第4章Cohen類時-頻分布ppt課件

1、第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 4.1 前言前言 4.2 Wigner分布與模糊函數(shù)分布與模糊函數(shù) 4.3 Cohen類時頻分布類時頻分布 4.4 時頻分布所希望的性質(zhì)時頻分布所希望的性質(zhì) 及核函數(shù)的制約及核函數(shù)的制約 4.5 核函數(shù)對時頻分布中核函數(shù)對時頻分布中 交叉項的抑制交叉項的抑制 4.6 減少交叉項干擾的核的設(shè)計減少交叉項干擾的核的設(shè)計第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.1 前言前言 1966年，年，Cohen給出了時頻分布的更普通表示給出了時頻分布的更普通表示方式：方式：式中式中 稱為時頻分布的核函數(shù)，也可以了解稱為時頻分布

2、的核函數(shù)，也可以了解為是加在原為是加在原Wigner分布上的窗函數(shù)。不同的分布上的窗函數(shù)。不同的 ，可以得到不同類型的時頻分布?？梢缘玫讲煌愋偷臅r頻分布。 目前已提出的絕大部分具有雙線性方式的時頻目前已提出的絕大部分具有雙線性方式的時頻分布都可以看作是分布都可以看作是Cohen類的成員。類的成員。 ，：，ddudeg2ux2ux21gtCutjx，g，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.2 Wigner分布與模糊函數(shù)分布與模糊函數(shù)u模糊函數(shù)定義 u令 為一復(fù)信號，由定義 的瞬時自相關(guān)函數(shù)為u 4.2.1u并定義 相對 的傅立葉變換u u 4.2.2u為 的WVD。 tx tx22t

3、xtxtrx，trxdtrtWjxx， tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 的對稱模糊函數(shù)的對稱模糊函數(shù) 定義為定義為 相對變相對變量量 的傅立葉逆變，即：的傅立葉逆變，即： 4.3.3由由4.2.3式，有式，有 (4.2.4對該式兩邊取相對變量對該式兩邊取相對變量 的傅立葉變換，立刻可得的傅立葉變換，立刻可得 4.2.5該式闡明，信號的該式闡明，信號的WVD是其是其AF的二維傅立葉變換。的二維傅立葉變換。 dteAtrtjxx，ddeAtWtjxx， tx，xA，trxtdtetr21Atjxx，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 令令 為一復(fù)信號，定義為一復(fù)信號，定義 ，

4、分別是作正、分別是作正、負移位和正、負頻率調(diào)制所得到的新信號，即：負移位和正、負頻率調(diào)制所得到的新信號，即： 4.2.6a 4.2.6b 式中為時移，為頻移，顯然式中為時移，為頻移，顯然 (4.2.7即：模糊函數(shù)可了解為信號在作時移和頻率調(diào)制后的即：模糊函數(shù)可了解為信號在作時移和頻率調(diào)制后的 內(nèi)積。內(nèi)積。 tx tx1 tx2 2tj1e2txtx 2tje2txtx ,22221Adtetxtxtxtxtj，u 模糊函數(shù)的含義模糊函數(shù)的含義 第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 當(dāng)將信號當(dāng)將信號 發(fā)射出去并由一固定目的作發(fā)射出去并由一固定目的作無失真反射回來時，反射信號應(yīng)是無失真反射回來

5、時，反射信號應(yīng)是 。經(jīng)過估計時間可知道從信號發(fā)射點到目的的經(jīng)過估計時間可知道從信號發(fā)射點到目的的間隔。假設(shè)目的是挪動的，由多普勒效應(yīng)，間隔。假設(shè)目的是挪動的，由多普勒效應(yīng)，還還將產(chǎn)生頻移，即接遭到的信號應(yīng)是將產(chǎn)生頻移，即接遭到的信號應(yīng)是 。因此，模糊函數(shù)在雷達實際中具有重要的作因此，模糊函數(shù)在雷達實際中具有重要的作用。用。 txtxtjetx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u 模糊函數(shù)的性質(zhì)：模糊函數(shù)的性質(zhì)： .假設(shè)假設(shè) ， 那么那么 4.2.8 2. 假設(shè)假設(shè) ， 那么那么 4.2.9 的最大值一直在平面的最大值一直在平面 的原點，且該最大值即的原點，且該最大值即是信號的能量，即：是

