數(shù)值計算方法ch2—22PPT學習教案

1、數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法ch222其逆矩陣也是倍加矩陣矩陣倍加是特殊的初等矩陣稱為矩陣通常記為行元素有關與變換后增廣矩陳的第,./kiikkkikElkiaac ikcEki11111第1頁/共16頁它們都是單位下三角矩陣，即對角元全為1、對角線上方元素全為零的矩陣。因此不選主元的高斯消去法消去過程，實質是增廣矩陳 被左乘一系列倍加矩陣，變成上三角形矩陣 ，即ARRAEEEEEEnnnn12131232,1此式稱為高斯消去法的矩陣形式。由此顯然REEEEREEEAnnnn,1111311211213,1注意EEEELnn,11113112E1n是將單位矩陣 的第行倍數(shù)加于第 行， ，將第一行的

2、倍數(shù)加于第 行、 、第二行，可見 是單位下三角矩陣。故nnLbLyLRA, LyLRyRLRLAbA這說明，高斯消去法的消去過程，實質上是把系數(shù)矩陣 分解為單位下三角矩陣 與上三角矩陣 的乘積，并且求解議程組 的過程。回代過程就是求解上三角形方程組ALRbLy yRx 第2頁/共16頁 矩陣 和 也可直接算出。事實上，比較等式 兩邊等 行、第 列元素可知LRRLA ij11,1,1njnirlankkjikij注意 是單位下三角矩陣， 便知L, 0, 1ikiilikl時11ikijkjikijrrla從而11221, 1,ikkjikijijniijrlar同樣，因 為上三角陣， 知R, 0

3、kjrik時nkikiijikijkkijkjirlrlrla111第3頁/共16頁可見32, 2, 1,11niijrrlaliiikkijkjiji公式（2-2）和（2-3）就是計算 和 各元素的計算公式。 實際計算時 的對角元 不必存放， 和 中肯定為零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增廣矩陣 的位置：LRL1iilLRLRA 33333333333232313122222323222221211111131312121111byararalalbyarararalbyararararnnnnijrjilALRRRLiRi此時公式（2-2）、（2-3）表明， 或 都是原始矩陣 對

4、應元素，減去同行左邊 的元素與同列上邊 的元素乘積；只是對 的元素，然后需除以 的對角元。計算順序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行， 如圖21所示：Lni,2, 1iL第4頁/共16頁 ani, 2 , 1 b圖21 計算順序例21 分解 ，并解方程組 ，其中LRA bAx 71052,139144301021312434321bA解 按計算公式（2-2）和（2-3）第5頁/共16頁164234172332113232432171391441030102513124324321A詳細計算過程如下（下文不再寫出）：16172)1(3)2(4742213)4

5、(413;23)3(3349(17)1(3)2(210213)4(23, 3)3(3320; 32)2414(, 32)2210(1)2()3(5, 1)4()3(1333)3(12, 22)3(4;414, 212, 3132, 4, 3, 2, 145444433533433423225224232241312115114131211ryrlryrrllryrrrlllryrrrr第6頁/共16頁從而161712,4231324321,1234132131yRLTx4,3,2,1bLy yRx 回代（解方程組 ），得yRx 分解 且 為單位下三角陣、 為上三角陣，稱為杜里特爾Dolittl

6、se)分解。利用杜里特爾分解求解方程組 或 ，相當于解兩個三角形方程組LRA LRbAx bRxL)(解下三角方程組 可以在分解 時同時完成（如例21），也可獨立完成。這是因為，把 寫成分量形式，就是bLy RLA bLy 第7頁/共16頁nnnnnnnbyylylylbyylylbyylby11,2211332321312212111由此可見，niylbybyikkikii,3,2,1111 用杜里特爾分解求解方程組（2-1），所需乘除次數(shù)與高斯消去法完全一樣。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共計 次。LRA nn 331bLy nn 221yRx nn 221nnn313123第

