是連是連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù))，(1) 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,，其

19、分布律為，其分布律為 k=1, 2,，若級(jí)數(shù)，若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 (4.3)(2) 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，若積分，若積分 絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 (4.4),kkpxXP 1)(kkkpxg )()(XgEYE 1)(kkkpxgdxxfxg )()( )()(XgEYEdxxfxg )()(4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例4-8】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為求求E(2X 1)，E(X 2)解解：E(2X 1

20、) = 2 (1) 1 0.1 + 2 0 1 0.2 + 2 1 1 0.4 + 2 2 1 0.3 = 0.8， E(X2) = (1)2 0.1 + 02 0.2 + 12 0.4 +22 0.3 = 1.7X1012pi0.10.20.40.34.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例4-9】某礦物的一個(gè)樣品中含有雜質(zhì)的比例為某礦物的一個(gè)樣品中含有雜質(zhì)的比例為X，其，其概率密度為概率密度為一個(gè)樣品的價(jià)值（以元計(jì)）為一個(gè)樣品的價(jià)值（以元計(jì)）為Y = 5 0.5X，求，求E(Y).解：解： 其它其它, 0

21、10,23)(2xxxxf 102)23)(5 . 05(dxxxx)5 . 05()(XEYE dxxfx)()5 . 05()(65. 4元元 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【定理定理4.2】 設(shè)設(shè)Z是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)的函數(shù)Z = g(X，Y)，g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(1) 若若(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為則有則有（設(shè)該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂）（設(shè)該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂） (4.5), 2 , 1, jipyYxXPijji 11),(jijjiipyxg

22、),()(YXgEZE4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【定理定理4.2】 設(shè)設(shè)Z是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)的函數(shù)Z = g(X，Y)，g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(2) 若若(X，Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y)則有則有（設(shè)該積分絕對(duì)收斂）（設(shè)該積分絕對(duì)收斂） (4.6)dxdyyxfyxg ),(),( ),()(YXgEZE4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例

23、4-10】一餐館有三種不同價(jià)格的快餐出售，價(jià)格分一餐館有三種不同價(jià)格的快餐出售，價(jià)格分別為別為7元，元，9元，元，10元隨機(jī)選取一對(duì)前來(lái)進(jìn)餐的夫婦，元隨機(jī)選取一對(duì)前來(lái)進(jìn)餐的夫婦，以以X表示丈夫所選的快餐的價(jià)格，以表示丈夫所選的快餐的價(jià)格，以Y表示妻子所選的快表示妻子所選的快餐的價(jià)格，又已知餐的價(jià)格，又已知X和和Y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 (1) 求求min(X, Y )的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(2) 求求X +Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 Y X791070.050.050.1090.050.100.351000.200.104.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.

24、1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例4-10】(1) 求求min(X, Y )的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(2) 求求X +Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望解解：(1) Emin(X, Y ) (2) E(X +Y) Y X791070.050.050.1090.050.100.351000.200.10 3131),min(jiijjipyx05. 07 10. 09 05. 07 90.35 05. 07 10. 01020. 0907 10. 07 （元）（元）6 . 8 10. 02020. 01935. 01910. 01805. 016 元）元）(25.18 05. 014

25、 05. 016 10. 017 4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例4-11】設(shè)設(shè)(X，Y)的概率密度為的概率密度為求求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)解解：由于由于f(x，y)的非零區(qū)域?yàn)榈姆橇銋^(qū)域?yàn)镈：0 x 2，0 y 1 其其它它, 010, 20, 3/ )(),(yxyxyxf DdxdyyxxfXE),()(95)23(1813),()(202010 dxxdydxyxydxdyyxyfYED 20)12(61dxxx 20103dydxyxx911 4.1 4

26、.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.2 4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例例4-11】設(shè)設(shè)(X，Y)的概率密度為的概率密度為求求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)解解：由于由于f(x，y)的非零區(qū)域?yàn)榈姆橇銋^(qū)域?yàn)镈：0 x 2，0 y 1 其其它它, 010, 20, 3/ )(),(yxyxyxf DdxdyyxfyxYXE),()()(2222916 DdxdyyxfyxYXE),()()( 20103)(dxdyyxyx6133)(201022 dxdyyxyx4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.

27、3 4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè)c是常數(shù)，則有是常數(shù)，則有E(c) = c(2) 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，設(shè)是隨機(jī)變量，設(shè)c是常數(shù)，則有是常數(shù)，則有E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c(3)設(shè)設(shè)X，Y是隨機(jī)變量，則有是隨機(jī)變量，則有 E(X + Y) = E(X) + E(Y)(4) 設(shè)設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY) = E(X)E(Y)該性質(zhì)該性質(zhì)(3), (4)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量的情形可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量的情形4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望l4.1.3 4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明：證明：(1) c是這樣的隨機(jī)變量，它只可能取值是這樣的隨機(jī)變量，它只可能取值c，因而它，因而它取取c的概率為的概率為1，于是，于是E(c) = c 1 = c以下僅就以下僅