人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(教師版)

1、合情推理與演繹推理叁趣味引1 .推理根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷,這種思維方式叫做推理.推理一般分為合情推理與演繹推理兩類.2 .合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特由兩類對(duì)象具有某些類似特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理位和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理步驟(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類

2、事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)3 .演繹推理(1)定義：從一般件的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理;(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理;(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括:“三段論”的結(jié)構(gòu)大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情況；結(jié)論知據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.“三段論”的表小大前提M是P.小前提一一S是M.結(jié)論一一S是P.題型一歸納推理1例1設(shè)f(x)=xx1刈，x1%x2廠,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,3+,3并給出證明.思維啟迪解題的關(guān)

3、鍵是由f(x)計(jì)算各式，利用歸納推理得出結(jié)論并證明.11解f(0)+f(1)=口+中,331+.33+,33+，33+33+33+3+3xx2x1x2V3(3+3計(jì)2X3V3(3+3+273)+3+2/33+3+2；33=一x1一x2x1一x2一一3同理可得：f(-1)+f(2)=3,3f(2)+f(3)=W3,并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.3歸納猜想得：當(dāng)X+X2=1時(shí),均為f(X1)+f(x2)=乎.3證明：設(shè)x1+x2=1,1.1f(x1)+f(x2)=+x1cx2c3+33+3x1,-,/2,二x1,/2,c不3+.3+3+33+3+2-：.-3思維升華(1)歸納是依

4、據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用.跟蹤訓(xùn)練1(1)觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為.(2)已知f(n)=1+1+；+N*),經(jīng)計(jì)算得f(4)2,f(8)5，f(16)3,f(32)7,則有.231122答案(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81nn+2*(2)f(2)(n2,nCN)解析(1)由于1=12,2+

5、3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=72,所以第五個(gè)等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81.(2)由題意得f(22)|,f(23)|,f(24)|,f(25)7,n2所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n)-2-.故填f(2n)n；2(nR2,nCN).題型二類比推理例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若am=a,an=b(n-m1,m,nCN*),則am+n=nna類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0,nCN*),若bm=c,bn=d(n-m2,m,nN*),則可以得到bm+n=.思維啟迪等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時(shí)，等差

6、數(shù)列的公差對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開(kāi)方運(yùn)算.答案nbmanm解析設(shè)數(shù)列an的公差為d,數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閍n=a+(n1)d,bn=b1qn1,am+n所以類比得%+n思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵(2)類比推理常見(jiàn)的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等(3)在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對(duì)象的

7、對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等跟蹤訓(xùn)球2(1)給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)n=anbn與(a+b)n類比，則有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay與sin(3)類比,則有sin(a+9=sinosin3;(a+b)2=a?+2ab+b與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a?+2ab+b?.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3(2)把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為直角三角形外接圓a2+b2直徑，以此可求

8、得外接圓半徑r=、一(其中a,b為直角三角形兩直角邊長(zhǎng)).類比此方法可得三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=.Ja2+b2+c2答案(1)B(2)2解析錯(cuò)誤，正確.(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長(zhǎng)方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理例3已知函數(shù)f(x)=二個(gè)百(a0,且aw1).(1)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-2)對(duì)稱；(2)求f(2)+f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義，函數(shù)y=f(x)的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上.小前提是f(x)=彳港本缶。且aw1)的圖象關(guān)于

9、點(diǎn)(,-)對(duì)稱.證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x,v),，11匕關(guān)于點(diǎn)(于一)對(duì)稱的點(diǎn)白坐標(biāo)為(1-x,-1-y).由已知得y=“一一、電_aVaaxaxf(1-x)=-a1Ma-彖+7fa+VaaX-1-y=f(1-x),即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成-2)對(duì)稱.(2)解由(1)知一1f(x)=f(1x),即f(x)+f(1x)=1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=1.則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某