7、8頁/共16頁陣，即對角全為1、對角線上方元素全為零的矩陣。因此不選主元的高斯消去過程，實質是增廣矩陣被左乘一系列倍加矩陣，變成上三角形矩陣,即此式稱為高斯消去法的矩陣形式。由此顯然注意是將單位矩陣三角分解法常用于求解系數(shù)矩陣都是 的若干方程式組mibAxii,2,1,這是因為，一旦完成分解 ，只需再解 個三角形方程組LRA m miyRxbLyiiii,2, 1,A解這種三角形方程組每組只需 次乘除法，遠比重復使用高斯消去法節(jié)省工作量。為保證三角分解順序、穩(wěn)定進行，與高斯消去法一樣，也可選主元。常用列主元法。2n. 克洛特分解法當矩陣 可作杜里特爾分解 時,令 為 對角元構成的對角陣ARLA

8、 DR則RDLDRLArrrdiagDrrrdiagDnnnn1112211112211),(),(第9頁/共16頁再算第 行；或者先算第 行，再算第 列， 如圖22所示?？寺逄胤纸夥ǖ挠梅斑\算量與杜里特爾分解法相同。 例22 用克洛特分解法求解方程組,2, 1niiii815531614255213243214314214321xxxxxxxxxxxxxx1161391596921012121312181515316114012505213121解135011613921121yRL得第10頁/共16頁解 ，得解 。解畢。 為保證克洛特分解法順利、穩(wěn)定進行，也可采

9、用列主元法。求解 步驟如下：yRx Tx1 , 1 , 1 , 1bAx 對 做ni1niknkikninjikkjikijijjinjipiikkijkjijiyRxaaaaniiaaaanijipipaaiaaaanij11,1,1,11111111,max)(解令對行算令對選主元行時交換當求列算令對 計算結束時 的第 列就是解 注意：例22中系數(shù)矩陣對稱： ，此時 就是 各列除以對角元所得矩陣的轉置矩陣。一般來說 對稱且可作克洛特分解 ，記 的對角元構成的對角陣為 ， 各列除以對角元構成的單位下三角矩陣為 ，則A1nAATRL|WTBXLRA LDLL第11頁/共16頁TTTTTTTTL

10、DRLDRLDRDRLAADRL可見 ， ，說明 都是 各列除以對角元所得矩陣的轉置矩陣；說明對稱矩陣 可分解為 或 。因此 可由 直接求出，而不必再按公式（24）第二式重復計算。這樣分解 可以節(jié)省 次乘法，即節(jié)約大約一半的運算量。 也可不存儲。TLRDRRATRLADRRATTLDLRLAnnn236123R 2.2.3 追趕法 追趕法適于求解對角方程組 ,這里bAx nnnnnnndbadcbadcbadcbadcbbAA111133332222111第12頁/共16頁其實質是高斯消去法、三角分解法的應用。事實上，將 作克特分解AnnnnnnnyyryryryrlalalalalA1111

11、1113322111133221則易知11111,ldybl nilyadyrabllcriiiiiiiiiiii, 3, 2,11111回代得11,1nixryxyxiiiinn。按照這些公式次數(shù)求解 的方法就稱追趕法，其中算 稱追，回代稱趕，共需乘除法次數(shù)為 ，遠比一般方程組的高斯消去法或三角分解法節(jié)省運算量。實際問題提出的三對角方程組往往嚴格對角占優(yōu)，因此不用選主元，就可保證順利、穩(wěn)定進行。bAx iiiylr,45 n第13頁/共16頁2.2.4 平方根法 平方根法適于求解 對稱正定的方程組 。此時 的各階順序主子式 ，保證了主元大于零，保證了 可作克特分解 而且 的對角元 （也就是主

12、元）全為正數(shù)。所以令 ，則AbAx AA0kTLDLADidnddddiagD,2121TTDLDLLDDLADDD)()(,212121212121再記 為 ，則上式表明。對稱正定矩陣 可分解為 ，即下三角矩陣及其轉置矩陣的乘積，利用比較法可得 元素計算公式：ninijlllallaliiikikjkjijiikikiiii1)62(1,)()(111121221DLLATLLA L利用這種分解方程組 稱為平方根法或喬列斯基(cholesky)分解法。跟前種分解法一樣，求解下三角方程組 可在分解 的同時進行。bAx bLy A第14頁/共16頁例23 用平方根法求解例22方程組。解11213523210121213121815153161140125052