D52多元函數(shù)的極限連續(xù)性

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五章 第二節(jié)第二節(jié)一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限與二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性連續(xù)性三、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式,2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPP

2、fu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcs

3、in(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例：例： 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例：例：設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束 等值線等值線 ： 另一種表示函數(shù) z=f (x, y)的方法是利用xOy面上的曲線族。當(dāng)點(diǎn)(x,y)在其中每一條曲線f(x,y)都取相同的值所謂的等值線 f (x, y）=C， 其中C為常數(shù)。它表示0( , )f x yC0C上變化時(shí). 函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 容 易 看 出 ， 等 值 線f(x,y)=C實(shí)際上就是曲面z=f(x,y)與平面z=C 的交線在xOy平面上的投影。因此,將等值線f(x,y)=C族中各曲線升到相應(yīng)得高度z=C處就不難想象出曲面z=f(x,y)的圖像目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例: 畫出函數(shù)22yxz的等值線， 并由此等值線解解:

5、: 顯然等值線為可知， 此曲面僅位于xOy平面的上方， 與xOy平面討論此曲面的形狀。容易看出，當(dāng)C0時(shí)，等值線是以原點(diǎn)為中心的同心圓 ，C越Cyx22小半徑越小; C=0時(shí)為原點(diǎn)O(0,0); C0時(shí)無軌跡。由此切于原點(diǎn)， 在xOy平面上方與水平平面z=C的截面都是圓， 且越往上開口半徑越大目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義 設(shè)非空點(diǎn)集,nDR是自變量 ; 是因變量，顯然，一個(gè)n 元向量值函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)于m 個(gè)n 元數(shù)量值函數(shù)映射稱為定義 在 D 上的 n 元向量值函數(shù)元向量值函數(shù) , 也可記作:R (2)mfDm ( ),yf x12( ,)nx xxD其中x12(,)mmy y

6、yRy12(,)mffff1112221212( ,),( ,),( ,).nnmmnyf x xxyfx xxyfx xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為運(yùn)算方便，有時(shí)把其中列向量,在這種情況下n元向量值函數(shù)元向量值函數(shù)也可記作nR與中的向量寫成mR121212(,) ,( ,) ,(,)TTTmnmy yyx xxfffyxf111122221212( )( ,)( )( ,)( )( ,)nnmmmnyff x xxyffx xxyffx xxxxy =x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例: 我們知道, 空間中曲線的參數(shù)方程為的一個(gè)映射，即一元其中( ),( ),( ),xx tyy t

7、zz ttR 到 它可以看做是從 3R , 向量函數(shù)( ), ,tt rr3( )( ( ), ( ), ( )tx ty tz tRr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)的極限和連續(xù)性二、多元函數(shù)的極限和連續(xù)性定義定義2. 3 設(shè) n 元函數(shù),(nDPPfR),點(diǎn) , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切

8、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明：（1）定義中 的方式是任意的；0PP （2）n 元函數(shù)的極限也叫n 重極限);,(lim00yxfyyxx（3）n元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：

9、0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)yx220 xyyx11sinsin總有 2要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( xf對(duì)一元函數(shù).)(lim)(lim00Axfxfxxxx如圖xx0 x0 xx0 xxx0lim( )xxf xA有有趨于不同值或有的極限不存在， 則可以斷定函數(shù)極限注注：當(dāng)點(diǎn)),(yxP以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .函數(shù)說明說明： 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xoX0XD對(duì)二元函數(shù) f (X), 如圖有.)(lim0AXfXX 點(diǎn)X以任何方式趨近于X0時(shí), f (X)的極限都存

10、在且為A.Dz = f (x, y)Xf (X)MX0Ayzxo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .例例3. 討論函數(shù)xoy如圖目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryr

11、x0sincossincoslim0rr原式時(shí), 下列算法是否正確是否正確?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. 時(shí)例如xxy21lim2230 xxxx原式此時(shí)極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, , 1,111xyxxy時(shí)例如目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的任意性,時(shí)當(dāng)4, 0r)sin(2sincossincos

12、sincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對(duì), 因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的. 同時(shí)還可看到, 本題極限實(shí)際上不存在 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故2222220

13、0)()cos(1limyxyxyxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 . 求累次極限解：解：和二元函數(shù)還可以定義兩個(gè)累次極限 ),(limlim00 yxfyyxx ),(limlim00 yxfxxyy和 limlim220 0 yxyxyxyx lim20 xxxx . 1 limlim220 0 yxyxyxxy lim20 yyyy . 1 limlim220 0 yxyxyxyx limlim220 0 yxyxyxxy 累次極限累次極限 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 僅知其中一個(gè)存在, 推不出其它二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00y

14、xfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：多元數(shù)量值函數(shù)極限的概念可推廣到多元向定義：定義：設(shè) D為一點(diǎn)集, ),(0PUDP，則稱 a 為為一n元向量值函數(shù)，對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPf都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切12,) :RTmmf ffDf = (是 D 的聚點(diǎn)，00,10,20,)nPxxx(12,).m=(a aaa

15、( )f Pa000lim( )( )PPf pf PP PP或（）a量值函數(shù)的情形。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0,

16、0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理：設(shè) 是緊集， 是 A 上的 (2) f在 A 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(最值定理) , ,Mm(3) 對(duì)任意，AQ;)(Qf使(介值定理) 三三. 多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):nAR:f AR的連續(xù)函數(shù)， 則(有界性定理) (1) f在A上有界;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理：設(shè) 是緊集， 是 A 上連續(xù), f 必在A 上一致連續(xù) , 即nAR:f AR120,x xA （ ）, 使得12x x時(shí)， 恒有12| ( )( )|f xf x注注：有界閉區(qū)域都

17、是連通的緊集，故上述定理對(duì)有界閉區(qū)域上的連續(xù)都成立。(一致連續(xù)性定理) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0,0時(shí)

18、，當(dāng)PP 00有APf)(2. 多元函數(shù)的極限3. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P61 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P129 題 3; *4思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,11.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以極限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示: :P61 題 2. ),(),(2yxft