第七節(jié)二重積分

1、1特點特點：.曲頂柱體體積曲頂柱體體積=？特點特點：曲頂曲頂.),(yxfz D1 1、曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、二重積分的概念一、二重積分的概念柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高第七節(jié)第七節(jié) 二重積分二重積分2播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示3步驟如下：步驟如下：用若干個小平頂柱體用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲體積之和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim1

2、0iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積分分割割求求和和，iiniifV ),(1極極限限42 2、二重積分的定義、二重積分的定義設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)),(yxfz 是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界上的有界函數(shù)函數(shù), ,若將若將D任意分割成任意分割成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域n ,21, ,并用同樣的記號記它們的面積并用同樣的記號記它們的面積, ,任取任取iii ),(, ,作和作和 存存在在, ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(yxf在在D上上可可積積, ,該該極極限限稱稱為為),(yxf在在D上上的的二二重重積積分分, ,記記作作 niiiif1),( , ,記記max1的的直直徑徑ini ,

3、,若極限若極限 niiiif10),(lim .d),( Dyxf 5iiniiDfyxf ),(limd),(10即即6 在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下用平下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDyxyxfyxfdd),(d),( yxddd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為當(dāng)當(dāng)),(yxf在閉區(qū)域上在閉區(qū)域上連續(xù)或分片連續(xù)連續(xù)或分片連續(xù)時，定時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在義中和式的極限必存在，即二重積分必存在. 73 3、二重積分的性質(zhì)、二重積分的性質(zhì)下面假定下面假定f( (x,y) ), ,g( (x,y) )在閉區(qū)

4、域在閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù), ,A為為D的面積的面積. . 性質(zhì)性質(zhì)2 2 線性性質(zhì)線性性質(zhì) DDDyxgyxfyxgyxf d),(d),(d),(),( DDyxfkyxkf d),(d),( ( (k為為常常數(shù)數(shù)) ). . 若若在在D上上1),( yxf, ,則則由由定定義義可可知知, ,AD d1， 這里這里A為為D的面積的面積. . 性質(zhì)性質(zhì)1 18若若0),( yxf, ,Dyx ),(, ,則則 d| ),(|d),(| DDyxfyxf 性質(zhì)性質(zhì)4 4.0d),( Dyxf 設(shè)設(shè)21DDD , ,且且21, DD無無公公共共內(nèi)內(nèi)點點，則則有有 性質(zhì)性質(zhì)3 3 區(qū)域可加性區(qū)域可加

5、性 .d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf 若若),(),(yxgyxf , ,Dyx ),(, ,則則 DDyxgyxf d),(d),(推論推論1 1推論推論2 29設(shè)設(shè)),(yxf在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值為為M, ,最最小小值值為為m, , D的的面面積積為為A, ,則則 性質(zhì)性質(zhì)5 5 估值性質(zhì)估值性質(zhì) MAyxfmAD d),(證證,),(Myxfm dd),(d DDDMyxfmMAyxfmAD d),(所以所以于是于是10若若),(yxf在在D上上連連續(xù)續(xù), ,則則存存在在一一點點D ),( , ,滿滿足足: : 性質(zhì)性質(zhì)6(6(二重積分的

6、中值定理二重積分的中值定理) ) AfyxfD),(d),( 證證 由性質(zhì)由性質(zhì)5 5知知, , .d),(MAyxfmAD 由由于于0 A, ,得得 ，MyxfAmD d),(1由由閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的介介值值定定理理, , 存存在在一一點點D ),( , ,使使 ，),(d),(1 fyxfAD 即得證。即得證。 DyxyxfAdd),(1稱為稱為),(yxf在在D上的上的平均值平均值。 11ab)(2xy )(1xy xyo如果積分區(qū)域為如果積分區(qū)域為D ：其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba1 1、在、在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計算

7、二重積分下計算二重積分二、二重積分的計算二、二重積分的計算, )()(21xyx , bxa D12為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積以以曲曲面面為為底底，的的值值等等于于以以設(shè)設(shè)),(d),(, 0),(yxfzDyxfyxfD 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法, )()(21d),()(xxyyxfxA baxxAVd)(abzyxx),(yxfz )(1xy )(2xy )(xA baxxxyyxfdd),( )()(21 13積分區(qū)域為：積分區(qū)域為：.bxa ，)()(21xyx Dyxf d),(一般地，一般地，.d),( d

8、)()(21 baxxyyxfx 先對先對 y 積分，后對積分，后對 x 積分的積分的二次積分二次積分 baxxxyyxfdd),( )()(21 記為記為ab)(2xy xyoD)(1xy 14d)(2yx xyoD)(1yx c Dyxf d),(如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：.dyc ，)()(21yxy .d),( d)( )(21 dcyyxyxfy 先對先對 x 積分，后對積分，后對 y 積分的二次積分積分的二次積分 dcyyyxyxfdd),()()(21 1524將將yxyxfdd ),(D 化為二次積分化為二次積分,其中其中 D 由直線由直線4 ,2 ,2 , yyxyxy