10、種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)y=f(x),滿足：對(duì)任意a,bCR,awb,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).證明設(shè)x1，x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1),x1f(x1)f(x2)+x2f(x2)f(x1)0,f(xf(x1)(x22)0,:x10,f(x2)f(x1).所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).高頻小考點(diǎn)7高考中的合情推理問(wèn)題典例：(1)(5分)(2013湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)nn+11

11、2.11,3,6,10,，第n個(gè)三角形數(shù)為n+2%記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)=12+2n,正方形數(shù)N(n,4)=n2,五邊形數(shù)N(n,5)=|n2-n,六邊形數(shù)N(n,6)=2n2n可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=.思維啟迪從已知的部分k邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫(xiě)出N(n,k),然后求N(10,24).k2c4-k解析由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n,k)=2-孑+一2-n,X1024-24-24N(10,24)=2X100+2=1100100=1000.

12、答案100022(2)(5分)若P0(X0,Y0)在橢圓x2+y2=1(ab0)外，過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1,P2,則切ab2點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是X0x+*=1,那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若P0(X0,y0)在雙曲線X相加，得1X2+2X3+-+n(n+1)=n(n+1)(n+2).類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1X2X3+2X3X4+n(n+1)(n+2)”，其結(jié)果為思維啟迪根據(jù)兩個(gè)數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個(gè)式子驗(yàn)證22=1(a0,b0)外，過(guò)P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是.思維啟迪直接類比可得.解析設(shè)P1(x1,y1)，P2(

13、x2,y2),則P1,P2的切線方程分別是登1,燮等=1.abab因?yàn)镻0(x0,y)在這兩條切線上,X1X0y1V0故有I-廿=1,abX2X02y0A，這說(shuō)明P1(X1,y1)，P2(X2,y2)在直線管詈=1上，ab故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是學(xué)yy=1.答案蹩一季=1ab(3)(5分)在計(jì)算“1X2+2X3+n(n+1)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫(xiě)第k項(xiàng):k(k+1)=1k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),由此得31X2=(1X2X3-0X1X2),32X3=1(2X3X41X2X3),1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1).31解析類

14、比已知條件得k(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2),1由此得1X2X3=4(1X2X3X40X1X2X3),2X3X4=(2X3X4X5-1X2X3X4),1.13X4X5=4(3X4X5X62X3X4X5),1n(n+1)(n+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2).以上幾個(gè)式子相加得：1x2X3+2X3X4+-+n(n+1)(n+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3).1答案4n(n+1)(n+2)(n+3)年當(dāng)堂檢測(cè))1 .判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或X”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正

15、確，類比推理得到的結(jié)論一定正確(X)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理(，)(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.(x)(4) “所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.(，)(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(nCN+).(X)(6) =2噂3Pl=3冊(cè)=4成,=6餡a,山勻?yàn)閷?shí)數(shù))，則可以推測(cè)a=35,b=6.(V)2 .數(shù)列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.27答案B解析5-2=3,11-5=6,

16、20-11=9,推出x20=12,所以x=32.3 .觀察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,，則52011的后四位數(shù)字為()A.3125B.5625C.0625D.8125答案D解析55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m+4k與5m(kCN*,m=5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2011=4X501+7,所以52011與57后四位數(shù)字相同為8125,故選D.4 .(2013陜西)觀察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-

17、10照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為.答案1222+3242+(-1)n+1n2=(-1)n+1叩21)解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2,且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(一1)=2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1,3,6,10,15,21,.設(shè)此數(shù)列為an,則a2a1=2,a3a2=3,a4a3=4,a5a4=5,，anan1=n,各式相加得ana=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=nn尸)所以第n個(gè)等式為1222+3242+(1)n+1n2=(_1)n+1n(n：1.5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,4S4,S12-S8

18、,S16S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則丁4,F成等比數(shù)列.I12較案逾上T4T8解析對(duì)于等比數(shù)列，通過(guò)類比，有等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4=a1a2a3a4,T8=a1a2a8，T12=a1a2a12，T16=a1a2a16,T8_t_T_內(nèi)叫ta5a6a7a8,丁a9a10a11a12,丁a13a14a15a16,T4T8T12而T4,詈詈的公比為q16,I4I8I12因此丁4,?，產(chǎn)成等比數(shù)列.T4T8T12基礎(chǔ)鞏固A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1 .(2012江西)觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b

