有限元法基礎(chǔ)等參元與數(shù)值積分（課堂PPT）

1、1第五章第五章 等參元與數(shù)值積分等參元與數(shù)值積分 5.1 等參變換的概念等參變換的概念5.2 等參變換的條件和收斂性等參變換的條件和收斂性5.3 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法5.4 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇25. 等參元與數(shù)值積分等參元與數(shù)值積分 本章重點本章重點l等參變化的概念和實現(xiàn)單元特性矩陣方法等參變化的概念和實現(xiàn)單元特性矩陣方法l實現(xiàn)等參變換的條件和滿足收斂準(zhǔn)則的條件實現(xiàn)等參變換的條件和滿足收斂準(zhǔn)則的條件l數(shù)值積分的基本思想和數(shù)值積分的基本思想和GaussGauss積分的特點積分的特點l單元剛度矩陣數(shù)值積分階次的選擇單元剛度矩陣數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)35. 等參元與數(shù)值

2、積分等參元與數(shù)值積分關(guān)鍵概念關(guān)鍵概念 等等( (超、次超、次) )參變換參變換 雅克比矩陣和行列式雅克比矩陣和行列式等參變換的條件等參變換的條件 等參元的收斂性等參元的收斂性數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分 高斯積分高斯積分 精確積分精確積分減縮積分減縮積分 矩陣的秩矩陣的秩 零能模式零能模式有限元法基礎(chǔ)45.1等參變換的概念等參變換的概念 將局部（自然）坐標(biāo)中的簡單幾何形狀的單元，轉(zhuǎn)換將局部（自然）坐標(biāo)中的簡單幾何形狀的單元，轉(zhuǎn)換成總體（物理）坐標(biāo)中的幾何扭曲的單元，必須建立一成總體（物理）坐標(biāo)中的幾何扭曲的單元，必須建立一個坐標(biāo)變換，即個坐標(biāo)變換，即有限元法基礎(chǔ)1234 LxLyLzL 或ff55.1等參

3、變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)65.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)75.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)規(guī)則化單元：母單元在自然坐標(biāo)系內(nèi)(局部)實際單元：子單元 在總體坐標(biāo)系內(nèi)(整體)111mmmiiiiiiiiixN xyN yzN z利用節(jié)點坐標(biāo)和形函數(shù)建立坐標(biāo)變換關(guān)系111nnniiiiiiiiiuN uvN vwN w85.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)l等參變換等參變換 坐標(biāo)變換和場函數(shù)插值采用相同的節(jié)點，坐標(biāo)變換和場函數(shù)插值采用相同的節(jié)點，m=n, 并且并且采用相同的插值函數(shù)。這樣建立的單元，稱為采用相同的插值函數(shù)。這樣建立的單元，稱為等參元

4、等參元。l超參變換超參變換 坐標(biāo)變換的節(jié)點數(shù)多于場函數(shù)插值的節(jié)點數(shù)，即坐標(biāo)變換的節(jié)點數(shù)多于場函數(shù)插值的節(jié)點數(shù)，即mn。這樣建立的單元，稱為這樣建立的單元，稱為超參元超參元。l次參變換次參變換 坐標(biāo)變換的節(jié)點數(shù)少于場函數(shù)插值的節(jié)點數(shù)，即坐標(biāo)變換的節(jié)點數(shù)少于場函數(shù)插值的節(jié)點數(shù)，即mn。這樣建立的單元，稱為這樣建立的單元，稱為次參元次參元。95.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)l例：一維例：一維2節(jié)點單元節(jié)點單元 222111iiiiiiiiixN xyN yzN z1(1)(1,2)2iiNi105.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)l例：二維例：二維3節(jié)點單元節(jié)點單元 3331

5、11iiiiiiiiixN xyN yzN z1, , iN 115.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)l例：平面例：平面4節(jié)點單元節(jié)點單元 4411iiiiiixN xyN y1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiNi125.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)l單元矩陣的變換單元矩陣的變換 等參變換單元矩陣的變化等參變換單元矩陣的變化： 等參變換等參變換單元矩陣的變化：單元矩陣的變化：B、K、d、135.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ) 由于插值函數(shù)使用自然坐標(biāo)，涉及到求導(dǎo)和積分的變由于插值函數(shù)使用自然坐標(biāo)，涉及到求導(dǎo)和積分的變換，如換，如B矩陣的偏微分計算，矩陣