6、信號的能量，即：4.2.10假設(shè)我們再定義假設(shè)我們再定義 4.2.11 0ttxty，xtjyAeA0 tjetxty0，xjyAeA0，xA，xxxEAA00max，22XXRx，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布為為 的的“瞬時瞬時譜自相關(guān)，式中為的譜自相關(guān)，式中為的FT，那，那么：么： 4.2.12 4.2.13且且 4.2.14 deRtWtjxx，de2X2XtjdeR21Ajxx，de2X2X21jdtdetrRtjxx， X第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布uWVDWVD和和AFAF的本質(zhì)區(qū)別：的本質(zhì)區(qū)別：u不論不論 是實信號還是復(fù)信號，其是實信號還是復(fù)信號，其WVD

7、WVD一一直是實信號，但其模糊函數(shù)普通為復(fù)函直是實信號，但其模糊函數(shù)普通為復(fù)函數(shù)。數(shù)。u兩個信號兩個信號 ， 的互的互WVDWVD滿足滿足u u 4.2.15a4.2.15au而其互而其互AFAF不存在上述關(guān)系，即不存在上述關(guān)系，即uu 4.2.15b4.2.15b tx tx ty，tWtWxyyx，xyyxAA第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 WVD和和AF分別處在不同的分別處在不同的“域：域： ：時頻域，對應(yīng)：時頻域，對應(yīng) ：瞬時自相關(guān)域，對應(yīng)：瞬時自相關(guān)域，對應(yīng) ：“瞬時譜自相關(guān)域，對應(yīng)瞬時譜自相關(guān)域，對應(yīng) ：模糊函數(shù)域，對應(yīng)：模糊函數(shù)域，對應(yīng)之所以稱之所以稱 為為“模糊函數(shù)，

8、是由于模糊函數(shù)，是由于 和和 分分別對應(yīng)了頻域的別對應(yīng)了頻域的“頻移和時域的頻移和時域的“時移。時移。),( t),( tWx),(t),(trx),(),(xR),(),(xA),(xA第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布1tFFF1FFF) 2() 2(), (txtxtrx11FFt),(xA), ( tWx圖4.2.1WVD和AF的關(guān)系第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 舉例闡明舉例闡明 和和 在在 和和 平面上平面上的位置的不同的位置的不同 例例4.2.1令令 4.2.16我們在例我們在例3.3.5中已求出其中已求出其WVD是是 4.2.17同樣可求出其模糊函數(shù)是同樣可求出

9、其模糊函數(shù)是 4.2.18),( tWx),(xA),( t),( tjtttx02041exp2exp22002exp/xW ttt ，0022exp441exp21tjAx，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布分析結(jié)論：分析結(jié)論：1 是實函數(shù)，而是實函數(shù)，而 是復(fù)函數(shù)；是復(fù)函數(shù)；2 的中心在的中心在 處，它是一高斯型函數(shù)，處，它是一高斯型函數(shù)，時域、頻域的擴展受時域、頻域的擴展受 的控制；的控制； 的中心在的中心在 處，其幅值也是高斯處，其幅值也是高斯型函數(shù)，且遭到一復(fù)正弦的調(diào)制。該復(fù)正弦型函數(shù)，且遭到一復(fù)正弦的調(diào)制。該復(fù)正弦在在 和和 軸方向上的震蕩頻率由軸方向上的震蕩頻率由 和和

10、所控制。所控制。這就是說，這就是說， 和和 并不影響并不影響 的中心位置，的中心位置，影響的只是其震蕩速度。影響的只是其震蕩速度。，tWx，xA，xA，xA，tWx00，t 00，0t0t00第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布例例4.2 令令 4.2.19其模糊函數(shù)其模糊函數(shù)AF： (4.2.20) 及及 是是 的的AF的互項，其中：的互項，其中： 4.2.21式中式中 ， ， ，因此因此 的中心為的中心為 的中心為的中心為 212412expiiitjtttx，1221,21xxxxixxAAAAiuduu22dxxttjt44121A21expexp,，21,xxA，12,xxA t