9、圍成。圍成。解法解法1先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 D，將將 D 向向 y 軸投影，軸投影，先先 x 后后 y , ,yxyxfDdd ),( .d ),(2xyxfyy 42d y例例1 1xy 2 xyxyoDyx 2 yx16246xy 2 xy24xyo1D2D解法解法2先先 y 后后 x, , 將將 D 向向 x 軸投影軸投影,21DDD yxyxfyxyxfyxyxfDDDdd ),(dd ),(dd ),(21 yyxfxd ),(2 42dx.d ),(42yyxfx 64dx 17計算計算， d Dxy其中其中 D 由直線由直線, 1 , yxy解解 先畫出積分區(qū)域先畫出積分

10、區(qū)域 D ，先先 y 后后 x, , 將將 D 向向 x 軸投影，軸投影， d Dxyyxyxd 1 21dx 2112d 21 xyxx例例2 2.89 xy 2 xxyo12121 y 212d )1( 21xxx 213d )22( xxx圍成圍成。2 x18求求 Dyxyxdd)(2，其其中中 D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解 Dyxyxdd)(2 1022d)(dxxyyxxxxxxxxd)(21)(42102 .14033 例例3 3先求兩曲線的交點先求兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(2xy xyoxy 211先對先對 y 積分

11、，積分， 19求求 Dyyxxdde22,其中其中 D是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為頂點的三角形為頂點的三角形. yyde2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示, 解解積積分分次次序序應(yīng)應(yīng)先先x后后y, Dyyxxdde22 yyxxy0210dde2yyyde311032 2102de612yyy . )e21(61 例例4 4xyo1120所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。及及是是由由拋拋物物線線其其中中計計算算2,d2 xyxyDxyD 解解 2212dddyyDxxyyxy .845 例例5 5先先 x 后后 y , ,yyyyd)2(212152 )1, 1(

12、xy 2xyo2 xy)2, 4(兩曲線的交點兩曲線的交點)1, 1()2 , 4( 21所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。及及是是由由拋拋物物線線其其中中計計算算2,d2 xyxyDxyD 解解例例5 5)1, 1( xy 2xyo2 xy)2, 4(兩曲線的交點兩曲線的交點)1, 1()2 , 4( Dxy d選擇積分次序的原則：選擇積分次序的原則： 若選擇先若選擇先 y 后后 x , , xxyxyxdd10,dd241 xxyxyx(1)積分容易；積分容易； (2)盡量盡量少分塊少分塊或不分或不分塊塊. . 麻煩。麻煩。22計計算算 Dx d，其其中中D是是以以) 1 , 2(),2 ,

13、1 (),0 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形區(qū)區(qū)域域。 解解 Dx d xxyxx22110dd 21102d)233(d23xxxxx.23272921 xxyxx32121dd例例6 6xyo)2 , 1()1 , 2(xy21 xy2 xy 323解解積分區(qū)域為積分區(qū)域為 xyyxfx1010d ),( d.d ),( d1010 yxyxfy將將 D 向向 y 軸投影軸投影,改變積分改變積分的次序的次序. . xyyxfx1010d),(d例例7 7xyo11xy 124解解設(shè)設(shè)，原式原式 21d),(d),(DDyxfyxf . 10 ,20 :21xxxyD . 21 ,20

14、 :2xxyD則則1Dxy 22D xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2例例8 8交換下面積分的次序交換下面積分的次序: :xyo12125設(shè)設(shè)21DDD 將將 D 向向 y 軸投影軸投影, . 10,211 :2yyxyD d ),(D yxf原原式式.d),(d102112 yyxyxfy1Dxy 22Dxyo121,22xxy ,1)1(22 yx,112yx 26 224210d),(dxxyyxfx 20322d),(dyxyxfy.d),(d24023 yxyxfyxyo222 xy422 yx22)3, 1(例例9 9交換下面積分的次序交換下面積分的次

15、序: :27利用對稱性簡化二重積分的計算利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于y 軸對稱，軸對稱，;0d),( Dyxf yx),(yxP )(xfy ox- -x),(yxP(1) 若若f( (x, ,y) )關(guān)于關(guān)于 x 是奇函數(shù)，則有是奇函數(shù)，則有(2) 若若f( (x, ,y) )關(guān)于關(guān)于x 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，則有則有其中其中 是是D的右半?yún)^(qū)域。的右半?yún)^(qū)域。1D,d),(2d),(1DD yxfyxf28利用對稱性簡化二重積分的計算利用對稱性簡化二重積分的計算設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x 軸對稱，軸對稱，;0d),( Dyxf (1) 若若f( (x, ,y)