6、的偏微分計算，K矩陣的積分計算。矩陣的積分計算。 000000iiiiiiiNxxNNNyyNNyxyxB145.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)1）導(dǎo)數(shù)之間的變換）導(dǎo)數(shù)之間的變換 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有寫成矩陣形式寫成矩陣形式J 稱為稱為Jacobi 矩陣矩陣 iiiiNNNNxyzxyziiiiiiiiiNxyzNNxxNNNxyzyyNxyzNNzzJ( , , )( , , )x y z J155.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)1iiiiiiNNxNNyNNzJ1*1J=JJJ 的伴隨矩陣的伴隨矩陣165.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基

7、礎(chǔ)l由坐標(biāo)變換求得由坐標(biāo)變換求得Jacobi矩陣中的元素矩陣中的元素 111111111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiNNNxxxxxxNNNyyyyyyNNNzzzzzz175.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)2）體積微元的變換）體積微元的變換 ()ddddd d d Jxyzddidjdkxyzddidjdkxyzddidjdk 185.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)單元剛度矩陣單元剛度矩陣等效體積力等效體積力 1 1 11 1 1eTTdd d d KB CBB CB J1 1 11 1 1eTFd d d QN F J19

8、5.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)3）面積微元的變換）面積微元的變換以以 為例，為例， 1xyzddidjdkxyzddidjdk0d1dAddAd d =1/2222yzyzZxzxxyxyA,ijkddxyzd dxyz 205.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)邊界面力的變換邊界面力的變換以以 為例，為例， 10d1 11 1eeTTAdAAd d QN TN TeeTTdQN T215.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)4）對二維問題）對二維問題u面元面元 xyyxJ*yyxxJ =( , )( , )iiiiiiiiNxyNNNx yxxxNNNNxyyy

9、y Jddxdyd d J1/222xydd u線元線元1225.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)5）面積坐標(biāo)）面積坐標(biāo) , 1iN 123,1LLL3121231331212323iiiiiiiiiiiiNNNNLNNLLLLLLLNNNNLNNLLLLLLL2111200()()eLAddLdL J2 J直邊三角形時：直邊三角形時：235.1等參變換的概念等參變換的概念有限元法基礎(chǔ)6）體積坐標(biāo)）體積坐標(biāo) , 1iN 1234,1LLLL31241234143124123424312412342iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiNNNNLNNNLLLLLLLLLNNNNLN

10、NNLLLLLLLLLNNNNLNNNLLLLLLLLL4112111321000()()eLLLddL dL dL J1 (1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(0,0,0)245.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l等參變換的條件等參變換的條件等參變換中，需計算等參變換中，需計算Jacobi矩陣的逆矩陣的逆 是否存在？是否存在？存在的條件是存在的條件是 ( , , )0( , , )x y z J1J這是兩個坐標(biāo)系間一對一變換的條件這是兩個坐標(biāo)系間一對一變換的條件255.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l以二維情況為例說明以二

11、維情況為例說明1）子單元與母單元的單元節(jié)點編號順序相反，）子單元與母單元的單元節(jié)點編號順序相反， ，順序相同順序相同2） 若子單元與母單元同樣是凸的，即各節(jié)點處若子單元與母單元同樣是凸的，即各節(jié)點處 sin(,)sindAdddddddd0J0J01800sin10J1存在J265.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l畸變單元舉例畸變單元舉例節(jié)點節(jié)點1 節(jié)點節(jié)點2 節(jié)點節(jié)點3 由于由于 是連續(xù)函數(shù)，故在是連續(xù)函數(shù)，故在1-2邊至到邊至到2-3邊時邊時必有一點必有一點 ，不具備等參變換條件。，不具備等參變換條件。11sin0,0J22sin0,0J33sin0,0JJ0

12、J275.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l畸變單元舉例畸變單元舉例邊邊1-2 退化為一個節(jié)點退化為一個節(jié)點 在該點處在該點處 ，也不具備，也不具備 等參變換條件。等參變換條件。實際計算單元剛度矩陣是用數(shù)值積分，實際計算單元剛度矩陣是用數(shù)值積分， 并不會出現(xiàn)奇異性，應(yīng)用中仍可使用；并不會出現(xiàn)奇異性，應(yīng)用中仍可使用；四邊形退化為三角形單元的積分精度較差。四邊形退化為三角形單元的積分精度較差。 0d0J285.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l 等參單元的收斂性等參單元的收斂性 彈性力學(xué)問題的收斂性包括完備性和協(xié)調(diào)性：彈性力學(xué)問題的收斂性包括