11、x221tttu21d221u21dttt 2121tttdd，21,xxA，12,xxA 1212tttdd，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.2.2x(t) 的模糊函數(shù)與時頻分布, (a) 模糊函數(shù), (b) 時頻分布第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 將將WVDWVD的互項及的互項及.21式均寫成極坐標(biāo)的方式，即：式均寫成極坐標(biāo)的方式，即： 4.2.22a4.2.22a 4.2.22b4.2.22b由由.21式，有式，有 4.2.23a4.2.23a由由.2式，有式，有 4.2.23b4.2.23b，tjtAtWWWxx

12、exp21,，AAxxjAAexp21,uAt，uA，dWtt，dWtt，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布上式結(jié)果闡明：上式結(jié)果闡明： WVD互項的相位對互項的相位對 和和 的偏導(dǎo)數(shù)分別對應(yīng)于的偏導(dǎo)數(shù)分別對應(yīng)于該信該信號模糊函數(shù)的互項的中心坐標(biāo)，即號模糊函數(shù)的互項的中心坐標(biāo)，即 。AF中中互項的位互項的位置直接反映了置直接反映了WVD中交叉項的震蕩情況。中交叉項的震蕩情況。WVD中中交叉項震交叉項震蕩越厲害，那么，蕩越厲害，那么，AF中互項的中心距中互項的中心距 平面的平面的原點越原點越遠，反之，我們由遠，反之，我們由AF互項的中心位置又可大致判別互項的中心位置又可大致判別WVD互互項

13、的震蕩程度。項的震蕩程度。 tddt，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 WVD WVD和和AFAF各自互項與自項的位置及它們互項間的關(guān)各自互項與自項的位置及它們互項間的關(guān)系提供了一個抑制系提供了一個抑制WVDWVD中交叉項的有效途徑，即：中交叉項的有效途徑，即：1 1首先對首先對 求模糊函數(shù)，由于求模糊函數(shù)，由于 的自項一的自項一直在平面直在平面 的原點處，而互項遠離原點，因此，的原點處，而互項遠離原點，因此，我們可設(shè)計一個我們可設(shè)計一個 平面的低通濾波器對平面的低通濾波器對 濾波，從而有效地抑制了濾波，從而有效地抑制了 中的交叉項；中的交叉項；2 2對濾波后的對濾波后的AFAF按按4

14、.式作二維傅立葉變式作二維傅立葉變換，得到換，得到 。這時。這時 的已是被抑制了的已是被抑制了交叉項的新交叉項的新WVDWVD。 tx，xA，xA，xA，tWx，tWx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布AF中越是遠離原點的交叉項，在中越是遠離原點的交叉項，在 的作用的作用下，抑制的效果越明顯。下，抑制的效果越明顯。 dtdtdd12uut1t2tt圖4.2.3 同一信號AF及WVD互項與自項的位置表示圖，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.3 Cohen類時頻分布類時頻分布 u時頻分布方式時頻分布方式 u 令令 ，Cohen類分布的一致表示方式類分布的一致表示方

15、式變?yōu)樽優(yōu)閡 u u 4.3.1u即即Wigner分布是分布是Cohen類的成員，且是最簡類的成員，且是最簡單的一種。單的一種。 1，g ，：，tWde2tx2txdudetu2ux2uxdedude2ux2ux21ddude2ux2ux21gtCxjjtujjutjx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 Rihaczec分布分布 Page分布分布 ChoiWillams分布分布 BornJordan分布分布2jeg，2jeg，22jeg， sin，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u Cohen Cohen類分布的其它表示方式類分布的其它表示方式 u1 1、用、用 的頻譜的頻譜