19、4=7,a5+b5=11,，則a10+b10等于()A.28B.76C.123D.199答案C解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10+b10=123.2 .定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1*1=1,(2)(n+1)*1=n*1+1,貝Un*1等于()2A.nB.n+1C.n1D.n答案A解析由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=1*1+(n-1).又1*1=1,n*1=n3.下列推理是歸納推理的是()A.A,B為定點(diǎn)，動(dòng)

20、點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|,則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B.由a=1,an=3n-1,求出S1，S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2+y2=r2的面積2,猜想出橢圓x2+y2=1的面積S=babD.科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.4.已知ABC中，/A=30,ZB=60,求證：ab.證明：/A=30,/B=60,，/A/B.a|OOOOe|OOOOO|OOOOOOe|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+(n+1)=*n29(易知f(14)=119,f(15)=135

21、,故n=14.7 .若函數(shù)限)=/僅0),且甘3=3=上,當(dāng)nCN*且n2時(shí),fn(x)=ffn1(x)，則f3(x)=,x+2x+2猜想fn(x)(nCN*)的表達(dá)式為.答案7xt82n-1xx+2nx解析f1(x)=力，fn(x)=ffn1(x)(n2),xI2xxx+2x-f2(x)=f(x+2)=x+2:3x+4.x+2xx3x+4xf3(x)=ff2(x)=f(；)=二；.LVn、3x+4，x+27x+83x+4由所求等式知，分子都是x,分母中常數(shù)項(xiàng)為2n,x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)少1,為2n1,x故fn(x)=(2n-1X+2n.8.在平面幾彳S中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比

22、為普=黑，把這個(gè)結(jié)論類比到空間:EBBCACDB且與AB相交于點(diǎn)巳則類比在三錐A-BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角得到的結(jié)論是答案解析易知點(diǎn)E到平面BCD與平面ACD的距離相等,BESbcd一=EASaacdVe-BCDBESaBCD故=.VeACDEA&ACD三、解答題9.已知等差數(shù)列an的公差d=2,首項(xiàng)a1=5.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tn=n(2an5),求Si,S2,S3,S4,S5；Ti,T2,T3,T4,T5,并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律.10.在RtABC中，ABXAC,ADBC于D,求證:AD2=AB2+AC2,那么在四面體ABCD中，類解(1)由于

23、ai=5,d=2,nn1Sn=5n+I2k2=n(n+4).H比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由解如圖所示，由射影定理AD(2)/Tn=n(2an5)=n2(2n+3)5=4n+n.T1=5,T2=4X22+2=18,T3=4X32+3=39,T4=4X42+4=68,T5=4X52+5=105.Si=5,S2=2X(2+4)=12,S3=3X(3+4)=21,S4=4X(4+4)=32,&=5X(5+4)=45.由此可知當(dāng)n2時(shí)，Sn2,nCN時(shí)，&0?ab”類比推出“若a,bCC,貝Ua-b0?ab”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3答案C解析正確，錯(cuò)誤.因?yàn)閮?/p>

24、個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小2 .設(shè)是R的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對(duì)于任意a,bCA,有abCA,則稱A對(duì)運(yùn)算封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）A.自然數(shù)集B.整數(shù)集C.有理數(shù)集D.無(wú)理數(shù)集答案C解析A錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法、除法不封閉；B錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o(wú)理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為答案n2+n+22解析1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域;、/nn+1n2+n+2+n)=1+工2一憶2個(gè)區(qū)域.,n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3n+24.數(shù)列an的刖n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=-、一$(nCN).證明:數(shù)列3是等比數(shù)列；(2)Sn+1=4an.n+2證明(1)-an+1=Sn+1Sn,an+1=n-Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.故*