13、完備性和協(xié)調(diào)性：完備性：完備性：場插值至少一階完備，能正確反映剛體位移場插值至少一階完備，能正確反映剛體位移和常應(yīng)變。和常應(yīng)變。協(xié)調(diào)性：協(xié)調(diào)性：單元內(nèi)部位移連續(xù)且滿足幾何方程，單元間單元內(nèi)部位移連續(xù)且滿足幾何方程，單元間的位移場是連續(xù)的。的位移場是連續(xù)的。 295.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l完備性完備性 設(shè)單元內(nèi)任一點設(shè)單元內(nèi)任一點i i的位移場為的位移場為代入位移插值函數(shù)代入位移插值函數(shù) 123412341234iiiiiiiiiiiiuxyzvxyzwxyz123411111123411111123411111nnnnniiiiiiiiiiiiiinnn

14、nniiiiiiiiiiiiiinnnnniiiiiiiiiiiiiiuN uNN xN yN zvN vNN xN yN zwN wNN xN yN z305.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)注意到等參變換注意到等參變換 123411123411123411nniiiiinniiiiinniiiiiuN uNxyzvN vNxyzwN wNxyz111,nnniiiiiiiiixN xyN yzN z315.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)只要只要 123411234112341niiiniiiniiiuN uxyzvN vxyzwN

15、wxyz11niiNNi 滿足形函數(shù)性質(zhì)，完備性就得到滿足，滿足形函數(shù)性質(zhì)，完備性就得到滿足，插值函數(shù)能夠反映剛體位移和常應(yīng)變。插值函數(shù)能夠反映剛體位移和常應(yīng)變。325.2 等參變換的條件與收斂性等參變換的條件與收斂性有限元法基礎(chǔ)l協(xié)調(diào)性協(xié)調(diào)性 單元間邊界上的位移場：單元間邊界上的位移場：具有相同的節(jié)點和相同的節(jié)點數(shù)具有相同的節(jié)點和相同的節(jié)點數(shù)插值函數(shù)相同，有連續(xù)的位移場插值函數(shù)相同，有連續(xù)的位移場插值函數(shù)滿足插值函數(shù)滿足 (,)ijjjijN 335. 等參元與數(shù)值積分等參元與數(shù)值積分有限元法基礎(chǔ)l 練習(xí)題：練習(xí)題：什么是等參元滿足有限元收斂準(zhǔn)則的條件？同樣什么是等參元滿足有限元收斂準(zhǔn)則的條

16、件？同樣條件可否適用于次參和超參單元？條件可否適用于次參和超參單元？證明邊界為直線的三角形和平行四邊形的二維單證明邊界為直線的三角形和平行四邊形的二維單元的元的JacobiJacobi矩陣是常數(shù)矩陣。矩陣是常數(shù)矩陣。證明面積坐標(biāo)的冪函數(shù)的積分公式。證明面積坐標(biāo)的冪函數(shù)的積分公式。 （提示：利用面積坐標(biāo)之和等于（提示：利用面積坐標(biāo)之和等于1 1的關(guān)系消去被積的關(guān)系消去被積函數(shù)中的一個坐標(biāo)，并注意積分上下限設(shè)置。）函數(shù)中的一個坐標(biāo)，并注意積分上下限設(shè)置。） 345. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ) 有限元方程為有限元方程為單元剛度矩陣為單元剛度矩陣

17、為 Kq = QeeTdK =B CB355. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)1 1）母單元為）母單元為 自然坐標(biāo)系列自然坐標(biāo)系列 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 位移插值位移插值 Jacobi Jacobi矩陣矩陣 應(yīng)變的計算應(yīng)變的計算 求求B B時需建立時需建立 , , ee= Du = (DN)qBqe XN( , ,)xe uN( , ,)q1( , , ),( , , )x y z JJ1TTxyzJ365. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)單元矩陣計算時單元矩陣計算時 1 1 11 1 11 1 1

18、1 1 11 11 1(=1)eTeTFeTTd d dd d dAd d 作用在的面上K =B CB JQ =N F JQN TT=xyzxyzxyzJ1/2222yzyzzxzxxyxyA375. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)2 2）母單元為體積坐標(biāo)系列）母單元為體積坐標(biāo)系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3為獨立變量，為獨立變量，L L4 4=1-=1-L L1 1- -L L2 2- -L L3 3單元矩陣計算單元矩陣計算 32332331111230001111230001123100(=0)LLLeTLLLeTFLe