16、表示，即表示，即u u2 2、用模糊函數(shù)表示、用模糊函數(shù)表示 .2 u .3u3 3、用、用WVDWVD表示表示u .4u )(X tx ddudeguXuXtCtujx，2221 ddegAtCtjxx， dudutGuWtCxx，241第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4、用廣義模糊函數(shù)表示、用廣義模糊函數(shù)表示在在4.3.3式中，定義式中，定義 4.3.5為信號的廣義模糊函數(shù)，那么為信號的廣義模糊函數(shù)，那么 4.3.65、用廣義時間相關(guān)表示、用廣義時間相關(guān)表示定義時間自相關(guān)域的核函數(shù)為：定義時間自相關(guān)域的核函數(shù)為： 4.3.7那么廣義時

17、間自相關(guān)定義為：那么廣義時間自相關(guān)定義為： 4.3.8 ，gAMxxddeMtCtjxx，degtgjt， duutgurtrx，21第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 4.3.96、用廣義譜自相關(guān)表示。定義、用廣義譜自相關(guān)表示。定義 4.3.10為譜自相關(guān)域的核函數(shù)，那么廣義譜自相關(guān)定為譜自相關(guān)域的核函數(shù)，那么廣義譜自相關(guān)定義為：義為： 4.3.11這樣，這樣， 可表為可表為 的傅立葉逆變換，的傅立葉逆變換，即：即： 4.3.12detrtCjxx，degGj， dGRRXX，21，tCx，xRdeR21tCjtxx，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u Cohen類時頻分布的六

18、種表達方式，歸納類時頻分布的六種表達方式，歸納起來可分為四類：起來可分為四類：u 和和 在域在域 內(nèi)的卷積內(nèi)的卷積4.3.4；u廣義模糊函數(shù)的廣義模糊函數(shù)的 傅立葉變換傅立葉變換4.3.5、4.3.6及及4.3.3；u瞬時時間自相關(guān)瞬時時間自相關(guān) 和時間自相關(guān)域核函數(shù)和時間自相關(guān)域核函數(shù)u 在在t方向上卷積后的方向上卷積后的 傅立葉變換傅立葉變換(.9；u瞬時譜自相關(guān)瞬時譜自相關(guān) 和譜自相關(guān)域核函數(shù)和譜自相關(guān)域核函數(shù) 在在 方向上卷積的傅立葉變換方向上卷積的傅立葉變換.12。，tWx，tG，tD2，trx，tgxD1，xR，G第第4章章Cohen類時頻分布類時

19、頻分布 由由MoyalsMoyals公式，可以證明，圖譜也是公式，可以證明，圖譜也是CohenCohen類的成員，即：類的成員，即： .13式中式中 是作是作STFTSTFT時所用時域窗函數(shù)時所用時域窗函數(shù) 的的WVDWVD。比。比較較.4式，式， 對應(yīng)對應(yīng) ，它應(yīng)是，它應(yīng)是某一模某一模糊函數(shù)的糊函數(shù)的2-D2-D傅立葉變換。傅立葉變換。dudutWuWtSTFThxx，2，tWh th，tWh，tG第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布表表4.3.1知時頻分布及其核函數(shù)知時頻分布及其核函數(shù) Spectrogram譜圖 ZhaoAtlasMarks Choi

20、WilliamsED Page BornJordanCohen Rihaczek ReRihacze 偽Wigner分布 1 Wigner 時頻分布表達式 核函數(shù) 分布稱號 ，g，tCx detxtxj22 h dehtxtxj222cos tjeXtxRe2je tjeXtxaasin atatjjdudeuxuxea221212je 2ttjt detxt22e dudeuxuxjtu2224222 agsin21 atatj1dud2ux2uxegdueuhuhuj22 2dethxj第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.44.4時頻分布所希望的性質(zhì)及時頻分布所希望的性質(zhì)及對核函數(shù)

21、的制約對核函數(shù)的制約 由表由表.1可以看出，給出不同的核函數(shù)可以得可以看出，給出不同的核函數(shù)可以得到不同的分布。因此，經(jīng)過對核函數(shù)的性能的分析，到不同的分布。因此，經(jīng)過對核函數(shù)的性能的分析，可以調(diào)查其時頻分布的能性，可以得到一個新的分可以調(diào)查其時頻分布的能性，可以得到一個新的分布，對核函數(shù)施加一些制約條件，有能夠得到我們所布，對核函數(shù)施加一些制約條件，有能夠得到我們所希望的時頻分布的性質(zhì)。表希望的時頻分布的性質(zhì)。表.1列出了這些性質(zhì)列出了這些性質(zhì) 及對核函數(shù)的制約及對核函數(shù)的制約 。 iP iQ第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布表4.4.1所希望的時頻分布