16、 )關(guān)于關(guān)于 y 是奇函數(shù)，則有是奇函數(shù)，則有(2) 若若f( (x, ,y) )關(guān)于關(guān)于x 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，,d),(2d),(1DD yxfyxf則有則有其中其中 是是D的上半?yún)^(qū)域。的上半?yún)^(qū)域。1Dyxo1D29例例10 10 設(shè)有平面區(qū)域設(shè)有平面區(qū)域,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD 則則 Dyxyxxy_dd)sincos(. . ( (A A) ) 1ddsincos2Dyxyx ( (B B) ) 1dd2Dyxxy ( (C C) ) 1dd)sincos(4Dyxyxxy ( (D D) ) 0 解解如如圖圖將將D分分為為4 4 部部分分4321,DD

17、DD, ,則則: : Dyxyxxydd)sincos(oxy1D2D3D4D30( (A A) ) 1ddsincos2Dyxyx ( (B B) ) 1dd2Dyxxy ( (C C) ) 1dd)sincos(4Dyxyxxy ( (D D) ) 0 解解oxy1D2D3D4D如如圖圖將將D分分為為4 4 部部分分4321,DDDD, ,則則: : Dyxyxxydd)sincos( 2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy 4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy000,ddsincos21 Dyxyx選選( (A).A).31例例11 11 求二重積分求二重積

18、分 Dyxyxdd)(22， 解解oxy1D區(qū)域區(qū)域D分別對稱于分別對稱于x軸和軸和y軸，軸， 被被積積函函數(shù)數(shù)22yxf 對對 y或或 x都都是是偶偶函函數(shù)數(shù)， 其其中中1| : yxD. . 故故所所求求積積分分是是被被積積函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域1D上上積積分分的的四四倍倍，即即 Dyxyxdd)(22 101022d)(d4xyyxx 1032d)1(31)1(4xxxx.32 322 2、在、在極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系下計算二重積分下計算二重積分在下述兩種情況下在下述兩種情況下, ,往往利用極坐標(biāo)來計算二重積分：往往利用極坐標(biāo)來計算二重積分： 1)1)當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等

19、時為圓域、環(huán)域或扇形域等時, , D的的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單；邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單； 2)2)被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有 等形式時等形式時, ,用極坐標(biāo)積用極坐標(biāo)積分較為容易分較為容易. . )(22yxf 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為： sincosryrxxyo ),(yxr xyyxrarctan22 33AoDi irr iirrr ii i iiiiiirrr 2221)(21iiirr DDrrrrfyxyxf dd)sin,cos(dd),(所以面積元素為所以面積元素為 dddrr iiiiirrr 2)(34 )()(21d)sin,cos(

20、d rrrrf ADo)(1 r)(2 r Drrrrf dd)sin,cos(二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分的公式二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分的公式區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r35a計計算算yxDyxdde22 ，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原點點，半半徑徑為為 a 的的圓圓周周所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解D：ar 0， 20. yxDyxdde22 arrr020ded2 ar0)e21(22 例例1212在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下, ,. )e1(2a xyo36求求 DyxI d)4(, ,其其中中2),( 22yyxyxD . . 例例1313解解 si

21、n200d)sin4(drrrI d)sin38sin8(402 204202dsin316dsin16 2214331622116 區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于y 軸對稱，軸對稱，所所以以0d DxI , , 用極坐標(biāo)，用極坐標(biāo)，.3 xyo2yyx222 sin2 r37注注：若若2),(22xyxyxD 為為 xyo2 cos2022d)sin,cos(drrrrfyxyxfDdd),( xyx222 cos2 r38xyo922 yx3例例1414解解.d)6(d 290222230 xyyxyxxI計計算算直接做麻煩直接做麻煩, , 化為極坐標(biāo)化為極坐標(biāo), , 20302d)6(d rrrrI

22、)948127(2 .89 39寫寫出出積積分分 Dyxyxfdd),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域 例例1515,11| ),(2xyxyxD 10 x1 yx122 yx11xyo解解.d)sin,cos(d201 cossin1 rrrrf所以所以 21110d),(dxxyyxfx,1 yx1sincos rr1 r, cossin1 r, 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下, , 圓方程為圓方程為 直線方程為直線方程為40其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域為為41| ),(22 yxyxD. 解解 Dyxyxyxdd)sin(2222 210dsind42rrrr

23、. 4 1dd)sin(42222Dyxyxyx ,dd)sin(2222 Dyxyxyx 計算二重積分計算二重積分例例1616由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，可只考慮第一象限部分，可只考慮第一象限部分，xyo211D21)cos1(24r 41計計算算 Dy d，其其中中D是是由由直直線線2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲線線22yyx 所所圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域. 解法解法1 1例例171722yyx Dyxydd,dddd11 DDDyxyyxy 2002dddd1yyxyxyDD,4 yyx2 22 1ddDyxy sin20dsind2rrrxyo2 21DD42,dddddd11 DDDDyxyyxyyxy,4dd1 DDyxy 1ddDyxy sin20dsind2rrr 2dsin384 t 令令 204dsin38 tt2214338 ,2 所以所以.24dd Dyxy43xyo2 21DD計計算算 Dy d，其其中中D是是由由直直線線2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲線線22yyx