19、TTdLdL dLdLdL dLAdL dLL 作用在的面上K =B CB JQ =N F JQN TT385. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)2 2）母單元為體積坐標(biāo)系列）母單元為體積坐標(biāo)系列 取取L L1 1、L L2 2和和L L3 3為獨立變量，為獨立變量，L L4 4=1-=1-L L1 1- -L L2 2- -L L3 3單元矩陣計算單元矩陣計算 32332331111230001111230001123100(=0)LLLeTLLLeTFLeTTdLdL dLdLdL dLAdL dLL 作用在的面上K =B CB JQ =N

20、F JQN TT395. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)l例：無限元例：無限元1 1）一維問題：）一維問題：2 2節(jié)點單元節(jié)點單元通常通常u u2 2是已知的。是已知的。 11()1xx是一個常數(shù)121122uuu2,211()(1)4xuuu405. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)l例：無限元例：無限元2 2）二維問題：）二維問題：4 4節(jié)點單元節(jié)點單元 415. 3 彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法彈性力學(xué)中等參單元的一般列式方法有限元法基礎(chǔ)坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 反映了反映了1-21-2邊的變化

21、率。邊的變化率。位移插值函數(shù)依然與傳統(tǒng)單元一樣。位移插值函數(shù)依然與傳統(tǒng)單元一樣。通常節(jié)點通常節(jié)點2 2和節(jié)點和節(jié)點3 3的量是已知的。的量是已知的。 1412141211111221221111122122xxxyyy111244111244,xxxxyyyy11/425.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)l數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想關(guān)鍵在求積系數(shù)和求積點的確定！關(guān)鍵在求積系數(shù)和求積點的確定！ 0( )( )( )bniiiaf x dxA f xE f求積系數(shù)求積系數(shù)求積點求積點誤差誤差435.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)1 1）NewtonNewtonCotes

22、Cotes積分方案積分方案 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域a,bna,bn等分等分構(gòu)造近似被積函數(shù)構(gòu)造近似被積函數(shù)在取樣點上在取樣點上 abhn(0,1, )xaihin( )( )bbaaf x dxx dx( )( )(0,1,2, )iif xxin445.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)使用使用n n階多項式構(gòu)造近似函數(shù)階多項式構(gòu)造近似函數(shù) 為為Lagrange插值函數(shù)。插值函數(shù)。積分系數(shù)積分系數(shù) 0( )( )( )nniiixl f xf xnil00( )( )( )() ( )bbbbnnnniiiiiiaaaaf x dxx dxl f x dxl dx f xbniiaHl

23、dx455.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)積分系數(shù)積分系數(shù)與選取的積分點個數(shù)有關(guān)與選取的積分點個數(shù)有關(guān)與積分點位置有關(guān)與積分點位置有關(guān)與積分域與積分域a,b有關(guān)有關(guān)被積函數(shù)形式無關(guān)被積函數(shù)形式無關(guān) 0( )( )bniiiaf x dxH f x465.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)采用規(guī)范化的區(qū)域（采用規(guī)范化的區(qū)域（0 0，1 1），），n+1n+1個等距坐標(biāo)為個等距坐標(biāo)為 稱為稱為Cotes系數(shù)。系數(shù)。 這種積分具有這種積分具有n次的代數(shù)精度，即對次的代數(shù)精度，即對n次多項式能精次多項式能精確積分。確積分。 120,1nnxaba()niiHba C10( )nniiC

24、ldniC475.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)例：一維問題例：一維問題n = 1(梯形公式梯形公式) 0( )( )( )bbnniiiaaf x dxx dxH f x11000111101(1)212HCdbaHCdba ( )( ( )( )2babax dxf af b485.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)n = 2 (Simpson公式公式) 120012101230112 ()(1)2644(1)6112()26CdCdCd ( )( )4 ()( )62babaabx dxf aff b495.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)lNewtonCotes

25、積分特點積分特點積分取樣點等距分布積分取樣點等距分布有有n+1n+1個積分點，若被積函數(shù)是個積分點，若被積函數(shù)是n n次多項式，次多項式，代數(shù)積分是精確的代數(shù)積分是精確的 505.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)2 2）GaussGauss積分方案積分方案l特點特點 積分取樣點非等間距分布，通過優(yōu)化積分點積分取樣點非等間距分布，通過優(yōu)化積分點的位置，提高了積分精度，的位置，提高了積分精度，n n個積分點可達(dá)個積分點可達(dá)2n-12n-1次精度。次精度。 515.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)在積分域內(nèi)構(gòu)造多項式在積分域內(nèi)構(gòu)造多項式由條件由條件確定積分點的位置。確定積分點的位置。