22、的性質(zhì)及對核函數(shù)的制約性質(zhì)名稱性質(zhì)名稱 表達式表達式 對核函數(shù)的約束對核函數(shù)的約束 ：非負性：非負性 ： 是某些函數(shù)的模糊函數(shù)是某些函數(shù)的模糊函數(shù) ：實值性：實值性 ： ：時移：時移 ： 不取決于不取決于t ：頻移：頻移 : 不取決于不取決于 ：時間邊：時間邊 界條件界條件 ： ：頻率邊：頻率邊 界條件界條件 ：0P0Q，g1P2P3P4P，tRtCxQ2QQ34Q5Q，gg，00ttCtCttxtsxs，g00，tCtCetxtsxstj，g 221txdtCx， ， 10g 2XdttCx， ，10g5P，ttCx0第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 ： 是一個 低通濾波器 ：減少干

23、擾 ：假設(shè) ， 那么對 ：頻率支持域 ：假設(shè) ，那么對 ：時間支持域 ： 及 ：群延遲 ： 及 ：瞬時頻率 6P7P8P4Q7Q8Q dtCdtCtxxi，00g6Q dttCdtttCxxg，5Q 0,tx有ctt 0degtj，t2P10PQ10Q 0X0,，有tCxc0degj， 2，gD2，00g 0tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布表表4.4.2六個時頻分布滿足性質(zhì)情況比較六個時頻分布滿足性質(zhì)情況比較 性質(zhì)名稱性質(zhì)名稱分布名稱分布名稱 WignerRihaczekRe RihaczekChoiwilliamsSpectrogramBornJordan Y Y Y Y Y Y

24、 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 0P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10PY-Yes第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u 性質(zhì)性質(zhì) 及對核函數(shù)及對核函數(shù) 的要求的要求 給出一些給出一些解釋解釋 u ，時頻分布的非負性，即，時頻分布的非負性，即u u但遺憾的是，對知的許多分布，它們并不滿但遺憾的是，對知的許多分布，它們并不滿足這一性足這一性u質(zhì)。如表質(zhì)。如表.2中的六個分布，只需譜圖總中的六個分布，只需譜圖總是正的。是正的。u條件

25、條件 指出，假想象保證指出，假想象保證CohenCohen類的某一成類的某一成員是恒正員是恒正u的分布，那么的分布，那么 應(yīng)是某一函數(shù)的模糊函應(yīng)是某一函數(shù)的模糊函數(shù)。數(shù)。iP，giQ0P，ttCx00Q，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 實值性，即實值性，即 ， ：證明：由證明：由4.1.1式，式，令令 ， ，那么上式變?yōu)?，那么上式變?yōu)轱@然，如要求顯然，如要求 ，必有，必有 ，tRtCxQ，gg1P duddeg2ux2ux21tCutjx， duddeg2ux2ux21tCutjx，tCtCxx，gg第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布時移：時移： ：假設(shè)：假設(shè) ，那么，那么

26、： 不決議于不決議于 證明：由于證明：由于 處于處于 域，和域，和t無無關(guān)，所以它不影關(guān)，所以它不影響分布的時移性質(zhì)；響分布的時移性質(zhì)；頻移：頻移： ：假設(shè)：假設(shè) ，那么，那么 ： 與無關(guān)與無關(guān)性質(zhì)性質(zhì) 與與 稱為稱為Cohen類時頻分布類時頻分布的的“移不變移不變性質(zhì)，它包含了時移和頻移性質(zhì)，它包含了時移和頻移 。2P 0ttxts，0 xsttCtC2Q，gt，g，3P tjetxts00 xstCtC，3Q，g2P3P第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布時間邊緣條件，即時間邊緣條件，即 ： ： 頻率邊緣條件，即頻率邊緣條件，即 ： ：4P 221txdtCx，4Q ，10g5P 2X

27、dttCx，5Q ，10g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布瞬時頻率與瞬時頻率與 的關(guān)系，即的關(guān)系，即 ： ： 及及 群延遲與群延遲與 的關(guān)系，即的關(guān)系，即 ： ： 及及 6P dtCdtCtxxi，6Q4Q00，g，tCx，tCx7P dttCdtttCxxg，7Q5Q，00g 第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 時域支撐范圍，即時域支撐范圍，即：假設(shè)：假設(shè) 時，時， ，希望，希望 ，對，對 ： 頻域支撐范圍，即頻域支撐范圍，即 ：假設(shè)：假設(shè) 時，時， ，希望，希望 ： ：減少交叉項干擾：減少交叉項干擾 ： 是是 平面上的平面上的2D低通函數(shù)。低通函數(shù)。8Pctt 0tx0，tC

28、xctt 8Qtdegtj20，9Pc 0XcxtC，09Q20degj對，10P10Q，g，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 給定一個信號給定一個信號 ，記其時頻分布為，記其時頻分布為 。假定。假定 在在 和和 的范圍內(nèi)為零，假設(shè)的范圍內(nèi)為零，假設(shè) 在在 和和 的的范范圍內(nèi)也為零，那么圍內(nèi)也為零，那么 稱具有弱有限時間支撐性質(zhì)。同理，稱具有弱有限時間支撐性質(zhì)。同理，假定假定 在在 之外為零，假設(shè)之外為零，假設(shè) 在在 也為也為零，那么稱零，那么稱 具有弱有限頻率支撐性質(zhì)。具有弱有限頻率支撐性質(zhì)。 和和 指的指的是是弱有限支撐。弱有限支撐。 假設(shè)信號假設(shè)信號 分段為零，分段為零， 在在

29、為零的區(qū)間內(nèi)也為為零的區(qū)間內(nèi)也為零，那么零，那么 稱具有強有限時間支撐性質(zhì)。強有限支撐的稱具有強有限時間支撐性質(zhì)。強有限支撐的含含義是：只需義是：只需 為零，在所對應(yīng)的時間段內(nèi)為零，在所對應(yīng)的時間段內(nèi) 恒為零。恒為零。 同理可定義強有限頻率支撐。同理可定義強有限頻率支撐。 tx，tTFx tx1tt 2tt ，tTFx1tt 2tt ，tTFx X21，tTFx，tTFx21，8P9P tx tx，tTFx，tTFx，tTFx tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.54.5核函數(shù)對時頻分布中交叉項的抑制核函數(shù)對時頻分布中交叉項的抑制 單分量信號和多分量信號的區(qū)別是在恣意單分量信號和多

30、分量信號的區(qū)別是在恣意固定的固定的時辰，該信號的瞬時頻率時辰，該信號的瞬時頻率 是單值的還是多是單值的還是多值的。值的。一個多分量信號又可表為單分量的和，即：一個多分量信號又可表為單分量的和，即： (4.5.1)式中式中 都是單分量信號，因此都是單分量信號，因此 4.5.2) ti nkktxtx1 nktxi，21 2tx2tx n1in1jjin1kk2tx2tx2tx2tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布相應(yīng)的時頻分布相應(yīng)的時頻分布 4.5.3也由自項和互項所組成?；ロ椉词墙徊骓?，它是對真也由自項和互項所組成。互項即是交叉項，它是對真正時頻分布的干擾，應(yīng)設(shè)法將其去除或盡量減輕。正