26、 121( )()()()()nnjjP( )00,1,2,1biaPdin525.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ) 的性質(zhì)：的性質(zhì)：（1 1）在積分點上）在積分點上（2 2）在積分域（）在積分域（a,ba,b）內(nèi)與）內(nèi)與正交。正交。 被積函數(shù)被積函數(shù) 可由可由2n-12n-1次多項式近似次多項式近似 ( )0iP( )P(0,1,2,1)iin1110( )( )( ) ( )( )nnniiiiiif xlfP ( )f535.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ) 上式在形式上與上式在形式上與NewtonCotes積分是一樣的，但是積分是一樣的，但是近似函數(shù)是近似函數(shù)是2n-1

27、次，積分點是非均勻的分布。次，積分點是非均勻的分布。為了方便積分，一般積分限（為了方便積分，一般積分限（a，b）（）（-1，1）。）。11101( )( )( ) ( )( ) ( )bbbbnnniiiiiiaaaaniiifddRldfPdRH fR 545.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)例：兩點例：兩點GaussGauss積分積分積分點位置：積分點位置：i=0i=0i=1i=1 12( )()()P11( )00,1iPdi1121212()()203d 1121212()()()03d 555.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)得到得到 1210.577 350 269

28、189 62631121121221111,1HdHd 求解高階積分點坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)，一般利用求解高階積分點坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)，一般利用Legendre多項式來進(jìn)行。多項式來進(jìn)行。565.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ) 575.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)n=2Newton-CotesGauss585.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)l二維和三維二維和三維GaussGauss積分積分 對二維積分對二維積分首先令首先令 為常數(shù)，對為常數(shù)，對 積分積分再對再對 積分，得到積分，得到 1 11 1( , )Fd d 111( , )(, )njjjFdH F 1 111111

29、1( , )(,)(,)nnnnijjiijjiijijFd dHH FH H F 595.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)類似地三維積分為類似地三維積分為注：每個方向可以選取不同的積分點數(shù)。注：每個方向可以選取不同的積分點數(shù)。 1 1 11111 1 1, ,1( , , )( ,) ( ,)nnnijmijmmjinijmijmi j mFd d dH H H FHF 605.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)3 3）IronsIrons積分方案積分方案 對三維六面體積分對三維六面體積分每個方向使用每個方向使用n n點點Newton-CotesNewton-Cotes積分，需

30、積分，需 n n3 3個點，在個點，在 每個方向的精度為每個方向的精度為n-1n-1次。次。每個方向使用每個方向使用m m點點GaussGauss積分，需積分，需 m m3 3個點，在每個方個點，在每個方 向的精度為向的精度為2m-12m-1次。次。IronsIrons積分方案通過三個方向優(yōu)化節(jié)點位置，提高積積分方案通過三個方向優(yōu)化節(jié)點位置，提高積分精度。分精度。 1 1 11 1 1( , , )Fd d d 615.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)625.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ) 635.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)4 4）HammerHammer積分方

31、案積分方案 討論對象為面積坐標(biāo)和體積坐標(biāo)的積分討論對象為面積坐標(biāo)和體積坐標(biāo)的積分 1111232100(,)LF L L L dL dL 1121111234321000(,)LLLF L L L L dL dL dL 645.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ)655.4 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法有限元法基礎(chǔ) 665.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)積分點個數(shù)的選取是對數(shù)值積分階次的選擇積分點個數(shù)的選取是對數(shù)值積分階次的選擇計算精度計算精度計算工作量計算工作量計算成本計算成本675.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)l選取積分點個數(shù)的原則選取積分點個

32、數(shù)的原則1）保證積分精度）保證積分精度2）保證總體剛度矩陣滿秩）保證總體剛度矩陣滿秩3）有較好的計算效率）有較好的計算效率685.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)1）保證積分精度）保證積分精度以一維單元剛度矩陣積分為例以一維單元剛度矩陣積分為例 積分限標(biāo)準(zhǔn)化，并設(shè)積分限標(biāo)準(zhǔn)化，并設(shè)Jacobi行列式為常數(shù)行列式為常數(shù)()()eTTlldxdxKB CBDNC DN1111()()()()eTTJ dJdKDNC DNDNC DN695.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)對多數(shù)彈性力學(xué)問題對多數(shù)彈性力學(xué)問題Ni 插值函數(shù)：插值函數(shù)： p 階多項式階多項式D