31、時頻分布的干擾，應(yīng)設(shè)法將其去除或盡量減輕。減輕減輕 中交叉項的一個有效途徑是經(jīng)過的模糊中交叉項的一個有效途徑是經(jīng)過的模糊函數(shù)來實現(xiàn)。函數(shù)來實現(xiàn)。 的廣義模糊函數(shù)：的廣義模糊函數(shù)： 4.5.4核函數(shù)核函數(shù) 取平面取平面 上的上的2-D低通函數(shù)?？扇コ屯ê瘮?shù)?？扇コ蛞种茣r頻分布中的交叉項?；蛞种茣r頻分布中的交叉項。n1in1jxxn1kxxxtCtCtCjikk，,，tCx txninjxxnkxxxjikkMMM11,1,，g，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u舉例闡明核函數(shù)舉例闡明核函數(shù) 對交叉項的效果對交叉項的效果u 例例 指數(shù)核指數(shù)核 u 4.5.7)u其相應(yīng)的其相應(yīng)的TF分布

32、稱為指數(shù)分布分布稱為指數(shù)分布ED，屬于，屬于Cohen類。類。u 顯然顯然 ， ，且當(dāng)，且當(dāng) 和和 同時不為零同時不為零u時時 。 為常數(shù)。為常數(shù)。 越大，自項的分辨率越高，越大，自項的分辨率越高， 越小，越小，u對交叉項的抑制越大。因此，對交叉項的抑制越大。因此， 的取值應(yīng)在自項分辨的取值應(yīng)在自項分辨率和交叉項率和交叉項u的抑制之間取折中，并視信號的特點而定。假設(shè)信的抑制之間取折中，并視信號的特點而定。假設(shè)信號的幅度和頻號的幅度和頻u率變化得快，應(yīng)取較大的率變化得快，應(yīng)取較大的 ，反之取較小，反之取較小 。 的取值的取值引薦在引薦在u0.110之間。當(dāng)之間。當(dāng) 時，時， ，ED變成變成WVD

33、，可以有，可以有u效地抑制交叉項，但不能保證性質(zhì)效地抑制交叉項，但不能保證性質(zhì) 和和 。，g22 eg ，100，g10g0g，1，g1，g8P9P第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布EDED對應(yīng)的時域的核為對應(yīng)的時域的核為 .8相應(yīng)的時頻分布是相應(yīng)的時頻分布是 .9222exp44jtg tgedt，dudeuxuxttCWjx224exp4222，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 例例.1令令 由三個時頻由三個時頻“原子原子組成，組成， 和和 具有一樣的歸一化頻率具有一樣的歸一化頻率0.40.4，但具有不同的時間位置分，但具有不同

34、的時間位置分別是別是3232和和9696。令。令 和和 具有一樣的時間位置，但歸一具有一樣的時間位置，但歸一化頻率為化頻率為0.10.1。 的時域波形如圖的時域波形如圖4.5.1a4.5.1a所示，其理想的時所示，其理想的時頻分布如圖頻分布如圖4.5.1b4.5.1b所示。其所示。其WVDWVD如圖如圖4.5.1c4.5.1c所示。圖所示。圖c c中存在中存在著由這三個著由這三個“原子原子兩兩產(chǎn)生的共三個交叉項。圖兩兩產(chǎn)生的共三個交叉項。圖4.5.1d4.5.1d是是 的模糊函數(shù)。圖的模糊函數(shù)。圖4.5.1e4.5.1e是指數(shù)核是指數(shù)核 的等高線圖，的等高線圖， tx tx1 tx2 tx3

35、tx2 tx tx22exp ，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布2040608010012000.40.5TimeNormalized frequency20406080100120-1013 Gaussian atom(s) tx圖圖4.5.1a 的時域波形的時域波形 圖圖4.5.1 b 理想時頻分布理想時頻分布 tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布2040608010012000.050.40.45WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz圖圖4

36、.5.1(c ) 的的WVD tx 可以看到，圖中存在著由這三個可以看到，圖中存在著由這三個“原子原子兩兩產(chǎn)生的共三兩兩產(chǎn)生的共三個交叉項個交叉項 第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布-100-50050100-0.5-0.4-0.3-0.2-0.30.4AF的自項位于中心，在的自項位于中心，在 軸和軸和 軸上各有兩個互項，在軸上各有兩個互項，在第二和第四象限也各有一個互項，因此，該信號的第二和第四象限也各有一個互項，因此，該信號的AF共有共有6個互項。個互項。 圖4.5.1d 的模糊函數(shù) tx第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布圖圖4.5.1(e) 指數(shù)核指數(shù)核