33、微分算子：最高導(dǎo)數(shù)微分算子：最高導(dǎo)數(shù) 階次階次 m 原被積函數(shù)為原被積函數(shù)為2（p m）階多項式）階多項式705.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)為保證積分精度，為保證積分精度，Gauss積分點數(shù)為積分點數(shù)為n，應(yīng)有，應(yīng)有 按此規(guī)則選取積分點個數(shù)，才能使被積函數(shù)達(dá)按此規(guī)則選取積分點個數(shù)，才能使被積函數(shù)達(dá)到精度。到精度。212()npm1npm715.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)l對二維和三維單元對二維和三維單元 按一維的方法選按一維的方法選 nxn nxn 或或nxnxn nxnxn 個積分點，可能個積分點，可能被積函數(shù)達(dá)不到精確積分的要求！被積函數(shù)

34、達(dá)不到精確積分的要求！ 原因原因1 1：JacobiJacobi行列式可能不是常數(shù)行列式可能不是常數(shù), , 這樣提高了這樣提高了被積函數(shù)的階次。被積函數(shù)的階次。 當(dāng)物理坐標(biāo)中的單元當(dāng)物理坐標(biāo)中的單元 平行四變形（平行四變形（2D2D） 平行六面體（平行六面體（3D3D）=J常數(shù)725.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)解決辦法解決辦法1）適當(dāng)提高積分點數(shù)，以適應(yīng)精度）適當(dāng)提高積分點數(shù)，以適應(yīng)精度2）剖分網(wǎng)格時，盡量避免過分扭曲單元）剖分網(wǎng)格時，盡量避免過分扭曲單元735.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)例：不同形狀網(wǎng)格剖分的懸臂梁例：不同形狀網(wǎng)格剖分的懸臂

35、梁745.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)755.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)原因原因2 2：B B矩陣中包含有高階非完全項矩陣中包含有高階非完全項 原插值函數(shù)：原插值函數(shù)：p p階完備多項式階完備多項式 p p階非完全項階非完全項采用精確積分方案，應(yīng)以采用精確積分方案，應(yīng)以pp為準(zhǔn)，即為準(zhǔn)，即 1npm765.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)例：二維例：二維4 4節(jié)點單元節(jié)點單元優(yōu)化積分方案：優(yōu)化積分方案：p=1, n = p-m+1 = 1, p=1, n = p-m+1 = 1, 一點積分一點積分非完全項含有非完全項含有 ,

36、 , 精確積分方案：積分點精確積分方案：積分點 2x22x2 2p 12npm 775.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)例：二維例：二維8 8節(jié)點單元節(jié)點單元優(yōu)化積分方案：優(yōu)化積分方案：p=2, n p=2, n = p-m+1 = 2, 2x2= p-m+1 = 2, 2x2積分積分精確積分方案：精確積分方案：非完全項含有非完全項含有 ， 積分點積分點 3x33x3 22, 3p 13npm 785.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ) 在實際計算單元剛度矩陣時，還有其在實際計算單元剛度矩陣時，還有其他方面的考慮。他方面的考慮。 實際的實際的Gauss積分

37、點數(shù)積分點數(shù) 剛體位移數(shù)剛體位移數(shù)施加邊界條件后，總剛度矩陣非奇異施加邊界條件后，總剛度矩陣非奇異 存在，方程有解。存在，方程有解。1K815.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)l 矩陣的秩矩陣的秩1）矩陣相乘）矩陣相乘2）矩陣相加）矩陣相加 B = UAVmin(BU,A,V)秩秩秩秩C = A+BCA+B秩秩秩825.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ)l 單元剛度矩陣的計算公式單元剛度矩陣的計算公式C是是dXd的方陣，的方陣，d是應(yīng)變數(shù)量，三維問題為是應(yīng)變數(shù)量，三維問題為6，平面，平面問題為問題為3，軸對稱問題為，軸對稱問題為4。 一般情況下，秩一般情況下，秩BdM個單元的結(jié)構(gòu)個單元的結(jié)構(gòu) 1GneTiiiiiwKB CB JeGnd秩KGM nd秩K835.5 數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分階次的選擇有限元法基礎(chǔ) 是是K非奇異的必要條件。非奇異的必要條件。GM ndN系統(tǒng)獨立的自由度數(shù)系統(tǒng)獨立的自由度數(shù)N超過超過(或或 ) 全部積分全