37、的等高線圖的等高線圖 它在原點最大，在它在原點最大，在 軸和軸和 軸上恒為軸上恒為1 1。改動。改動 ，可，可調(diào)理坐標(biāo)軸兩邊兩個等高線的間隔。調(diào)理坐標(biāo)軸兩邊兩個等高線的間隔。 越大，間隔越越大，間隔越大，反之間隔越小。大，反之間隔越小。-60-40-200204060-0.4-0.3-0.2-22exp ，g第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布在第二和第四兩個象限的互項已被去除，在在第二和第四兩個象限的互項已被去除，在 軸和軸和 軸上的軸上的四個互項在圖中表達出來，但實踐上也被抑制。四個互項在圖中表達出來，但實踐上也被抑制。圖圖4.5.1(f) 4.5

38、.1(f) -60-40-200204060-0.4-0.3-0.2-，xAg第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布圖4.5.1g 是用ED求出的 的時頻分布 2040608010012000.050.40.45CW, Lg=4, Lh=13 sigma=9.6, Nf=128, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz tx交叉項較之圖交叉項較之圖4.5.1b的的WVD，已大大減輕，已大大減輕 第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布4.6減少交叉項

39、干擾的核的設(shè)計減少交叉項干擾的核的設(shè)計 假設(shè)假設(shè) 可以寫成變量可以寫成變量 ， 的積的函數(shù)，的積的函數(shù)，即即那么該核函數(shù)稱為那么該核函數(shù)稱為“積核積核，在表，在表4.3.1中中 ，sinc 及及ED核都是積核。核都是積核。 假設(shè)假設(shè) 可以寫成可以寫成 各自函數(shù)的積，各自函數(shù)的積，即即那么那么 稱為可分別的核。稱為可分別的核。 ，ggg，2cos2jea，g, )(21ggg，gu 定義定義第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布u 可分別核的計步驟：可分別核的計步驟：u步驟步驟1 設(shè)計一個根本函數(shù)設(shè)計一個根本函數(shù) ，使?jié)M足下述，使?jié)M足下述條件：條件：ua 有單位面積，即有單位面積，即 ；ub

40、為偶對稱，即為偶對稱，即 ；uc 是時限的，即當(dāng)是時限的，即當(dāng) 時時 。ud 以以t=0為中心向邊沿平滑減少，為中心向邊沿平滑減少，以保證含有較少以保證含有較少u的高頻分量。的高頻分量。u步驟步驟2 取取 的傅立葉變換，即的傅立葉變換，即u步驟步驟3 用用 替代替代 中的中的 ，得到積核函數(shù)，得到積核函數(shù)u 4.6.1 th th th th th 1dtth thth21t 0th th dtethHjt)(HHg，第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布 按以上原那么設(shè)計出的核按以上原那么設(shè)計出的核 ，所對應(yīng)的分，所對應(yīng)的分布稱為減少布稱為減少干擾分布，即干擾分布，即RID。RID主要強調(diào)

41、如何抑制交叉項干主要強調(diào)如何抑制交叉項干擾，但同擾，但同時也兼顧時頻分布的其它性質(zhì)。時也兼顧時頻分布的其它性質(zhì)。 式式4.6.1的核函數(shù)的核函數(shù) ，條件，條件a對應(yīng)對應(yīng) 和和 ，條，條件件b保證了保證了 ， 和和 。如今調(diào)查條件。如今調(diào)查條件c?，F(xiàn)?，F(xiàn)將將4.6.1兩邊相對作傅立葉變換，即兩邊相對作傅立葉變換，即 4.6.2按傅立葉變換的變量加權(quán)性質(zhì)，有按傅立葉變換的變量加權(quán)性質(zhì)，有 4.6.3，g，g5Q4Q7Q6Q1QdeHtgdegjtjt，th2th2deHjt第第4章章Cohen類時頻分布類時頻分布因此條件因此條件c意味著滿足意味著滿足 和和 。 條件條件d的目的是用以減少交叉項干擾，即令的目的是用以減少交叉項干擾，即令 是